皮陽軍，王驥，胡玉梅

（重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶400044）

并聯(lián)六自由度機構(gòu)運動學與動力學標定對比

皮陽軍，王驥，胡玉梅

（重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶400044）

為了研究并聯(lián)六自由度機構(gòu)不同標定方法的適用性，依據(jù)運動學標定和動力學標定，分別建立了并聯(lián)六自由度機構(gòu)的標定模型，并通過數(shù)值仿真對標定效果進行對比分析。結(jié)果表明：運動學標定方法對提高機構(gòu)運動正解精度更為有效，正解誤差比動力學標定的結(jié)果小4.9%，有利于傳統(tǒng)的基于關(guān)節(jié)空間的并聯(lián)機構(gòu)控制策略；動力學標定方法對提高機構(gòu)動力學模型精度更為有效，關(guān)節(jié)驅(qū)動力誤差比運動學標定的結(jié)果小5～25 N，更適合基于工作空間的并聯(lián)機構(gòu)控制策略。

并聯(lián)六自由度機構(gòu)；結(jié)構(gòu)參數(shù)；標定方法；標定精度；關(guān)節(jié)空間；動力學標定；運動學標定

隨著并聯(lián)六自由度機構(gòu)廣泛應(yīng)用于航天航空、艦船模擬器、工業(yè)制造等領(lǐng)域，傳統(tǒng)的PID控制方式已經(jīng)不能滿足人們在實際生產(chǎn)活動中對并聯(lián)六自由度機構(gòu)精度的要求。國內(nèi)外越來越多的學者將先進的控制理論應(yīng)用到并聯(lián)六自由度機構(gòu)的控制實踐上，如魯棒控制［1］、自適應(yīng)控制等［2］。許多控制方法可歸類為基于模型的控制方法，其控制效果在很大程度上受到模型精度的影響。因此，需要提高機構(gòu)模型精度。目前一種經(jīng)濟有效的方法就是對機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進行標定［3］。

并聯(lián)機器人的控制方式主要有基于關(guān)節(jié)空間和基于工作空間2種方式［4］?；陉P(guān)節(jié)空間的控制方式［5-7］盡管控制算法簡單，易實現(xiàn)［8］，但是，對于解決各驅(qū)動桿之間相互耦合以及關(guān)節(jié)空間到工作空間映射誤差的問題，還是存在著一些不足之處。目前，許多學者提出了基于工作空間的控制方式［9-10］，即通過測量動平臺的位姿信息作為反饋信號，然后與動平臺目標位姿進行對比，再調(diào)整各缸輸入量，從而控制動平臺跟蹤目標軌跡運動。在基于關(guān)節(jié)空間控制方法中，控制精度除了取決于控制器本身的精度外，還很大程度上依賴于機構(gòu)正解精度，而正解精度往往取決于機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，因此，需要對機構(gòu)模型參數(shù)進行標定。許多學者提出了并聯(lián)六自由度機構(gòu)的運動學標定方法［11-13］。另一方面，基于工作空間的控制方法需要有較高精度的機構(gòu)動力學模型，文獻［14］提出一種動力學標定方法，該方法依據(jù)并聯(lián)六自由度機構(gòu)的動力學模型以及關(guān)節(jié)力和廣義力之間的映射關(guān)系，構(gòu)建實際廣義力與理論廣義力的差值為目標函數(shù)，采用最小二乘法求最優(yōu)解的方法標定出結(jié)構(gòu)參數(shù)。該方法有效減小了關(guān)節(jié)驅(qū)動力誤差，提高了并聯(lián)六自由度機構(gòu)動力學模型精度。

為比較2種標定方法的效果，首先建立了并聯(lián)六自由度機構(gòu)虛擬樣機，然后分別對樣機進行動力學與運動學標定，最后對不同標定方法的標定效果進行對比分析。

1 并聯(lián)六自由度機構(gòu)

建立并聯(lián)六自由度機構(gòu)虛擬樣機，如圖1所示。圖2為結(jié)構(gòu)示意圖，基坐標系O1X1Y1Z1和動坐標系O2X2Y2Z2分別是基平臺和動平臺上的坐標系，標定目標參數(shù)θ分別為：上平臺鉸鏈Pi在動坐標系中的位置坐標b′i；下平臺鉸鏈Bi在基坐標系中的位置坐標Bi；各桿的初始長度q。確定機構(gòu)動力學、運動學模型時都需要以上參數(shù)，這些參數(shù)的精確性決定了機構(gòu)模型的精度。

