劉文濤，陳 紅，蔡曉霞，吳源洪

（1.解放軍電子工程學院，合肥 230037；2.解放軍73689部隊，南京 210000）

信號特征對分形維數(shù)的影響

劉文濤1，陳 紅1，蔡曉霞1，吳源洪2

（1.解放軍電子工程學院，合肥 230037；2.解放軍73689部隊，南京 210000）

分形維數(shù)是描述信號的一種有效方式，用來作為各種情況下信號復雜度的測量方法。但是對于此種分析的合理解釋沒有被給出。為了研究信號參數(shù)對分形維數(shù)的影響，通過對接受信號進行預處理，分別使用盒維數(shù)和信息維數(shù)進行維數(shù)估計，討論信號采樣點數(shù)、噪聲功率、載頻、碼率對信號分形維數(shù)的影響。仿真結(jié)果表明：當采樣頻率一定時，分形維數(shù)在一定范圍內(nèi)對噪聲不敏感；碼率對盒維數(shù)的影響較小，對信息維數(shù)的影響較大；載頻對信息維數(shù)的影響較小，對盒維數(shù)的影響較大。

信號特征，盒維數(shù)，信息維數(shù)

引言

分形是對沒有特征長度但是具有一定意義下的自相似圖形和結(jié)構的總稱，分形維數(shù)是描述分形信號復雜程度和不規(guī)則性的一種度量方法［1］。分形集合最基本的特性就是自相似性，即任意比例的細節(jié)都具有某種程度的自相似。這種自相似性可以是幾何意義上的嚴格自相似，也可以是統(tǒng)計意義上的近似。因此，對形態(tài)、功能、信息、時間、空間等任一方面具有自相似特性的對象，都能應用分形幾何學的基本思想進行分析描述。作為一種新的概念和方法，分形正在許多領域開展應用研究。

通信信號作為一種時間序列，分形能對它進行有效的刻畫，分形維數(shù)能度量信號的不規(guī)則程度。分形中的盒維數(shù)通常用來描述分形信號的幾何尺度信息，而信息維數(shù)反映出分形集在區(qū)域空間上的分布疏密。目前已經(jīng)有學者將分形維數(shù)用于數(shù)字通信信號的檢測［2］和調(diào)制識別［3］中，但對于信號參數(shù)對分形維數(shù)的影響沒有具體進行討論。本文將著重就這一方面內(nèi)容展開研究。

1 分形理論

首先來介紹盒維數(shù)和信息維數(shù)的測定方法。

1.1 分形盒維數(shù)

設F是Rn中任一非空有界子集，令N（f，u）表示中心為f，最大直徑為u且能覆蓋F的集合的最小數(shù)目，則F的盒維數(shù)定義為：

文獻［3］給出了計算盒維數(shù)的簡化形式，假設y（t）為認知用戶接收到的有限長信號，x（t）代表授權信號，η（t）代表均值為0，方差為ση2的高斯白噪聲。一個用戶接收機將接收信號采樣為 {y（ni），i=1，2，…，Ns}，其中Ns為采樣點數(shù)。

盒維數(shù)定義為：

1.2 分形信息維數(shù)

則稱DI為集合F的信息維數(shù)。

在計算分形信息維數(shù)DI的簡化公式中，一般先對信號序列進行預處理：將信號序列變換到頻域，對信號能量進行歸一化處理，為了減少頻域內(nèi)噪聲的影響，利用中值濾波法進行消噪。由于信號頻譜的形狀主要取決于信號脈內(nèi)的調(diào)制方式，在頻域中進行特征提取可消除載頻變化的影響。預處理后的信號序列為{Fy（i），i=1，2，…，Ns}，其中Ns為預處理后信號序列的長度。頻域進行重構以減少部分帶內(nèi)噪聲的影響：

2 仿真結(jié)果及討論

首先對所有信號進行去直流、幅度歸一化處理，消除由于信號幅度引起的功率不同對分形特征的影響。

2.1 信號采樣點數(shù)的影響

本文用高斯白噪聲作為信號源，選取不同的采樣點數(shù)，可以得到噪聲盒維數(shù)和信息維數(shù)隨采樣點數(shù)變化的情況，如圖1～圖2所示：

圖1 不同采樣點數(shù)下的噪聲盒維數(shù)

圖2 不同采樣點數(shù)下的噪聲信息維數(shù)

由圖1和圖2可知，盒維數(shù)均值基本恒定，信息維數(shù)的均值會隨著采樣點數(shù)的增加而增大；采樣點與盒維數(shù)、信息維數(shù)的穩(wěn)定性之間的關系是單調(diào)關系，點越多，盒維數(shù)、信息維數(shù)越穩(wěn)定，且越靠近中心點處，取值概率越大；采樣點數(shù)的增大會引起計算復雜度的增加，故不宜過大。所以仿真所使用的采樣點數(shù)統(tǒng)一為N=4 000。

2.2 噪聲功率的影響

選用高斯白噪聲作為信號源，選取采樣點數(shù)N=4 000，，噪聲方差在0.1～0.5之間變化，可以得到噪聲盒維數(shù)、信息維數(shù)如圖3和圖4所示：

圖3 不同功率下的噪聲盒維數(shù)

圖4 不同功率下的噪聲信息維數(shù)

