王宏霞，張煥水，俞 立，陳 欣

離散時間H∞性能下界研究方法

王宏霞1，張煥水2，俞 立1，陳 欣1

（1.浙江工業(yè)大學信息工程學院，310023杭州；2.山東大學控制科學與工程學院，250061濟南）

為了縮小二分法求解最優(yōu)H∞性能的搜索范圍，降低搜索代價，采用狀態(tài)空間分析法，提出了一種獲取H∞性能下界的方法.與一般方法不同，根據(jù)此方法所得的下界僅跟H2Riccati方程的解有關，而不被卷入該Riccati方程的計算.因此，下界的獲取簡單.不僅如此，該方法還能揭示最優(yōu)性能與H∞性能（包括最優(yōu)控制與H∞控制，最優(yōu)估計與H∞估計）間的區(qū)別和聯(lián)系、分析多擾動通道對H∞性能的影響以及可預演擾動的有效利用對H∞性能的改善.

H2控制；H∞控制；Riccati方程；線性二次

最優(yōu)LQ控制（即H2控制）與H∞控制是控制理論的兩種最基本的控制方式.它們具有不同的控制目標與性能.從頻域來講，這兩種控制性能都是對傳遞函數(shù)范數(shù)的刻畫.最優(yōu)控制期望通過控制器的設計使閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的H2-范數(shù)最?。ㄗ顑?yōu)）；H∞控制則期望通過控制器的調節(jié)使閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)（最?。┍幌薅ㄔ诮o定的范圍內［1］.簡單來講，H∞控制器的設計旨在使系統(tǒng)的跟蹤誤差或者干擾對系統(tǒng)的影響盡可能小.因此，H∞控制理論具有廣泛的應用背景，如船舶、魚雷、軋機控制等［2-4］.1989年，Doyle等人將最優(yōu)控制與H∞控制的頻域理論推廣到了時域［5］.這套理論的優(yōu)勢在于:首先，將問題的可解性及控制結果最終歸結為Riccati方程的可解性（因為Riccati理論已相當成熟［6］）；不僅如此，該理論還有許多其它優(yōu)點，如可以研究相應的時變問題、有限時域問題等，因而大大拓展了控制理論的研究范圍.時域最優(yōu)H2、H∞的控制目的等價于分別最小化被調節(jié)信號的l2范數(shù)、最小化一個l2誘導范數(shù)，次優(yōu)H∞控制則期望找到一個控制器使得某l2誘導范數(shù)被限制在給定的范圍內.與頻域法一樣，在最優(yōu)H∞控制性能的量化問題上，由于控制器設計與控制性能相互耦合，時域法至今沒能像H2控制一樣顯式地定量刻畫出最優(yōu)H∞控制性能.盡管如此，將已有的許多H∞控制方法如對策論［7-9］、不變嵌入［10］、不變空間的投影［11］等方法［12］與二分法相結合則可以簡單有效地解決最優(yōu)H∞控制問題.通常情況下，最優(yōu)H∞性能的搜索區(qū)間為（0，γu］，其中，γu是一個足以保證相應次優(yōu)H∞控制問題可解的正實數(shù).

由于需要求解H∞型Riccati方程，單純解決次優(yōu)H∞控制問題的代價已不小，二分法又意味著次優(yōu)H∞控制問題的多次求解.因此，有必要盡量縮小搜索范圍.嘗試提出一種刻畫H∞性能下界的時域方法，定量刻畫H∞性能的下界.該下界獲取簡單與H∞Riccati方程及慣性條件無關.它不僅能幫助我們快速錨定有效的搜索范圍，還有助于揭示最優(yōu)控制與H∞控制之間的區(qū)別、研究多通道擾動對H∞控制性能的影響以及可預演擾動對H∞控制性能的影響.此外，還提出了一個次優(yōu)H∞控制理論的等價理論.

