耿 佳，張偉偉，趙子龍，耿佳楊

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

土木結(jié)構(gòu)坍塌事故會給人類的生命及財產(chǎn)帶來巨大的損失[1]。橋梁作為交通工具的重要組成部分，一旦發(fā)生坍塌事故會造成無法挽回的生命財產(chǎn)損失[2]，所以對橋梁進行監(jiān)測，在結(jié)構(gòu)發(fā)生早期損傷時及時發(fā)現(xiàn)并采取相應(yīng)的加固措施成為橋梁管理的重要組成部分。

在橋梁工程中，移動載荷是“車輛-橋梁”系統(tǒng)中對車輛載荷和重物載荷的簡化模型。自2000年以來，如何利用橋梁結(jié)構(gòu)在移動載荷下的動態(tài)響應(yīng)進行結(jié)構(gòu)損傷識別受到了越來越多的研究人員的關(guān)注。王步宇，俞亞南[3]研究了利用移動載荷作用下結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)幅值和非線性特征的變化來提取有關(guān)結(jié)構(gòu)的損傷信息；徐偉華，呂忠榮等[4]人研究了基于多跨連續(xù)橋梁的某一橋梁物理參數(shù)在移動在移動載荷作用下的響應(yīng)靈敏度的有限元模型修正法來識別結(jié)構(gòu)局部損傷；杜永峰，劉云帥等[5]研究了移動載荷作用下簡支梁某一點撓度解析解，在理論上證明了撓度差值影響線對損傷的識別。Li和Law[6]利用數(shù)學(xué)方法模擬了移動載荷和具有損傷的橋梁結(jié)構(gòu)的特性，在此基礎(chǔ)上研究了基于橋梁結(jié)構(gòu)在移動載荷作用下的響應(yīng)敏感性作為損傷指標的損傷識別方法，并討論了在不完備測量條件下該方法的識別精度。

小波理論作為非穩(wěn)態(tài)信號處理的先進方法，在結(jié)構(gòu)損傷檢測中具有廣泛的應(yīng)用。其理論基礎(chǔ)為結(jié)構(gòu)中的損傷必然會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)的奇異點，小波分析適合于檢測信號中的奇異點，該方法只需要測量橋梁少數(shù)幾個點的響應(yīng)信號，利用小波分析實現(xiàn)損傷定位和評估，具有理論明確，操作簡單的特點。2006年，Zhu和Law[7]利用移動載荷作用下橋梁中點位置的撓度響應(yīng)信號作為損傷識別依據(jù)，并利用如圖1(a)所示的Mexican hat 小波對該響應(yīng)進行損傷識別分析，從而獲得結(jié)構(gòu)局部損傷的損傷參數(shù)，結(jié)果表明該方法不僅可以識別出裂紋的位置而且還可以指示裂紋的深度；Khorram A[8]提取了移動載荷作用時梁中點動態(tài)響應(yīng)，利用Gaussian-4小波進行損傷識別。為了量化損傷程度，作者依據(jù)小波變換局部極值定義了損傷指標，并利用因子設(shè)計給出了梁長高比、損傷位置以及損傷深度與損傷指標之間的顯示表達。Nguyen K等[9]應(yīng)用多自由度的機車在梁式結(jié)構(gòu)上移動的模型，將位移傳感器布置在車輛模型上來并提取隨時間變化的位移響應(yīng)信號作為小波分析的輸入信號，分析了位置為L/3和2L/3處深度相同的損傷，而并未對裂紋個數(shù)變化以及裂紋深度隨裂紋位置不同時的識別進行研究，而且測量結(jié)果很容易受到干擾； Khorram A[10]提取移動載荷作用下中點位置的撓度響應(yīng)信號作為如圖1(b)所示Gaussian-4小波分析的輸入信號，進行多處損傷定位分析，并利用小波系數(shù)局部極大值建立了損傷指標DI，從而指示裂紋的大小。

圖1 Mexican Hat、Gaussian-4和Gaussian-5小波Fig.1 The wavelet of Mexican Hat，Gaussian-4 and Gaussian-5