通過圖3和圖4可知，當采樣點一定時，高斯白噪聲的功率在0.1～0.5之間變化，其盒維數(shù)、信息維數(shù)基本保持不變，即對噪聲不敏感。

2.3 載波頻率的影響

選 取 2ASK、4ASK、2PSK、QPSK、2FSK、4FSK、CW、NOISE作為信號源，固定采樣頻率為40 KHz，碼元速率為1 KHz，采樣點數(shù)為N=4 000，載波頻率的變化范圍為fc=1 KHz～40 KHz，進行仿真實驗。為了克服計算誤差、使得到的值更加穩(wěn)定，可用多個樣本分形維數(shù)的均值代替單個信號樣本分形維數(shù)的值。結(jié)果如圖5、圖6所示：

圖5 不同載頻下的信號盒維數(shù)

從圖5和圖6中可以得知：信號的信息維數(shù)基本不受載頻的影響，而盒維數(shù)隨著載頻的增大而增大。當采樣頻率與載頻的倍數(shù)較大時，信號盒維數(shù)接近于1，此時可以用于信號存在性檢測；當采樣頻率與載頻的倍數(shù)為4時，不同信號之間的盒維數(shù)差別較大，可以用于不同調(diào)制樣式信號的識別。

2.4 碼元速率的影響

選取2PSK作為信號源，取N=4 000，采樣頻率fs=40 KHz，載頻fc=10 KHz，碼率fm=1 KHz～10 KHz，仿真結(jié)果如圖7、圖8所示：

圖7 不同碼率下的2PSK盒維數(shù)

圖8 不同碼率下的2PSK信息維數(shù)

從圖7和圖8中可以看出，碼率對信號盒維數(shù)的影響較小，而對信息維數(shù)的影響較大。主要是因為信息維數(shù)的計算是在進行的，肯定會受到碼率的影響。為此我們把采樣頻率與碼率的倍數(shù)取為一個定值，這樣就可以避免因為碼率變化引起的維數(shù)變化，消除碼率的影響。在此選取fs=8fc，進行仿真實驗：

圖9 不同碼率下的2PSK信息維數(shù)

從圖9中可以看出，信號的信息維數(shù)不再隨著碼率的變化而變化，基本趨于恒定。

2.5 加噪信號與信噪比的關系

仍然以2PSK信號為例，信噪比的取值范圍為SNR=-20:20 dB，仿真結(jié)果如下：

圖10 不同信噪比下的2PSK盒維數(shù)

圖11 不同信噪比下的2PSK信息維數(shù)

從圖10、圖11中可以看出：當信噪比較小時，加噪信號的分形維數(shù)接近噪聲的分形維數(shù)；但隨著信噪比的增大，加噪信號的分形維數(shù)逐漸接近信號的分形維數(shù)，在5 dB～20 dB范圍內(nèi)基本趨于穩(wěn)定。所以此時可以用于信號調(diào)制樣式的識別。

3 結(jié)論

通過大量仿真實驗得知：信號采樣點數(shù)越大，分形維數(shù)越穩(wěn)定；信號盒維數(shù)受采樣頻率與載頻的倍數(shù)影響較大，信號信息維數(shù)受采樣頻率與碼元速率倍數(shù)的影響較大，固定兩者之間的倍數(shù)關系，則分形維數(shù)基本恒定；噪聲的分形維數(shù)基本恒定，在一定信噪比情況下，信號分形維數(shù)對噪聲不敏感。本文著重分析了信號參數(shù)對分形維數(shù)的影響，為把分形維數(shù)應用到信號檢測和識別中提供理論依據(jù)，具有一定的參考價值。

［1］謝和平，薛秀謙.分形應用中的數(shù)學基礎與方法［M］.北京：科學出版社，1998.

［2］趙春暉，馬 爽，楊偉超.基于分形盒維數(shù)的頻譜感知技術研究［J］.電子與信息學報，2011，33（2）:475-478.

［3］呂鐵軍，郭雙冰，肖先賜.調(diào)制信號的分形特征研究［J］.中國科學E輯，2001，31（6）:508-513.

Signal Characteristics to Influence of Fractal Dimension

LIU Wen-tao1，CHEN Hong1，CAI Xiao-xia1，WU Yuan-hong2
（1.Electronic Engineering Institute of PLA，Hefei 230037，China；2.Unit 73689 of PLA，Nanjing 210000，China）

Fractal Dimensions（FD）are popular metrics for characterizing signals.They are used as complexity measures in signal analysis applications in various fields.However，proper interpretation of such analyses has not been thoroughly addressed.To make the effect of various signal properties on FD certain，box dimension and information dimension of the pretreated signals are firstly estimated，and then the properties in terms of classical signal processing concepts such as number of sampling，noise power，carrier frequency and symbol rate are researched.Simulation results show that when the sampling frequency is fixed，F(xiàn)D is not sensitive to the noise;symbol rate has a little influence on box dimension but has a great influence on information dimension;carrier frequency has a great influence on box dimension but has a little influence on information dimension.

signal characteristic，box dimension，information dimension

TN92

A

1002-0640（2014）09-0069-03

2013-06-08

2013-09-03

劉文濤（1991- ），男，安徽阜陽人，碩士。研究方向：無線通信與通信對抗。