朱家明， 王 強， 胡紅颯， 汪 姚

(安徽財經(jīng)大學(xué)a.統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院;b.金融學(xué)院;c.國際經(jīng)濟貿(mào)易學(xué)院;d.會計學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

0 引言

大學(xué)生體質(zhì)健康測試主要包括身體形態(tài)、身體機能、身體素質(zhì)等方面，具體測試項目包括身高、體重、肺活量、立定跳遠(yuǎn)、握力(男生)、坐位體前屈(女生)和臺階試驗等指標(biāo)，本文旨在探究體重對大學(xué)生體質(zhì)健康的顯著影響并建立大學(xué)生體質(zhì)健康的模糊綜合評價模型(詳見2013年第十屆五一數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽 A 題[1]).

1 體重對體質(zhì)健康的影響和測量數(shù)據(jù)偏差的判斷

(一)建模準(zhǔn)備

首先由體重指標(biāo)引出身高體重指數(shù):BMI(體重(kg)/[身高(m)]2)，然后通過t檢驗等統(tǒng)計方法來研究BMI與學(xué)生體質(zhì)健康各項指標(biāo)之間的相關(guān)關(guān)系，并利用均值方差檢驗尺度，建立數(shù)據(jù)的回代檢測模型，最后判斷附件1中1，2，3班同學(xué)誤差顯著的學(xué)生的基本情況.建模流程如圖1.

(二)模型的建立與求解

(1)體重對體質(zhì)健康影響的回代檢測模型

1)以身高體重指數(shù)(BMI)為切入點，其身高體重指數(shù)分級情況為[2]:低重組的BMI小于等于18.5;正常組的BMI為18.5～24;超重組的BMI為24～28;肥胖組的BMI大于等于28.

圖1 BMI對體質(zhì)健康影響的回代模型

2)該數(shù)據(jù)中大一學(xué)生BMI的分布特征及各組男女生所占百分比.(見圖2、圖3)

由圖2可知，大學(xué)生體重指數(shù)BMI在18～24之間是最集中的，基本上處于正常體質(zhì)健康水平.

3)得出男生和女生各體質(zhì)健康指標(biāo)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差和顯著性檢驗值(P值)(見表1).

由表1可知，男生肺活量體重指數(shù)、臺階試驗指數(shù)、立定跳遠(yuǎn)指數(shù)低重組高于正常組，而超重組和肥胖組低于正常組，且其，說明男生BMI與該指數(shù)之間有顯著性意義.女生也是如此.得知:男生和女生肺活量體重指數(shù)、臺階試驗指數(shù)、立定跳遠(yuǎn)指數(shù)的超重組和肥胖組均低于正常組，說明超重及肥胖對大學(xué)生的生理機能和呼吸機能有顯著的負(fù)面影響，對下肢的爆發(fā)力產(chǎn)生了一定的阻礙.而越超重和肥胖，其握力潛力越大.

圖2 學(xué)生體重指數(shù)BMI的分布直方圖

圖3 各組男女生所占百分比

表1 男生和女生體質(zhì)健康指標(biāo)的統(tǒng)計分析及BMI與各體質(zhì)健康指標(biāo)的顯著性檢驗

篩選BMI與學(xué)生體質(zhì)健康之間具有很強相關(guān)性 的各項指標(biāo)和并結(jié)合均值方差檢驗尺度(見表2).

表2 男生和女生BMI與各指標(biāo)之間的相關(guān)系數(shù)檢驗

由表2可知，男生BMI與肺活量體重指數(shù)有很強的負(fù)相關(guān)性，故只考慮肺活量體重指數(shù)對男生BMI的作用效果.女生亦如此.通過均值方差檢驗分析，得到大學(xué)生體質(zhì)健康指標(biāo)的正常測量范圍:

超過正常測量范圍的視為該學(xué)生在測量時未表現(xiàn)出自己的真實水平，測量結(jié)果偏差較大.(2)測量數(shù)據(jù)偏差的判斷

表3 1，2，3班中學(xué)生測試數(shù)據(jù)偏差顯著的情況

得知:1，2，3班共72個學(xué)生有19個偏差較大 的數(shù)據(jù)，應(yīng)舍去這些異常點或責(zé)令重新測試.