對于任意的矩陣M、N，M′為矩陣M的轉置，ρ（M）為M的譜半徑，diag｛M，N｝為主對角線元素是M，N的塊對角陣．I為維數(shù)相容的單位陣．l2為由所有平方可加的序列x=｛x1，x2，…｝所組成的空間．對于任意的x∈l2，‖x‖2為x的l2-范數(shù)．對于任意的向量x∈Rn，｜x｜2為x的2-范數(shù)．對于希爾伯特空間中的任意元素x，y，〈x，y〉表示x，y的內積．對于任意的列向量x，y，col｛x，y｝表示由x，y堆疊成的維數(shù)為x，y維數(shù)之和的列向量．此外，還假設本文中所有變量、矩陣都是維數(shù)相容的．

1 問題描述

考慮確定性系統(tǒng)

式中:x為系統(tǒng)狀態(tài)，u為控制輸入，w為擾動輸入，z為待調節(jié)輸出，A，B1，B2，C，D是已知的矩陣．

為了保證所研究的問題有意義，下面是標準假設.

假設1 （A，B2）是可鎮(zhèn)定的；

假設2 系統(tǒng)［A，B2，C，D］在單位圓上無不變零點且左可逆；

注意假設2保證了D′D的可逆性．

不失一般性，為了簡化問題的后續(xù)推導過程會涉及到的符號，還將假設.

假設3 D′［CD］=［0I］．

標準的全息最優(yōu)H∞控制問題可敘述為:尋找全息控制器使得閉環(huán)映射Twz:w｜→z的l2誘導范數(shù)最小，即

為方便下文的敘述記

如前所述，最優(yōu)性能與控制器的耦合導致人們很難直接求解最優(yōu)H∞控制問題.而利用二分法求解最優(yōu)H∞控制問題的本質在于解決次優(yōu)H∞控制問題.因此，有必要給出次優(yōu)H∞控制問題的描述.

全息次優(yōu)H∞控制問題可敘述如下:對于給定的γ＞0，（判斷是否存在，若存在）尋找全息控制器uk使得在它的調節(jié)下，對于任意的非零能量有界擾動，閉環(huán)映射Twz:w｜→z的l2誘導范數(shù)均小于γ，即

由于次優(yōu)H∞控制問題的可解性等價于兩個條件:其一，相應的H∞Riccati方程存在半正定的可鎮(zhèn)定解；其二，某慣性條件成立.相對精確的二分法搜索范圍則意味著以相對小的代價來解決最優(yōu)H∞控制.因此，本文的目的在于找到γ0的下界，縮小搜索范圍，降低求解最優(yōu)H∞控制問題的代價.

2 最優(yōu)H∞控制問題的下界

作為陳述主要結論的準備，首先定義一些符號.引入下面的H2Riccati方程

其中Υ=D′D+B′2XB2．

由于假設1、2的成立，H2Riccati方程存在半正定的可鎮(zhèn)定的解且Υ＞0．根據(jù)Riccati方程的解X與Υ，定義下面的符號:

其次，引入下面的引理，它本質上是不定空間的投影定理，是給出本文主要結論的關鍵依據(jù).

引理1［13］已知U與V是希爾伯特空間，S: U｜→V與J∶V｜→V是有界線性算子．若對某個ε＞0，S′JS＞εI，則對于任意的v∈V，最優(yōu)化問題

存在唯一解且最優(yōu)解

等價刻畫為

上式意味著對于?u∈U，總有〈Su，J（Su?-v）〉=0成立．

由于所涉及到的變量都屬于希爾伯特空間，所以〈Su，J（Su?-v）〉=0意味著最優(yōu)軌道Su?-v與形如Su的這類軌道正交．

為了分解H∞下界理論的復雜推導，給出次優(yōu)H∞控制理論的一個等價結論.

