桑松，李長(zhǎng)東，徐學(xué)軍，石曉（中國(guó)海洋大學(xué)工程學(xué)院，山東青島26600；2河海大學(xué)水文水資源與水利工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京20098；3四川大學(xué)水力學(xué)與山區(qū)河流開發(fā)保護(hù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都60065；海洋石油工程股份有限公司青島分公司，山東青島266555）

和型組合共振激勵(lì)下深海SPAR平臺(tái)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性分析

桑松1，2，3，李長(zhǎng)東1，徐學(xué)軍4，石曉1
（1中國(guó)海洋大學(xué)工程學(xué)院，山東青島266100；2河海大學(xué)水文水資源與水利工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210098；3四川大學(xué)水力學(xué)與山區(qū)河流開發(fā)保護(hù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都610065；4海洋石油工程股份有限公司青島分公司，山東青島266555）

深海SPAR平臺(tái)在環(huán)境載荷作用下的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性問題已經(jīng)成為當(dāng)前的研究熱點(diǎn)。文章采用理論分析和數(shù)值模擬相結(jié)合的方式，在不考慮系泊張力影響并且滿足組合共振條件情況下，探討當(dāng)波浪幅值達(dá)到一定程度時(shí)垂蕩、縱搖響應(yīng)的局部分岔現(xiàn)象。結(jié)果表明：在組合共振發(fā)生時(shí)，垂蕩、縱搖響應(yīng)均變得不穩(wěn)定，而且縱搖響應(yīng)幅值較大；垂蕩固有頻率與兩倍的縱搖固有頻率之間的偏差越大，激起縱搖分岔現(xiàn)象需要的波浪幅值越大；波浪頻率在一定范圍內(nèi)的變化對(duì)a5曲線影響不大，但當(dāng)波浪頻率與垂蕩和縱搖固有頻率之和的偏差超過一定范圍時(shí)組合共振現(xiàn)象會(huì)消失。

SPAR平臺(tái)；和型共振；多尺度法；穩(wěn)定性

1 引言

隨著我國(guó)深海海洋資源的開發(fā)，越來越多的浮式海洋平臺(tái)投入運(yùn)營(yíng)。深海SPAR平臺(tái)由于其自身重心較低，水線面小，垂蕩幅值小，初期投資較低等特點(diǎn)，在全世界范圍內(nèi)得到了廣泛應(yīng)用。但由于其自身結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，其垂蕩與縱搖固有周期比接近1:2，當(dāng)外界激勵(lì)滿足一定條件時(shí)會(huì)出現(xiàn)混沌和分叉等不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)[1-4]。Rhoh和Choi[5]對(duì)規(guī)則波中經(jīng)典Spar平臺(tái)的馬休不穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，指出當(dāng)平臺(tái)的縱搖固有周期與垂蕩固有周期比近似為2:1時(shí)，即使波高較小，也會(huì)發(fā)生縱搖的不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)。通過數(shù)值和試驗(yàn)結(jié)果的比較，證實(shí)了Spar平臺(tái)在縱搖固有周期為垂蕩固有周期的2倍時(shí)最容易失穩(wěn)。

在多自由度非線性系統(tǒng)響應(yīng)中，除了存在主共振、內(nèi)共振、超諧共振等共振形式之外，這些頻率還可以存在其他的共振組合，稱為組合共振。組合共振的形式為：

其中：l和rN是整數(shù)，并且有M為系統(tǒng)的非線性階數(shù)加1，N為自由度數(shù)。對(duì)于帶平方項(xiàng)非線性振動(dòng)系統(tǒng)可能存在的組合共振類型為ω≈λm+λk或者ω≈λm-λk，前者為和型組合共振，后者為差型組合共振。因?yàn)檎T發(fā)和型共振的波浪頻率等于垂蕩、縱搖固有頻率之和，更加接近常見波浪頻率，比發(fā)生內(nèi)共振及差型共振的幾率要大得多，所以本文以和型共振為例對(duì)Spar平臺(tái)的垂蕩-縱搖組合共振運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行分析。

2 平臺(tái)運(yùn)動(dòng)方程的簡(jiǎn)化

由于平臺(tái)在深海中受到的首搖激勵(lì)力矩很小，并且由于Spar平臺(tái)在橫向和縱向是對(duì)稱的，所以平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化為一個(gè)三自由度的運(yùn)動(dòng)方程[6-8]：