圖5 多維正態(tài)性檢驗的QQ圖

2 不同生源地學(xué)生體質(zhì)健康的顯著差別判斷

(一)建模準(zhǔn)備

(1)建模思路

以置信度為95%的置信區(qū)間和由樣本估計出的總評價指數(shù)的估計誤差不超過0.3進行抽樣，得出8個生源地的樣本，最后以地區(qū)為單一因素進行單因素方差檢驗.建模流程見圖4.

(2)總評價指數(shù)

根據(jù)《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》大學(xué)生評價項目權(quán)重[3]，得到總評價指數(shù)為:BMI權(quán)重系數(shù):0.10;臺階實驗:0.30;肺活量體重指數(shù):0.20;立定跳遠(yuǎn):0.20;握力體重指數(shù)(坐位體前屈):0.20.

(3)確定樣本容量并抽樣

根據(jù)不放回條件下估計參數(shù)為總體均值時樣本量 n 的確定公式[4]

其中，N為總體單位數(shù);σ2為總體方差;Δ =為總體均值估計的極限誤差.

得知總評價指數(shù)的 σ =11.15752，α =0.05，zα/2=1.96，Δ =0.3，總共應(yīng)該抽取 597 人.

利用excel中的VBA編程對各個生源地進行無重復(fù)的隨機抽樣，得到每個生源地需要抽樣的樣本數(shù)量為:生源地1:420人;生源地2:50人;生源地3:49人;生源地4:19人;生源地5:7人;生源地6:27人;生源地7:11人;生源地8:13人.

(二)模型的建立與求解

(1)正態(tài)性檢驗

生源地1，2，3的樣本數(shù)量超過50，由中心極限定理知，近似服從正態(tài)分布.而對一些小樣本，即生源地4，5，6，7，8 的總體樣本，利用 Matlab7.1 軟件分別進行建立正態(tài)性檢驗[5]，(見圖5)

由圖5可以看出，數(shù)據(jù)點基本落在直線上，故不能拒絕數(shù)據(jù)服從六維正態(tài)分布的假設(shè)，且多維正態(tài)分布的邊緣分布服從正態(tài)分布，但反之不真.即各生源地數(shù)據(jù)均服從正態(tài)分布.

(2)單因素方差檢驗

由各生源地的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得8個總體的各個指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差，得知各生源地6項指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差值大致相等.可將各生源地6項指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差看做相等，即總體方差具有齊性.

1)提出假設(shè):a.原假設(shè):H0:?i，j∈ (1，2，…，8)，μi=μj(i≠j)，8個生源地中至少有兩個的平均值相等;b.備擇假設(shè):H0:μ1≠μ2≠…≠μ8，8個生源地之間存在顯著性差異.

2)確定顯著性水平:依據(jù)小概率原理，規(guī)定顯著性水平 α =0.05.

3)是否接受假設(shè):若P＜α=0.05，則拒絕原假設(shè)，存在顯著性差異，否則無顯著性差異.

利用Excel軟件的數(shù)據(jù)分析工具可以得到各個指標(biāo)對應(yīng)的單因素方差檢驗值(見表4).

表4 基于單因素方差檢驗下的各個指標(biāo)對應(yīng)的方差分析表

由表4可知，各指標(biāo)的F值均小于Fcrit(即F臨界值)，故均以α=0.05的顯著性水平接受原假設(shè) H0:?i，j∈(1，2，…8)，μi= μj(i≠j)，并且P檢驗值均大于α=0.05，可以得到相同的結(jié)論.即:不同生源地學(xué)生的體質(zhì)健康沒有顯著差別.

3 基于模糊綜合評價法的學(xué)生體質(zhì)健康狀況分析

(一)建模準(zhǔn)備

模糊綜合評價法基本思想:設(shè)給定論域U，所謂U上的一個模糊子集A是指對于任意的x∈U，都能確定正數(shù)UA(X)∈[0，1]，用這個數(shù)x表示屬于A的程度.映射UA:U→[0，1]，x→UA(x)∈[0，1]，稱為A的隸屬函數(shù)，常數(shù)UA(x)叫做U中的元素對模糊子集A的隸屬度[6].

綜合得分:根據(jù)每個指標(biāo)的權(quán)重，對所有單項得分進行加權(quán)平均得到新的得分，記為z.可知:

其中，wi為某一指標(biāo)的權(quán)重，yi為某一指標(biāo)的單項得分.

(二)模型的建立與求解

觀察大學(xué)生各項評分測試標(biāo)準(zhǔn)得知，當(dāng)測試項目處于不及格等級時，單位指標(biāo)的變動對得分的影響較大，故將不及格等級的指標(biāo)單獨分段.