定理1 對于給定的γ＞0和系統(tǒng)（1）-（2），γ＞γo的充分必要條件是Λ＜0、Riccati方程

存在半正定、可鎮(zhèn)定解，且使Φ+Ψ′ZΨ與diag｛-I，I｝有相同的慣性指數(shù)．

證明 必要性的證明基于引理1與下面的差分對策問題［9，13］上式的內層優(yōu)化是一個LQ優(yōu)化.根據(jù)引理1，假設1、2能夠保證muin‖z‖存在唯一的解．具體來講，記K是系統(tǒng)（1）的一個可鎮(zhèn)定狀態(tài)增益，則u=Kx+u?，u∈l2參數(shù)化了所有的容許控制．對于系統(tǒng)［A-B2K，B2，C-DK，D］，不難證明，與假設1、2類似，（A-B2K，B2）可鎮(zhèn)，［A-B2K，B2，CDK，D］在單位圓上無不變零點且左可逆．此時，根據(jù)引理1，作如下定義，分別取u?，l2為引理1中的u，U，算子S:u?｜→z∶l2｜→l2，是零初始狀態(tài)時系統(tǒng)［A-B2K，B2，C-DK，D］的輸入輸出映射．記z?是初始狀態(tài)和外部擾動分別為x0和w時系統(tǒng)［A-B2K，B1，C-DK，0］的輸出響應，分別取-z?，l2為引理1中的v，V，J=I，則S′S＞0，（根據(jù)假設3，S′S≥I）．此時根據(jù)引理1，內層優(yōu)化存在唯一的最優(yōu)解u?#（這同時意味著存在唯一的最優(yōu)解u#=Kx+u?#），且最優(yōu)解可被刻畫為S′（Su?#+z?）=S′z#=0，這里，z#=Su?#+z?是給定初始狀態(tài)x0，最優(yōu)控制u#及擾動w時，系統(tǒng)（1）-（2）的輸出響應．為方便將來敘述，記x#（x0，w），u#（x0，w），z#（x0，w）均為Rn×l2到l2的有界線性算子，這些算子由最優(yōu)控制問題的解所決定．

S′z#=0可等價描述為非因果系統(tǒng)的輸出響應

u#的最優(yōu)性意味著由式（1）、（2）、（5）、（6）決定的l2軌道x，z，p，u的最優(yōu)性．u#的唯一性則意味著初值x0和擾動w給定時式（1）、（2）、（5）、（6）所決定的l2軌道x，z，p，u的唯一性．

現(xiàn)在考慮基于內層優(yōu)化的外層優(yōu)化．實際上，γ＞γo意味著:對于任意的δ＞0，總存在容許的全息控制器，使得在它的調節(jié)下，對于零初始狀態(tài)和任意的擾動w∈l2，閉環(huán)系統(tǒng)的輸出響應總能滿足下面的關系

取閉環(huán)輸出z=z#（0，w），則

分別取w，l2，l2×l2為引理1中的u，U，V，顯然（w，z#（x0，w））∈V，再?。?，z#（x0，0））為引理1中的-v，Sw=（w，z#（0，w）），J=diag｛γ2I，-I｝．根據(jù)這些定義，式（8）可表示成

再根據(jù)引理1，內層優(yōu)化完成后的外層優(yōu)化存在唯一最優(yōu)解w?，最優(yōu)w?滿足S′J（w?，z?）=0，即

由于S′很難直接計算，令u=Kx是一個可鎮(zhèn)定的反饋控制，?z是在該反饋下、系統(tǒng)（1）-（2）對于零初始狀態(tài)和給定擾動w的輸出響應．記Δz=z#（0，w）-?z，則式（10）等價于

式（11）中的第2個等式成立是因為z#（x0，w）是初始狀態(tài)為x0、外部擾動為w時，內層優(yōu)化的最優(yōu)軌道，它正交于系統(tǒng)［A，B2，C，D］在零初始狀態(tài)和任意容許控制驅動下的輸出響應．令γ2〈w，w?〉-（w，?z）．根據(jù)式（11），可以給出最優(yōu)w?的另一種等價刻畫?S′J（w?，z?）=0．它進一步意味著反因果系統(tǒng)（5）與下式的成立．