圖1 并聯(lián)六自由度機構(gòu)ADAMS模型Fig.1 ADAMS model of the 6-DOF parallel mechanism

圖2 并聯(lián)六自由度機構(gòu)示意圖Fig.2 Sketch map of the 6-DOF parallel mechanism

2 運動學標定原理

并聯(lián)機器人基于關(guān)節(jié)空間控制的理論基礎(chǔ)是并聯(lián)機構(gòu)運動學模型的逆解算法，即動平臺目標位姿通過逆解算法計算得各桿的桿長，然后控制各桿運動至指定位置，從而獲得動平臺位姿。典型的并聯(lián)六自由度機構(gòu)運動學標定方法也是基于并聯(lián)六自由度機構(gòu)運動逆解算法，即動平臺位姿通過逆解算法計算得相應(yīng)理論桿長增量，并利用關(guān)節(jié)傳感器獲得實際的桿長增量，構(gòu)建實際桿長與理論桿長的差值作為目標函數(shù)，最后利用優(yōu)化算法辨識出機床的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

在動坐標系中的任一向量R＇可以通過坐標變換方法變換到固定坐標系中的R［15］：

式中：T為并聯(lián)六自由度機構(gòu)動平臺位姿的方向余弦矩陣：

C為動坐標系的原點在固定坐標系中的位置矢量：

因此，可以得出上下平臺各鉸鏈點在固定坐標系中的位置向量bi，Bi（i＝1，2，…，6）。此時，第i根活塞桿桿長向量li可表示為則桿長增量Δli＝li－qi。構(gòu)造桿長增量偏差目標函數(shù)Δe＝Δl－Δl′，其中模型桿長增量Δl＝［Δl1，…，Δl6］T，Δl′是實際桿長增量。最后通過最優(yōu)算法解得運動學標定結(jié)構(gòu)參數(shù)使目標函數(shù)e最小。

3 動力學標定原理

動力學標定是基于并聯(lián)六自由度機構(gòu)的動力學方程如下：

式中：M為上平臺的廣義質(zhì)量陣，V為上平臺非線性科氏向心項系數(shù)矩陣，G為上平臺重力項，X為上平臺廣義位姿，F(xiàn)為上平臺所受廣義力。

同時，關(guān)節(jié)力f與廣義力F可以通過力雅可比矩陣Jf聯(lián)系起來，即

將式（6）代入式（5），可得

當并聯(lián)六自由度機構(gòu)處于靜止狀態(tài)時，廣義速度X·和廣義加速度X¨均為零，所以，動力學方程可簡化為靜力學方程，可表示為

將力雅可比矩陣表示為關(guān)于結(jié)構(gòu)參數(shù)與機構(gòu)位姿的函數(shù)，可得到

對于給定的并聯(lián)六自由度機構(gòu)，G為常數(shù)向量。可通過關(guān)節(jié)力傳感器測量機構(gòu)處于不同位姿X時各關(guān)節(jié)的驅(qū)動力f，通過最優(yōu)算法，如最小二乘法，便可解得動力學標定結(jié)構(gòu)參數(shù)θ。

4 標定及仿真結(jié)果

4.1 標定結(jié)果

在虛擬樣機仿真中測量運動學標定所需的動平臺位姿信息和活塞桿位移量，以及動力學標定所需的動平臺位姿和關(guān)節(jié)驅(qū)動力。通過最小二乘法求解得運動學標定參數(shù)和動力學標定參數(shù)。標定結(jié)果如表1～4所示。

表1 并聯(lián)六自由度機構(gòu)實際結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Actual structural parameters of the 6 DOF parallel mechanism m

表2 并聯(lián)六自由度機構(gòu)設(shè)計結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 2 Design structural parameters of the 6 DOF parallel mechanism m

表3 并聯(lián)六自由度機構(gòu)運動學標定結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 3 Kinematics identified structural parameters of the 6 DOF parallel mechanism m

表4 并聯(lián)六自由度機構(gòu)動力學標定結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 4 Dynamics identified structural parameters of the 6 DOF parallel mechanism m

4.2 仿真結(jié)果

比較運動學標定與動力學標定的正解精度，首先給定6根活塞桿的位移輸入量如下

然后分別測量實際以及標定后的動平臺位移曲線，如圖3所示，計算得動平臺位置誤差如圖4所示。由圖可以看出，運動學標定后動平臺位置誤差小于動力學標定后及設(shè)計模型的動平臺位置誤差。因此，對于需要提高機構(gòu)正解精度的情況（基于關(guān)節(jié)空間的控制），運動學標定更為適用。

