孫 錦，李國(guó)林，許 誠(chéng)

（海軍航空工程學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264001）

小子樣條件下導(dǎo)彈靶場(chǎng)試驗(yàn)綜合評(píng)定方法*

孫 錦，李國(guó)林，許 誠(chéng)

（海軍航空工程學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264001）

針對(duì)導(dǎo)彈靶場(chǎng)試驗(yàn)中的小子樣問(wèn)題，分析了自助法和隨機(jī)加權(quán)法，并對(duì)自助法中再生子樣較為集中的不足進(jìn)行了改進(jìn)。通過(guò)仿真比較得出，改進(jìn)后的自助法具有更好的評(píng)定特性。

小子樣，靶場(chǎng)試驗(yàn)，自助法，隨機(jī)加權(quán)法

引言

試驗(yàn)鑒定與定型是導(dǎo)彈武器系統(tǒng)研制中重要的一環(huán)，利用導(dǎo)彈武器系統(tǒng)在鑒定與定型試驗(yàn)（包括地面試驗(yàn)、仿真試驗(yàn)、飛行試驗(yàn)）中獲取內(nèi)部參數(shù)和飛行彈道等必要的信息，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析方法，來(lái)評(píng)定導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的戰(zhàn)術(shù)技術(shù)指標(biāo)和性能參數(shù)，據(jù)此來(lái)判斷工業(yè)部門產(chǎn)品是否研制成功，是否達(dá)到了軍方要求，并被認(rèn)可，從而可以投入到批量生產(chǎn)［1］。隨著高科技的迅猛發(fā)展，導(dǎo)彈的戰(zhàn)術(shù)技術(shù)性能越趨復(fù)雜，如何利用有限的試驗(yàn)彈數(shù)和試驗(yàn)條件來(lái)考核導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的戰(zhàn)術(shù)技術(shù)性能和作戰(zhàn)效能，是當(dāng)前導(dǎo)彈試驗(yàn)靶場(chǎng)面臨的一大難題。為了解決上述問(wèn)題，需開(kāi)展導(dǎo)彈靶場(chǎng)綜合試驗(yàn)與評(píng)定方法研究。

本文通過(guò)分析某型導(dǎo)彈靶場(chǎng)試驗(yàn)的現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)樣本，建立了自助法、改進(jìn)自助法和隨機(jī)加權(quán)法：3種基于現(xiàn)場(chǎng)信息的小子樣綜合評(píng)定模型。最后運(yùn)用仿真手段，分析比較了這3種評(píng)定方法，給出一些有益的工程應(yīng)用建議。

1 Bootstrap法模型

1.1 Bootstrap法原理

設(shè)某型導(dǎo)彈靶場(chǎng)試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)樣本X={x1，x2，…，xn}來(lái)自未知的總體分布，令θ=θ（F）是總體分布F的某個(gè)參數(shù)（如均值、方差等），F(xiàn)n是樣本X={x1，x2，…，xn}的經(jīng)驗(yàn)分布θ=（F）是θ的估計(jì)，記估計(jì)誤差為：

對(duì)于每個(gè)，可以計(jì)算出的估計(jì)值，記為θ（j）（F），即

1.2 再生子樣產(chǎn)生方法

原始樣本的累積經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)如下所示［5］：

產(chǎn)生服從該經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的隨機(jī)樣本仿真步驟如下：

Step1：產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)γ（在［0，1］區(qū)間上服從均勻分布）；

Step4：重復(fù)n次執(zhí)行Step1～Step3，就可以得到n個(gè)數(shù)據(jù)，即為所需要的樣本量為n的再生子樣。其中n一般取為現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)樣本的樣本量。

2 改進(jìn)Bootstrap法模型

運(yùn)用自助法模型所得結(jié)果欠佳的原因是：觀測(cè)樣本中的最小值和最大值與實(shí)際數(shù)據(jù)的最小值和最大值不一定一致，所以問(wèn)題的關(guān)鍵是如何找到實(shí)際數(shù)據(jù)的最小值和最大值。由于最大值和最小值不可能準(zhǔn)確知道，因此，可以通過(guò)專家估計(jì)法獲得這兩個(gè)極值的近似估計(jì)值。

3 Bayes Bootstrap法模型

Step3：計(jì)算分布參數(shù)的估計(jì)值

如果知道現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)子樣的分布類型，則Step3中的公式簡(jiǎn)化為：

然后根據(jù)N個(gè)μ的估計(jì)值計(jì)μ（j），作直方圖，從而得到分布密度函數(shù)，也就可計(jì)算出參數(shù)的估計(jì)值。

4 仿真分析

4.1 仿真設(shè)計(jì)