(1)隸屬函數(shù)

男生和女生模型思路一致，先考慮女生模型的建立，根據(jù)模糊數(shù)學(xué)得到各指標(biāo)的隸屬函數(shù)如下:

(2)單項得分

于是可得其對應(yīng)的某一指標(biāo)單項得分關(guān)于指標(biāo)值的函數(shù)如下:

其中，x1，x2，x3，x4分別表示肺活量體重指數(shù)、臺階試驗、立定跳遠(yuǎn)、坐位體前屈的值;u1，u2，u3，u4分別表示對應(yīng)指標(biāo)的隸屬函數(shù);y1，y2，y3，y4分別表示對應(yīng)指標(biāo)的單項得分.同樣可以得出男生對應(yīng)的某一指標(biāo)單項得分關(guān)于指標(biāo)值的函數(shù).

(3)權(quán)重向量

對單項得分進行處理，得出 y1，y2，y3，y4的變異系數(shù)(見表5).

表5 男生和女生各項得分的方差、均值和變異系數(shù)

將變異系數(shù)進行歸一化處理，得女生各指標(biāo)所占權(quán)重:

w1=0.31;w2=0.13;w3=0.46;w4=0.10

評分標(biāo)準(zhǔn)表明握力體重指數(shù)及格情況為54以上，而測試得到的758名男生的握力體重指數(shù)單項及格率僅為20.3%，那么將導(dǎo)致近乎80% 的男生處于不及格之下，綜合評分結(jié)果誤差很大，于是該模型將只選擇肺活量體重指數(shù)、臺階試驗、立定跳遠(yuǎn)這三項指標(biāo)對男生進行綜合評分.

可得男生各指標(biāo)所占權(quán)重為:w1=0.33;w2=0.21;w3=0.46

(4)模糊綜合評價模型

以綜合得分z來評價該校學(xué)生的體質(zhì)健康狀況:

女生體質(zhì)健康的綜合得分

男生體質(zhì)健康的綜合得分

其中，優(yōu)秀得分:[90，100];良好得分:[75，90);及格得分:[60，75);不及格得分:[0，60).

由1班29名同學(xué)的綜合得分得到23位男生和6位女生的綜合體質(zhì)健康評價狀況.(見表6)

表6 1班學(xué)生綜合體質(zhì)健康評價狀況

男生 0 0 2 8.70% 13 56.52% 8 34.78%女生0 0 2 33.33% 3 50% 1 16.67%

由表6得知，23位男生和6位女生的綜合體質(zhì)健康評價中沒有優(yōu)秀人數(shù)，大部分學(xué)生集中在及格的階段，其中男生及格總?cè)藬?shù)15(及格13人，良好2人)，及格率達到了65.22%;女生及格總?cè)藬?shù)5(及格3人，良好2人)，及格率達到了86.63%.29位學(xué)生中有近乎9人是體質(zhì)健康不符合標(biāo)準(zhǔn)的，學(xué)校應(yīng)對這些學(xué)生予以重視.

4 總結(jié)

本文從BMI、一倍標(biāo)準(zhǔn)差、模糊數(shù)學(xué)等多個角度入手，運用了多種統(tǒng)計方法，并且也通過了各種檢驗尺度，得出了體重對大學(xué)生體質(zhì)健康的顯著影響和不同生源地的學(xué)生體質(zhì)健康并沒有顯著差別.所建立的模糊綜合評價模型，可較為全面的分析出大學(xué)生體質(zhì)健康評價問題.

[1]網(wǎng)上資源.http://www.madio.net/thread－185941－1－1.html.

[2]吳新宇，付曉春.大學(xué)生體重指數(shù)與體質(zhì)健康指標(biāo)關(guān)系的研究[J].北京體育大學(xué)學(xué)報，2006，29(8):1087－1088.

[3]惠萍，朱紅衛(wèi).對大學(xué)生體質(zhì)綜合評標(biāo)準(zhǔn)的研究[J].少年體育訓(xùn)練，1997，3:36－37.

[4]朱廣萍.應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)中樣本容量的確定方法[J].寧夏大學(xué)學(xué)報，2002，2:23－24.

[5]李柏年，吳禮斌.Matlab數(shù)據(jù)分析法[M].北京:機械工業(yè)出版社，2012.1.

[6]楊桂元，黃己立.數(shù)學(xué)建模[M].合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2008.8.