本文只研究Spar平臺(tái)的垂蕩—縱搖耦合運(yùn)動(dòng)，所以只用（2）式中的后兩式。其中垂蕩方向合力和縱搖方向的合力矩分別為：

其中：FR是輻射力，F(xiàn)W是波浪激勵(lì)力，F(xiàn)WD是波浪漂移阻尼力，F(xiàn)M是系泊力，F(xiàn)HS是靜水回復(fù)力，F(xiàn)Current是流力，F(xiàn)Wind是風(fēng)力，MR是輻射力矩，MWD是波浪漂移阻尼力矩，MW是波浪激勵(lì)力矩，MM是系泊力矩，MHS是靜水回復(fù)力矩，MWind是風(fēng)力矩，MCurrent是流力矩。

本文不考慮風(fēng)、流及二階力的作用，應(yīng)用簡(jiǎn)化方法研究平臺(tái)主體垂蕩-縱搖耦合運(yùn)動(dòng)，忽略了波浪漂移阻尼力、波浪漂移阻尼力矩、風(fēng)力、風(fēng)力矩、流力和流力矩對(duì)Spar平臺(tái)主體的影響，方程（2）可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：

3 解析求解分析

不考慮系泊系統(tǒng)的影響同時(shí)忽略高階耦合項(xiàng)影響（即μ6=0），采用多尺度法求解垂蕩—縱搖耦合運(yùn)動(dòng)方程。引入小參數(shù)0<ε<<1；設(shè)μi，（i=1,2,4,5）與ε數(shù)量級(jí)相同，即μi=εμi，為了書寫方便，分別記μi，則（3）式變化為：

將（5）、（6）式代入方程（4）并比較ε同冪次項(xiàng)的系數(shù)，可以得到如下一系列線性偏微分方程：

其中：函數(shù)A30，A50均為任意的關(guān)于T1的函數(shù)，他可以由下一步消除永年項(xiàng)的條件來決定。將（8）式代入方程（7）的后兩式得到：

此式的解中含有EXP（±iω3T0），EXP（±iω5T0）的項(xiàng)均為永年項(xiàng)，令這些永年項(xiàng)為零，考慮和型共振，故令ω=ω3+ω5+ετ1，ω3=2ω5+ετ2，消除永年項(xiàng)的條件為：

其中：a3，a5，β3，β5均為T1的函數(shù)。

將（10）式代入方程（9）分離實(shí)部與虛部，并且均令之為零得到：

對(duì)方程（11）聯(lián)立求解得到

或者

4 算例分析

本文以某一JIP SPAR[9]平臺(tái)參數(shù)為例，圖1為τ1=τ2=0時(shí)，即波浪頻率等于垂蕩和縱搖固有頻率之和且垂蕩固有頻率是縱搖固有頻率的兩倍時(shí)的a3、a5隨波浪幅值的變化曲線，可以看出，此時(shí)在波幅很小的時(shí)候垂蕩、縱搖響應(yīng)就發(fā)生了局部分岔現(xiàn)象，隨著波浪幅值的增加縱搖也出現(xiàn)了大幅響應(yīng)而垂蕩響應(yīng)幅值相對(duì)較小，一般不會(huì)大于6m。

圖1 τ1=τ2=0時(shí)的a3、a5隨波幅變化曲線Fig.1 The curves of a3,a5whenτ1=τ2=0

取τ1=0不變，即波浪激勵(lì)頻率等于垂蕩、縱搖固有頻率之和，改變?chǔ)?，分別取0.01、0.02、0.03，得到圖2所示的a5曲線?？梢钥闯?，當(dāng)調(diào)諧參數(shù)τ2增大時(shí)，導(dǎo)致分岔現(xiàn)象發(fā)生的波浪幅值也隨之增大，可見，垂蕩固有頻率與2倍的縱搖固有頻率之間的偏差越大，激起縱搖分岔現(xiàn)象需要的波浪能量越大。

圖2 a5隨τ2的變化曲線Fig.2 The curve of a5with the change ofτ2

圖3 a5隨τ1的變化曲線Fig.3 The curve of a5with the change ofτ1

圖4 τ1=0，τ2=-0.040 3時(shí)的a5曲線Fig.4 The curve of a5whenτ1=0,τ2=-0.040 3

取τ2=0不變，即垂蕩固有頻率等于縱搖固有頻率的兩倍，改變?chǔ)?，分別取0.015、0.010、0.005，得到圖3所示的a5曲線?？梢姡ɡ祟l率在一定范圍內(nèi)的變化對(duì)a5曲線影響不大。

取平臺(tái)垂蕩、縱搖固有頻率分別為0.216 7 rad/s和0.128 5 rad/s，其對(duì)應(yīng)的τ2=-0.040 3，得到圖4所示的τ1= 0、τ2=-0.040 3時(shí)的a5曲線，可見在此種情況下會(huì)出現(xiàn)大幅的縱搖運(yùn)動(dòng)。下面進(jìn)一步用數(shù)值方法分析垂蕩—縱搖組合共振現(xiàn)象。