總之，式（1）、（2）、（5）、（6）、（12）是最優(yōu)軌道x，p，u，w的唯一刻畫．記u?（x0）=u#（x0，w?（x0）），x?（x0）=x#（x0，w?（x0）），z?（x0）= z#（x0，w?（x0））．

根據(jù)式（1）、（2）、（5）、（6）、（12），

對式（13）的兩邊關于k從0到∞求和，則

為了分離最優(yōu)w與最優(yōu)u對最優(yōu)對策值的貢獻，引入下面的線性變化，

分離變換式（15）中的w尚未優(yōu)化.把式（15）帶入式（1）、（5）、（6），可得

觀察式（16）發(fā)現(xiàn)，ζk完全由ws，s≥k+1所決定，特別地ζ-1包含且僅包含所有的wk，k≥0．注意，式（15）～（17）對任意的w均成立．

現(xiàn)在取w=w?且將式（15）帶入式（14），則有

發(fā)現(xiàn)，當x0=0時，最優(yōu)擾動對最優(yōu)對策值的貢獻為0，而wk=0，k≥0對最優(yōu)對策值的貢獻也為0．結合最優(yōu)解w?的唯一性，可知x0=0時，最優(yōu)=0，k≥0，進一步有，=0，=0，k≥0．

如果將對策問題限制在區(qū)間［k，∞）上，前面所有關于必要性的分析都成立，當然，間的線性關系依然成立．

相似地，可以結合式（1）、（6）、（12）推導l2最優(yōu)軌道、最優(yōu)控制及最優(yōu)擾動與x0之間的線性關系．根據(jù)式（12）、（15）、（17）（為簡化符號，以下推導去掉了最優(yōu)軌道的標志符號?），

由于最優(yōu)軌道的唯一性，Λ必然可逆.因此，

將式（19）帶入式（16）、（17），得到

令

其中:s=0，1，…，并將之帶入式（20）、（31），則可推得式（3）．I-ΨΦ-1Ψ′的可逆性仍然緣于最優(yōu)軌道的唯一性．根據(jù)最優(yōu)對策值的表達式（18）、（22），可得最優(yōu)對策值必然大于等于w=0時的對策值

換句話說，

因此，

從x0的任意性，Z≥0顯然成立.式（3）的可鎮(zhèn)定性源于最優(yōu)軌道屬于l2空間.

證明Λ的負定性.考慮初始狀態(tài)為零時的對策問題式（4），根據(jù)式（8），γ＞γo意味著其唯一最優(yōu)解是u?=0，w?=0．因此，零初始狀態(tài)時，w取0外的任意值，只能導致一個嚴格小于0的對策值．取w0≠0，wk=0，k≥1，u=u#（0，w），參考式（13）、（15）、（21）可得

式（23）立即可導出Λ＜0．

證明慣性條件.眾所周知，由式（1）、（5）、（6）、（12）定義的齊次HJB方程有唯一l2解意味著狀態(tài)與伴隨狀態(tài)之間存在線性關系，則

P=A′PA+C′C-A′PBΠ-1B′PA．（24）

該線性關系完全被Riccati方程的半正定、穩(wěn)定、及滿足Π與diag｛-I，I｝有相同的慣性指數(shù)的解所刻畫，其中B=［B1，B2］，Π=B′PB+ diag｛-I，I｝．根據(jù)式（14），最優(yōu)對策值可通過P表示為〈x0，Px0〉，這意味著P=X+Z．復雜但直接的代數(shù)運算表明，

由此，慣性條件顯然成立.

充分性的證明是一個構造式的證明記.

該證明實際上是在式（3）具有給定性質解的前提下，說明式（26）是一個次優(yōu)H∞全息可鎮(zhèn)定反饋控制.