首先設(shè)定仿真參數(shù)以產(chǎn)生一組一定樣本量的隨機(jī)數(shù)據(jù)作為樣本，然后依據(jù)前面給出的自助法、改進(jìn)自助法和隨機(jī)加權(quán)法的計(jì)算模型，分別對(duì)樣本進(jìn)行分析計(jì)算，可以得出3種模型下樣本的參數(shù)估計(jì)值。將參數(shù)的估計(jì)值與設(shè)定參數(shù)值進(jìn)行比較，模型較優(yōu)則估計(jì)的參數(shù)誤差較小。仿真流程如下頁(yè)圖1所示。

圖1 小子樣評(píng)估的仿真流程圖

4.2 仿真計(jì)算過(guò)程

依據(jù)仿真流程，結(jié)合3種評(píng)估方法的計(jì)算模型，經(jīng)過(guò)多次仿真計(jì)算發(fā)現(xiàn)，仿真1 000次時(shí)平均估計(jì)誤差已趨于穩(wěn)定。因此，設(shè)定最大仿真次數(shù)為1 000。下面以一次仿真為例來(lái)說(shuō)明仿真計(jì)算過(guò)程。

在設(shè)定參數(shù)之后，抽樣產(chǎn)生一組樣本量為10的現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)數(shù)據(jù)：45.813，49.663，71.732，62.443，43.087，61.994，55.396，55.599，38.684，39.964。下面分別采用3種評(píng)估方法對(duì)此樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。

4.2.1 自助法

根據(jù)前面分析，用自助法模型評(píng)估首先需要獲得一定數(shù)量的再生子樣。依據(jù)1.2節(jié)中的再生子樣產(chǎn)生步驟，可得到所需的再生子樣。將獲得的所有再生子樣分別代入式（3）和式（4）中，可以得到不同再生子樣，運(yùn)用自助法計(jì)算出的均值估計(jì)值。限于篇幅，表1給出其中8個(gè)再生子樣，以及對(duì)應(yīng)的估計(jì)值。

表1 自助法產(chǎn)生的部分（8個(gè)）再生子樣

4.2.2 改進(jìn)自助法

改進(jìn)自助法與自助法的主要區(qū)別是，加入了新的信息，對(duì)觀測(cè)樣本進(jìn)行了修正。因此，只需對(duì)原始現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)樣本進(jìn)行修改，其他計(jì)算與自助法相同。

根據(jù)第2節(jié)中的比較原則，與現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)樣本進(jìn)行比較，得出改進(jìn)自助法所需的評(píng)估樣本：20.000，45.813，49.663，71.732，62.443，43.087，61.994，55.396，55.59 9，38.684，39.964，80.000。

依據(jù)式（5）抽樣產(chǎn)生10 000個(gè)再生子樣，然后分別代入式（3）和式（4）中，計(jì)算出不同再生子樣下均值的估計(jì)值。表2給出其中8個(gè)再生子樣，及其對(duì)應(yīng)的估計(jì)值。

表2 改進(jìn)自助法產(chǎn)生的部分（8個(gè)）再生子樣

4.2.3 隨機(jī)加權(quán)法

隨機(jī)加權(quán)法評(píng)估的第一步是產(chǎn)生服從Dirichlet分布的隨機(jī)向量組。根據(jù)第3節(jié)中的產(chǎn)生方法，通過(guò)編程計(jì)算就可以產(chǎn)生所需的Dirichlet隨機(jī)向量，然后代入式（6）和式（8），得出對(duì)應(yīng)隨機(jī)向量下的參數(shù)估計(jì)值。這里獲得的Dirichlet隨機(jī)向量也具有隨機(jī)性，為消除隨機(jī)性的影響，也取10 000個(gè)隨機(jī)向量。限于篇幅，下頁(yè)表3給出其中8個(gè)隨機(jī)向量，以及對(duì)應(yīng)的估計(jì)值。

表3 隨機(jī)加權(quán)法產(chǎn)生的部分（8個(gè)）再生子樣

綜合以上計(jì)算，對(duì)觀測(cè)樣本{45.813，49.663，71.732，62.443，43.087，61.994，55.396，55.599，38.684，39.96 4}分別采用3種方法的評(píng)定結(jié)果如表4所示。

表4 某一樣本的評(píng)定結(jié)果

以上只進(jìn)行了一次抽樣樣本的仿真評(píng)估，需循環(huán)執(zhí)行以完成設(shè)定次數(shù)的仿真計(jì)算。限于篇幅，表5給出其中8個(gè)樣本的評(píng)定結(jié)果。