在移動載荷下，橋梁動態(tài)響應(yīng)包括位移、速度和加速度，現(xiàn)有文獻主要討論了位移和加速度在損傷識別中的應(yīng)用。已知速度和加速度可以由位移求導(dǎo)獲得，因此，和位移相比，速度和加速度有望獲得更高的靈敏度。同時，加速度對信號的局部特征更為敏感，易受噪聲影響?；诖?，將檢驗速度響應(yīng)作為結(jié)構(gòu)損傷檢測基礎(chǔ)信號的有效性，考慮到實際工程中多處裂紋同時發(fā)生，將對利用速度響應(yīng)識別結(jié)構(gòu)多位置裂紋損傷將重點描述，并對噪聲以及載荷速度對識別效果的影響進行深入討論。

1 梁的運動方程

1.1 無裂紋梁運動方程

在移動載荷作用下無裂紋梁的力學(xué)模型如圖2所示。該梁承受移動載荷P(t)，其運動方程為：

(1)

圖2 無裂紋梁的力學(xué)模型Fig.2 The model of intact beam

邊界條件為：

(2)

初始條件為：

(3)

方程(1)的解為：

(4)

(5)

對式(5)求導(dǎo)可得到梁中點的速度為:

(6)

1.2 裂紋梁運動方程

當梁中存在裂紋時，可將其簡化為由扭轉(zhuǎn)彈簧連接的多個Euler-Bernoulli子梁[6]，如圖3所示。其中扭轉(zhuǎn)彈簧在裂紋處。圖3所示含有離散裂紋的梁結(jié)構(gòu)在移動載荷作用下第i部分的歐拉伯努利特征函數(shù)ri為：

ri(xi)=Aisinβxi+Bicosβxi+Cisinhβxi+Dicosβxi,
(i=1,2,…,N+1)

(8)

圖3 裂紋梁的力學(xué)模型Fig.3 The model of crack beam

β是該梁的特征值。

邊界條件為：

r1(xi)x1=rN+1(xN+1)|xN+1=lN+1=0

(9)

(10)

ri(xi)|xi=li=ri+1(xi+1)|xi+1=0

(11)

(12)

(13)

(14)

由此可得該裂紋梁的模態(tài)函數(shù)為:

φ(x)=r1(x)[1-H(x-l1)]+

(15)

其中H(x)是單位長度階梯函數(shù)。

則裂紋梁中點的撓度響應(yīng)為：

(16)

求導(dǎo)可得該裂紋梁中點的速度響應(yīng)為：

(17)

2 利用連續(xù)小波變換識別裂紋

在式(16)所示的含有結(jié)構(gòu)模態(tài)振型函數(shù)的響應(yīng)中由于在裂紋處不連續(xù)而存在突變點，這些突變點會在結(jié)構(gòu)的速度響應(yīng)曲線中成為奇異點，這些奇異點是無法直接觀察出來的。連續(xù)小波變換作為信號處理工具的出現(xiàn)使得識別信號中所包含的奇異點(損傷)成為可能，并且可以識別出損傷參數(shù)[11]。小波變換的一般表達式為：

(18)

其中ψ(t)為母小波，ψ(t)經(jīng)過平移和伸縮之后就成為一個小波序列即ψa,b(t).從橋梁損傷識別的工程角度來看，奇異點就是信號中的突變點即損傷點，而奇異性則是關(guān)于奇異點突變程度的定性描述。小波變換對于奇異點的識別一般采用如下表達式：

(19)

(20)

當s→0時，小波反應(yīng)了x點的局部形態(tài)，式(20)就是可以用來觀察信號中存在的微小變化[12]。因此小波變換可以用來判斷函數(shù)(信號)的局部性態(tài)，亦即局部正則型，由Lip指數(shù)的概念知函數(shù)(信號)的正則型就反映了函數(shù)(信號)的奇異性。

小波變換對奇異點的指示包括小波系數(shù)曲線過零點和極值點兩種方式，也就是說突變點的位置有時是由小波系數(shù)曲線的過零點表示的，有時是由極值點表示的。一般說來過零點檢測奇異點效果較差，因為過零點易受噪聲的干擾，而且有時反映的不是信號的突變點而是信號在慢變區(qū)間的轉(zhuǎn)折點。而不同對稱性質(zhì)的小波基對于階躍信號和突變信號的奇異性的指示方式是不同的，對稱小波基以極值點表示突變信號的奇異點，而反對稱小波基以極值點表示階躍信號的奇異點。由文獻[13]中知，移動載荷作用下梁中點的速度響應(yīng)信號是階躍的而位移響應(yīng)是突變的。所以為了獲取較好的識別效果，本文選取圖1(c)所示具有反對稱性質(zhì)的Gaussian-5小波基來分析速度響應(yīng)信號。