假設Z是式（3）的解，滿足定理1中給定的條件．定義P=X+Z，但此時并不知道P=X+Z滿足什么樣的關系式，具有怎樣的性質．因此，接下來需要證明P是某個Riccati方程滿足某些性質、條件的解．由于X，Z均是半正定矩陣，所以P也是半正定矩陣．給定初始狀態(tài)x0，定義ζ-1= Zx0．根據(jù)式（3）與HJB式（20）、（21），可推得xk+1=（I-ΨΦ-1Ψ′）-1Aγx0，ζk-1=Zxk，k＞0．接著據(jù)此定義xk+1，ζk，k＞0，再根據(jù)pk=Xxk+1+ζk定義pk，k≥0，考慮Λ與Υ的可逆性，可根據(jù)

及式（21）定義uk，wk，k≥0，最終根據(jù)式（2）定義zk，k≥0．

上面的構造如此定義的x，p，u，w是式（1）、（5）、（6）、（12）的l2解．同時，對于這樣構造的z，w，還將有下面的等式成立

此時并未作最優(yōu)性或者唯一性的任何說明.將基于上面的構造及結論建立P所滿足的關系.

根據(jù)uk，wk的定義式（27）、（19）及pk=Xxk+1+ ζk，作直接的運算可得

其中Π如式（25）所示.

因此，

說明當控制輸入與外部擾動分別取上面所構造的控制輸入與外部擾動時，系統(tǒng)（1）實際上等價于xk+1=AFx0，AF=（I-ΨΦ-1Ψ′）-1Aγ．有了上面的準備，下面可推導P實際上滿足式（24）．記則對于任意的初始狀態(tài)x0，

由于x0的任意性，左端的核矩陣P必然等于最后一個等號右端的核．直接的代數(shù)推導表明，式（28）右端的核矩陣即式（24）的右端．

需要強調的是，AF的穩(wěn)定性源自構造的解x屬于l2．根據(jù)式（25），Π的慣性條件是顯然的．至此，整個定理的證明完成．

不同于已有的H∞控制理論的推導，引入了一個可逆線性變換來分解u?與w?對對策值的貢獻，進而推導出等價的H∞控制理論.

將以定理的方式給出本文的主要結果.

定理2 對于系統(tǒng)（1）-（2），考慮最優(yōu)H∞控制問題，則有

證明 根據(jù)定理1，對于任意的γ＞γo，總成立Λ＜0，即

兩邊關于γ取下確界，則

則結論式（29）是顯然的.

盡管定理2僅提供了最優(yōu)性能的下界而非下確界，但由于僅依賴于H2Riccati方程的半正定穩(wěn)定解，所提供的下確界求解簡單方便.因此，二分法的搜索區(qū)域縮至

當擾動通道增加時，最優(yōu)H∞性能不減.即當另一擾動通道通過系統(tǒng)參數(shù)B3進入系統(tǒng)時，ρ（Q）=ρ（［B1，B3］′X（I-B2Υ-1B′2X）［B1，B3］）≥ρ（B′1XBx），不等號右端實際上即單擾動通道相應的H∞性能下界.

當部分擾動可以提前獲取時，因為需保證γ2I-Q-EGE′正定，所以ρ（Q-EGE′）必然為最優(yōu)H∞性能的下界，其中Q=B′1XBx，G＞0．因此，與標準H∞性能下界ρ（B′1XBx）相比，部分擾動可提前獲取時，最優(yōu)H∞性能可能被改進．

3 數(shù)值例子

1.869 6；第二種方法，計算H2Riccati方程的解X=可得Q=3.481 3，再計算H∞性能的下界ρ（Q）=1.865 8，此時可錨定最優(yōu)H∞性能的搜索區(qū)間［1.865 8，5］，此時，由于縮小了搜索區(qū)間，搜索了13次就找到了最優(yōu)H∞性能1.869 6.由于每一次搜索都要計算一個H∞Riccati方程，搜索次數(shù)每減少一次都意味著少計算一個H∞Riccati方程.因而，對于高維的系統(tǒng)，使用方法降低的搜索代價尤為明顯.