波浪頻率取為垂蕩和縱搖固有頻率之和（0.345 2 rad/s，周期為18.201 6 s），變化波浪幅值（1m、3 m、7m、11m）得到一系列垂蕩、縱搖時(shí)域響應(yīng)曲線，以此來觀察垂蕩-縱搖組合共振現(xiàn)象的發(fā)生過程。

圖5是波幅為1m時(shí)的垂蕩、縱搖的響應(yīng)情況，其中由左至右分別為垂蕩、縱搖的時(shí)間歷程曲線、譜密度曲線和相圖。此時(shí)垂蕩、縱搖響應(yīng)頻率均為波浪頻率，時(shí)域響應(yīng)幅值較小，情況穩(wěn)定。

圖6為波幅為3m時(shí)的垂蕩、縱搖的響應(yīng)情況，此時(shí)垂蕩、縱搖響應(yīng)頻率中除波浪頻率外均出現(xiàn)了各模態(tài)的固有頻率，時(shí)域響應(yīng)幅值出現(xiàn)了較大幅度的增加，響應(yīng)變得不再穩(wěn)定。

圖7、8分別為波幅7m和11m時(shí)的垂蕩、縱搖的響應(yīng)情況，可以發(fā)現(xiàn)，垂蕩、縱搖時(shí)域響應(yīng)幅值隨波浪幅值的增大均有增大，在波幅為11m時(shí)可以達(dá)到15m和0.2 rad。響應(yīng)頻率為波浪頻率和各自固有頻率共存，響應(yīng)不穩(wěn)定。

圖5 波浪頻率0.345 2 rad/s，波幅1m時(shí)的垂蕩、縱搖響應(yīng)Fig.5 The heave and pitch response whenω=0.345 2 rad/s,h=1m

圖6 波浪頻率0.345 2 rad/s，波幅3m時(shí)的垂蕩、縱搖響應(yīng)Fig.6 The heave and pitch response whenω=0.345 2 rad/s,h=3m

圖7 波浪頻率0.345 2 rad/s，波幅7m時(shí)的垂蕩、縱搖響應(yīng)Fig.7 The heave and pitch response whenω=0.345 2 rad/s,h=7m

圖8 波浪頻率0.345 2 rad/s，波幅11m時(shí)的垂蕩、縱搖響應(yīng)Fig.8 The heave and pitch response whenω=0.345 2 rad/s,h=11m

下面觀察波浪頻率不等于垂蕩縱搖固有頻率之和時(shí)的響應(yīng)情況，圖9為波浪頻率0.330 0 rad/s（周期為19.040 0 s），波幅7m時(shí)的垂蕩、縱搖響應(yīng)曲線，圖10為波浪頻率0.355 0 rad/s（周期為17.699 1 s），波幅7m時(shí)的垂蕩、縱搖響應(yīng)曲線，兩種波浪情況下，雖然波浪幅值很大，但垂蕩、縱搖幅值均很小，頻率單一，響應(yīng)穩(wěn)定，與圖7形成鮮明對(duì)比。

圖9 波浪頻率0.330 0 rad/s，波幅7m時(shí)的垂蕩、縱搖響應(yīng)Fig.9 The heave and pitch response whenω=0.330 0 rad/s,h=7m

圖10 波浪頻率0.355 0 rad/s，波幅7m時(shí)的垂蕩、縱搖響應(yīng)Fig.10 The heave and pitch responsewhenω=0.355 0 rad/s,h=7m

由以上的分析可知：在不考慮系泊張力影響并且滿足組合共振條件時(shí)，波浪幅值達(dá)到一定程度，垂蕩、縱搖響應(yīng)會(huì)發(fā)生局部分岔現(xiàn)象，在組合共振發(fā)生時(shí)，垂蕩、縱搖響應(yīng)均變得不穩(wěn)定，而且縱搖響應(yīng)幅值較大；垂蕩固有頻率與2倍的縱搖固有頻率之間的偏差越大，激起縱搖分岔現(xiàn)象需要的波浪幅值越大，波浪頻率在一定范圍內(nèi)的變化對(duì)a5曲線影響不大，但當(dāng)波浪頻率與垂蕩縱搖固有頻率之和偏差超過一定范圍時(shí)組合共振現(xiàn)象消失，響應(yīng)穩(wěn)定。

[1]董艷秋.深海采油平臺(tái)波浪載荷及響應(yīng)[M].天津:天津大學(xué)出版社,2005.