3 數(shù)值研究

為了驗證上述方法的可行性，文獻[7]中的簡支梁模型將被應(yīng)用于本文的損傷識別研究中。幾何參數(shù)和材料屬性如表1所示。

表1 模型幾何物理參數(shù)Tab.1 Parameters of the beam

為了簡化運算，取材料阻尼比為0.02.移動載荷下橋梁動態(tài)響應(yīng)將利用Ansys瞬態(tài)動力學(xué)分析模塊求解，采用shell63單元，由于數(shù)值分析結(jié)果顯示裂紋識別結(jié)果與裂紋寬度無關(guān)，故單元大小設(shè)定為0.1 m×0.1 m.裂紋參數(shù)xc(xc=裂紋位置距離左邊界的距離/梁長渡)和a(a=裂紋深度/梁高度)分別表示裂紋相對于左邊界的位置和裂紋大小。本文利用刪除單元的方法在有限元計算中模擬梁結(jié)構(gòu)的裂紋。圖4和圖5所示為無阻尼簡支梁在速度為5 m/s和15 m/s移動載荷作用下中點位置的撓度和速度響應(yīng)的模擬和解析結(jié)果。從中可以看出，Ansys結(jié)果具有良好的求解精度。

圖4 梁中點撓度響應(yīng)Fig.4 The deflection response at mid-span

為了比較該方法識別損傷的優(yōu)點，對同一損傷分別利用速度響應(yīng)Gaussian-5小波和位移響應(yīng)的Gaussian-4、Mexican hat小波來分析，結(jié)果如圖6所示。從圖6中可以看出中點速度結(jié)果的Gaussian-5小波分析對損傷的識別結(jié)果比撓度Gaussian-4更加靈敏同時也比撓度Mexican hat小波的識別結(jié)果更容易觀察出裂紋的位置，指示也更精確。所以本文將選取Gaussian-5小波和中點速度結(jié)果進行多裂紋損傷識別研究。

圖5 梁中點速度響應(yīng)Fig.5 The velocity response at mid-span

圖6 損傷的識別方法比較Fig.6 The comparison of damage detection methods

3.1 多位置損傷識別

為了進一步說明本文所提的方法，對表2所列算例將利用上述方法進行識別。

表2 損傷識別算例Tab.2 Parameters of different cases

圖7 算例1到6損傷識別結(jié)果與未損傷時的對比Fig.7 Wavelet transform of velocity responses for both intact and damaged beam

為對比計算結(jié)果，令載荷移動速度為2 m/s，裂紋深度a為0.2.圖7顯示了給出了各算例經(jīng)過連續(xù)小波變換以后的損傷識別結(jié)果。可以看出，無論是單一位置損傷還是多處位置損傷，該方法均可以準確指示出來裂紋位置。為了可以直觀對比識別結(jié)果的準確性，將該方法的識別結(jié)果的小波系數(shù)極值點數(shù)據(jù)和裂紋位置進行對從而得到如表3所示的損傷識別算例及識別結(jié)果?？梢钥闯?，利用該方法識別裂紋位置的最大誤差為0.6%，可滿足工程需要，并且裂紋位置的識別結(jié)果不受其他裂紋的影響，具有非常好的獨立性。

表3 算例識別結(jié)果Tab.3 Results of different cases

3.2 裂紋深度識別

為了進一步研究裂紋深度隨小波系數(shù)局部極大值變化的關(guān)系，對表4中所列同一位置，不同裂紋深度的算例也進行小波分析。

表4 不同裂紋深度參數(shù)Tab.3 Parameters of different crack depths

圖8和圖9給出了裂紋位置分別為0.25L和0.5L時不同裂紋深度下的小波變換系數(shù)。

并將圖10和圖11中隨著裂紋深度不斷變化的小波系數(shù)(為了能夠清楚表達變換關(guān)系，圖中裂紋深度a為0.1、0.2和0.4)局部極大值分別為橫縱坐標建立深度與局部極大值之間的變化關(guān)系，從圖中可見，當裂紋深度逐漸增加時，小波系數(shù)局部極大值也隨之增加，這一規(guī)律可用來識別裂紋深度。為此，定義小波系數(shù)局部極大值為損傷指標DI為:

DI=max|WF|

(18)

分別由圖7和圖8中不同裂紋位置的深度和小波系數(shù)局部極大值之間的變化關(guān)系建立裂紋深度與損傷指標DI之間的變化關(guān)系，從而得到如圖9所示小波系數(shù)局部極大值與裂紋深度的關(guān)系曲線。從圖中可以看出不同位置的小波系數(shù)局部極大值隨著裂紋深度的增加也在不斷上升，所以以該方法建立的以小波系數(shù)局部極大值DI為損傷指標可以用來指示損傷的大小。

圖8 小波系數(shù)局部極值變化規(guī)律(裂紋位置為0.25L)Fig.8 The identification results for differentcrack depths at 0.25L

圖8 小波系數(shù)局部極值變化規(guī)律(裂紋位置為0.5L)Fig.8 The identification results for differentcrack depths at 0.5L

圖9 裂紋深度與損傷指標DI間的關(guān)系曲線Fig.9 The curve of relation between crack depth and DI

圖10 不同噪聲水平對識別結(jié)果的影響Fig.10 The identification results for different noise levels

圖11 裂紋識別結(jié)果隨移動載荷速度大小的變化規(guī)律Fig.11 The identification results for different velocitiesof moving loads

3.3 參數(shù)對識別結(jié)果的影響

由于實際測量環(huán)境中難以避免噪聲影響，同時載荷速度也是影響損傷檢測的重要指標，本節(jié)將對噪聲影響和載荷速度進行深入討論。以上的裂紋識別研究結(jié)果都是基于沒有環(huán)境噪聲、移動載荷速度固定為v=2 m/s.為了進一步說明該方法對于多處裂紋識別，研究不同的噪聲水平和載荷速度對于識別結(jié)果的影響。將噪聲水平分別為3%、 5%和7%加到中點速度響應(yīng)結(jié)果中，對含有噪聲的信號進行小波變換的損傷識別分析，得到如圖10所示識別結(jié)果，此時載荷移動速度仍取為2 m/s.從圖中可以看出，在噪聲水平逐漸增大時，出現(xiàn)干擾越來越嚴重從而不利于識別損傷，不過在噪聲水平為7%時，仍可以較好的識別出兩處損傷。進一步研究發(fā)現(xiàn)，當噪聲水平大于10%時無法觀測出裂紋所在位置。

對于速度影響，本文考慮裂紋位置xc分別為L/4和L/2，損傷程度a都為0.4的損傷梁模型，載荷移動速度v分別為1 m/s、1.5 m/s、2 m/s和2.5 m/s時中點位置的速度響應(yīng)進行損傷識別 (分析尺度scale為24)，得到如圖11所示的損傷識別結(jié)果，可以看出隨著載荷速度的增加損傷識別結(jié)果的小波系數(shù)曲線會出現(xiàn)一些波動。在速度較小時，識別效果較好，但是當速度較大時(如2.5 m/s)，產(chǎn)生的波動已經(jīng)很明顯而且已經(jīng)很難從小波系數(shù)曲線中觀察出裂紋的位置。綜上所述，使用該方法來識別損傷時需要選取合適的移動載荷速度。

4 結(jié)論

討論了利用簡支梁中點速度響應(yīng)連續(xù)小波變換的結(jié)構(gòu)多損傷識別方法。研究結(jié)果表明，利用梁中點速度響應(yīng)的Gaussian5小波分析識別損傷的方法不僅可以定位出不同裂紋所處的位置，同時小波系數(shù)局部最大值會隨損傷程度增加而增加，由此將小波系數(shù)局部極大值(DI)作為損傷指標，討論了損傷指標隨損傷程度的變化規(guī)律。此外，對噪聲和載荷速度對識別結(jié)果的影響進行了比較研究，數(shù)值算例表明，即便噪聲為10%，該方法仍可以有效的識別損傷位置；在速度較小時，識別效果較好，因此，在利用本文方法進行結(jié)構(gòu)損傷識別時，載荷速度不宜過大。

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