圖3 動平臺位移曲線Fig.3 Displacement curves of moving platform

圖4 動平臺位置誤差Fig.4 Position errors of moving platform

為比較2種標定方法動力學逆解精度，首先給定動平臺運動曲線方程：

然后分別測量實際關(guān)節(jié)驅(qū)動力以及標定后的關(guān)節(jié)驅(qū)動力，從而得到關(guān)節(jié)驅(qū)動力誤差曲線，如圖5～7。

圖5 設(shè)計結(jié)構(gòu)參數(shù)關(guān)節(jié)驅(qū)動力誤差Fig.5 Joint force errors without calibration

圖6 運動學標定后關(guān)節(jié)驅(qū)動力誤差Fig.6 Joint force errors with kinematic calibration

圖7 動力學標定后關(guān)節(jié)驅(qū)動力Fig.7 Joint force errors with dynamic calibration

從圖中可以看出，動力學標定后的關(guān)節(jié)驅(qū)動力誤差小于運動學標定后及設(shè)計模型的關(guān)節(jié)驅(qū)動力誤差。因此，對于需要提高機構(gòu)動力學逆解精度的情況（基于工作空間的控制），動力學標定更加有效。

根據(jù)動平臺位置誤差曲線，以及關(guān)節(jié)驅(qū)動力誤差曲線，可得到運動學標定和動力學標定的誤差值對比，如表5所示。

表5 2種標定方法誤差值對比Table 5 Comparison of errors in two calibrations

5 結(jié)論

本文通過對并聯(lián)六自由度機構(gòu)運動學與動力學標定方法進行對比分析，提出了這兩種標定方法對不同控制策略的適用性：1）當采用基于關(guān)節(jié)空間的控制方式時，僅控制各驅(qū)動桿的位移量，然后通過運動正解關(guān)系獲得動平臺位姿，最終控制精度不僅取決于關(guān)節(jié)控制精度，也依賴于機構(gòu)的正解精度。由仿真結(jié)果可知，基于運動學的標定方法可以有效提高并聯(lián)六自由度機構(gòu)的正解精度，該方法適宜于基于關(guān)節(jié)空間的控制方式。2）當采用基于工作空間的控制方式時，直接測量動平臺的位姿信息作為反饋量，然后通過并聯(lián)機構(gòu)的動力學模型求得所需關(guān)節(jié)驅(qū)動力，控制精度在很大程度上依賴于動力學模型的精度。仿真結(jié)果表明，采用動力學標定后，關(guān)節(jié)驅(qū)動力誤差明顯減小，有效提高了并聯(lián)六自由度機構(gòu)的動力學模型精度，該方法更適宜于并聯(lián)機構(gòu)基于工作空間的控制方式。所得結(jié)論有助于并聯(lián)六自由度機構(gòu)標定方法的選擇以及控制精度的提高。

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Comparison of dynamic and kinematic calibrations for the 6-DOF parallel mechanism

PI Yangjun，WANG Ji，HU Yumei
（State Key Laboratory of Mechanical Transmission，Chongqing University，Chongqing 400044，China）

In order to study the usability of different calibration methods for the 6-DOF（six degrees of freedom）parallel mechanism，calibration models of the mechanism were established on the basis of kinematic and the dynamic calibrations.The comparative analyses of kinematic and the dynamic calibrations were done by the numerical simulation.The results showed that the kinematic calibration is more effective in improving forward solution precision of the mechanism.It is also shown that the forward solution error is 4.9%less than that of the dynamic calibration，which is beneficial to the conventional joint-space control of parallel mechanism.The dynamic calibration is more effective in improving dynamic model precision of the mechanism and joint force error is 5～25 N less than that of the kinematic calibration，which is suitable for the task-space control strategy of parallel mechanism.

6－DOF parallel mechanism；structural parameter；calibration method；calibration accuracy；joint spacing；dynamic calibration；kinematic calibration

10.3969／j.issn.1006-7043.201307047

http：／／www.cnki.net／kcms／doi／10.3969／j.issn.1006-7043.201307047.html

TH39

A

1006-7043（2014）11-1422-05

2013-07-16.網(wǎng)絡(luò)出版時間：2014-09-18.

國家自然科學基金資助項目（51105389）；中央高?；緲I(yè)務(wù)費資助項目（CDJZR12280013，CDJRC11280003）.

皮陽軍（1981-），男，副教授，博士.

皮陽軍，E-mail：cqpp＠cqu.edu.cn.