[2]Ran Zhihuang.Coupled dynamic analysis of floating structures in waves and currents[D].PhD Thesis.Texas:Texas A&M University,2000.

[3]曾曉輝,沈曉鵬,吳應(yīng)湘.深海平臺(tái)分析和設(shè)計(jì)中的關(guān)鍵力學(xué)問題[J].船舶工程,2005,27(5):18-21.

[4]Ran Zhihuang.Coupled dynamic analysis of floating structures in waves and currents[D].PhD Thesis.Texas:Texas A&M University,2000.

[5]Rho JB,Choi H S,Shin H S.A study onmathieu-type instability of conventional Spar platform in regular waves[J].The International Journal of Offshore and Polar Engineering,2005,15(2):104-108.

[6]張帆,楊建民.Spar平臺(tái)的發(fā)展趨勢(shì)及其關(guān)鍵技術(shù)[J].中國(guó)海洋平臺(tái),2005,20(2):6-11.

[7]Chakrabarti S K.Hydrodynamics of offshore structures:Mathematical theory and its applications in structures[M].New York:Springer-Verlag New York Inc.,1987.

[8]Ma QW,Patel M H.On the non-linear forces acting on a floating Spar platform in ocean waves[J].Applied Ocean Research,2001,23(1):29-40.

[9]Halkyard J,Horton E H.Spar platforms for deep water oil and gas fields[J].Marine Technology Society Journal,1996,30 (3):3-12.

[10]Cao Peimin,Zhang Jun.Slow motion responses of compliant offshore structures[J].International Journal of Offshore and Polar Engineering,1997,2:119-126.

[11]Rho JB,Choi H S.Heave and pitchmotions of a Spar platform with damping plate[C]//Proceeding of the 12th inter Offshore and Polar Engineering Conference.Kitakyushu,Japan.2002:26-31.

[12]Koo B J,Kim M H,Randall R E.Mathieu instability of a spar platform with mooring and risers[J].Ocean Engineering, 2004,31:2175-2208.

[13]張海燕.Spar平臺(tái)垂蕩—縱搖耦合非線性運(yùn)動(dòng)特性研究[D].天津:天津大學(xué),2008.

[14]Haslum H A,Faltinsen OM.Alternative shape of Spar platforms for use in hostile areas[C]//Proceedings of Offshore Technology Conference.Houston,Texas:OTC,1999.

[15]Chen Xiaohong.Studies on dynamic interaction between deep-water floating structures and theirmooring/tendon systems [D].PhD Thesis.Texas:Texas A&M University,2002.

Study on stability of SPAR p latform in deep sea under combination resonance excitation

SANG Song1,2,3,LIChang-dong1,XU Xue-jun4,SHIXiao1
(1Ocean University of China,College of Engineering,Qingdao 266100,China;2 State Key Laboratory of Hydrology-Water Resources and Hydraulic Engineering,HohaiUniversity,Nanjing 210098,China; 3 State Key Laboratory ofHydraulicsand Mountain River Engineering,Sichuan University,Chengdu 610065,China;4Offshore Oil Engineering Co.,Ltd(Qingdao),Qingdao 266555,China)

Themovement stability problem of SPAR platform in deep sea under the environmental conditions has become a research hotspot.In the case of not consideringmooring tension effect and meeting the combination resonance conditions,this paper discusses the part of bifurcation phenomenon when wave amplitude reaches to a certain extent,using the way of theoretical analysis and numerical simulation.The results show that the heave and pitchmotion will get unstable and the pitch response amplitude will become largerwhen combination resonance occurs.The criticalwave amplitude of bifurcation phenomenon will become larger when the deviation between heave natural frequency and doubled pitch natural frequency augments. The wave frequency within a certain range of change has less effect on the a5curve.But the combinationresonance will not be induced if the deviation between wave frequency and heave natural frequency goes beyond a certain range.

SPAR platform;combination resonance;multiple scalemethod;stability

U661.1

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2014.10.005

1007-7294（2014）10-1195-09

2014-05-15

高等學(xué)校學(xué)科創(chuàng)新引智計(jì)劃資助（B14028）；國(guó)家自然科學(xué)基金（51079135）；青島市科技發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目（12-1-4-1-(18)-jch）；水文水資源與水利工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金（2012491011）；水力學(xué)與山區(qū)河流開發(fā)保護(hù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金（1210）

桑松（1974-），男，博士，教授，研究方向?yàn)樯詈８∈浇Y(jié)構(gòu)流固耦合非線性動(dòng)力響應(yīng)研究；

李長(zhǎng)東（1987-），男，碩士。