4 結 語

本文基于狀態(tài)空間提出了一種研究離散H∞控制性能下界的方法.因為辛矩陣與Hanmilton矩陣可以相互轉化，所以該方法也適用于連續(xù)H∞控制性能下界的研究［6］.此外，該方法不僅提供了H∞控制的等價理論，也能夠被用于研究復雜的H∞預演控制問題.

［1］ZHOU Kemin，DOYLE J C.Essentials of robust control［M］.New Jersey:Prentice Hall，1998.

［2］王益群，曹棟理，陳星，等.熱連軋卷取機踏步系統(tǒng)魯棒H∞控制研究［J］.機械工程學報，2002，38（10）: 62-64.

［3］段富海，彥衛(wèi)國，何長安.一種非線性優(yōu)化控制方法及其在魚雷控制中的應用［J］.控制理論與應用，2000，7（1）:65-68.

［4］張顯庫.船舶運動簡捷魯棒控制［M］.北京:科學出版社，2012.

［5］DOYLE J C，GLOVER K，KHARGONEKAR P，et al．State-space solutions to standard H2and H∞control problems［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1989，34（8）:831-847.

［6］BITTANTI S，LAUB A，WILLEMS J C.The riccati equation［M］.New York:Springer-Verlag，1991.

［7］TADMOR G.Worst-case design in the time domain:the maximum principle and the standard H∞problem［J］. Mathematics of Control，Signals，and Systems，1990，3（4）:301-324.

［8］YAESH I，SHAKED U.Minimum H∞-norm regulation of linear discrete-time systems and its relation to linear quadratic discrete games［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1990，35（9）:1061-1064.

［9］BASAR T，BERNHARD P.H∞-optimal control and related minimax design problems:a dynamic game approach［M］.Boston:Birkhauser，1995.

［10］BENSOUSSAN A，DA PRATO G，DELFOUR M，et al．Representationandcontrolofinfinitedimensional systems［M］.Boston:Birkhauser，2007.

［11］HASSIBI B，SAYED A，KAILATH T.Indefinitequadratic estimation and control:a unified approach to H2and H∞theories［M］.Philadelphia:Society for Industrial Mathematics，1999.

［12］ZHOU Kemin，DOYLE J，GLOVER C.Robust and optimal control［M］.New Jersey:Prentice Hall，1996.

［13］TADMOR G，MIRKIN L.H∞control and estimation with preview-part I:matrix ARE solutions in continuous time［J］.IEEE Trnsactions on Automatic Control，2005，50（1）:19-28.

（編輯 苗秀芝）

Lower bound for discrete-time H∞performance

WANG Hongxia1，ZHANG Huanshui2，YU Li1，CHEN Xin1
（1.School of Information Engineering，Zhejiang University of Technology，310023 Hangzhou，China；2.School of Control Science and Engineering，Shandong University，250061 Jinan，China）

The paper aims to provide an approach to obtain a lower bound of H∞control performance in state space.It is not involved in algebraic manipulation of Riccati equation and only concerned with the solution to the standard H2Riccati equation.As a consequence，the approach can help one to narrow the optimal H∞performance search via bisection method to a smaller range and considerably reduce the search cost.In addition，the approach enables us to have an insight into not only the link and difference between the optimal performance and the H∞performance including the optimal control and H∞control performance，the optimal estimation and the H∞estimation，but also the impact of the multiple-channel disturbances or previewable disturbance on the H∞control performance.

H2control；H∞control；riccati equation；LQ

TP13

A

0367-6234（2014）06-0123-06

2014-01-09.

國家自然科學基金資助項目（61203045）；浙江省自然科學基金資助項目（LQ14F030004）.

王宏霞（1980—），女，博士，助理研究員；張煥水（1963—），男，教授，博士生導師；俞 立（1961—），男，教授，博士生導師.

王宏霞，whx1123＠126.com.