4.3 較小子樣仿真結(jié)果及分析

仿真結(jié)束后，可以得到1 000個(gè)現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)樣本的評(píng)定結(jié)果。為了便于分析，取所有均值估計(jì)誤差的平均值和均值方差的平均值。結(jié)果如表6所示。

由表6可知，改進(jìn)自助法平均誤差最小，這說(shuō)明改進(jìn)自助法估計(jì)的均值較為準(zhǔn)確。而從計(jì)算出的均值方差來(lái)看，改進(jìn)自助法的方差最大，自助法的最小，表明改進(jìn)自助法估計(jì)的均值散布較大，精度相對(duì)較低。圖2和圖3分別表示前30次仿真得到的均值誤差和均值方差的分布圖。

表5 多個(gè)樣本的評(píng)定結(jié)果

表6 樣本量為10個(gè)時(shí)的仿真結(jié)果

圖2和圖3可以看出，改進(jìn)自助法的均值誤差最小而方差最大，證明該方法具有較好的穩(wěn)定性；隨機(jī)加權(quán)法的均值誤差和均值方差基本介于自助法與改進(jìn)自助法之間。

圖2 樣本量為10個(gè)時(shí)的前30次仿真結(jié)果（均值誤差）

圖3 樣本量為10個(gè)時(shí)的前30次仿真結(jié)果（均值方差）

通過(guò)以上分析可知：在某型導(dǎo)彈靶場(chǎng)試驗(yàn)小子樣數(shù)據(jù)分析評(píng)定中，若已知樣本參數(shù)的最小值和最大值，則優(yōu)先選用改進(jìn)自助法，其次選用隨機(jī)加權(quán)法。

4.4 較大子樣仿真結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證3種評(píng)定方法在較大子樣情況下的評(píng)定結(jié)果如何，本文又對(duì)樣本量為20和30兩種情況進(jìn)行仿真，結(jié)果見(jiàn)表7所示。

表7 較大子樣情況下的仿真結(jié)果

從表7中可以看出，樣本量較大時(shí)的兩種情況，均值的估計(jì)誤差都很小，而且誤差接近，均值方差也相差很小。改進(jìn)自助法仍有一點(diǎn)優(yōu)勢(shì)，但3種方法的評(píng)估結(jié)果相差很小，都具有較高的準(zhǔn)確性和評(píng)估精度。

圖4、圖5分別為樣本量為20時(shí)，前30次仿真所得到的均值誤差和均值方差的分布圖。圖6、圖7分別為樣本量為30時(shí)，前30次仿真所得到的均值誤差和均值方差的分布圖。從圖中也可以分析得出，每次仿真所得的均值誤差和均值方差都趨于一致，并且3種方法評(píng)定結(jié)果的差異隨著樣本量的增加而減小。

圖4 樣本量為20個(gè)時(shí)的前30次仿真結(jié)果（均值誤差）

圖5 樣本量為20個(gè)時(shí)的前30次仿真結(jié)果（均值方差）

圖6 樣本量為30個(gè)時(shí)的前30次仿真結(jié)果（均值誤差）

圖7 樣本量為30個(gè)時(shí)的前30次仿真結(jié)果（均值方差）

綜合以上計(jì)算分析，在某型導(dǎo)彈靶場(chǎng)試驗(yàn)小子樣數(shù)據(jù)綜合評(píng)定中，改進(jìn)自助法具有更高的準(zhǔn)確性，但是均值的散布相對(duì)較大。也正因如此，其評(píng)定結(jié)果更能反映試驗(yàn)數(shù)據(jù)的實(shí)際情況，而自助法和隨機(jī)加權(quán)法的評(píng)定結(jié)果相對(duì)過(guò)于樂(lè)觀。隨著樣本量的增加，3種方法的評(píng)估結(jié)果都很接近，而且都具有較高的準(zhǔn)確性和精度。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)分析某型導(dǎo)彈靶場(chǎng)試驗(yàn)的現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)樣本，建立了自助法、改進(jìn)自助法和隨機(jī)加權(quán)法3種基于現(xiàn)場(chǎng)信息的小子樣評(píng)定模型。最后運(yùn)用仿真手段，分析比較了這3種評(píng)估方法。從仿真分析中得出，改進(jìn)自助法具有更高的準(zhǔn)確性，但是如果不能收集到改進(jìn)自助法所需的信息時(shí)，隨機(jī)加權(quán)法也能得出較好的評(píng)估結(jié)果。然而，隨著數(shù)據(jù)樣本量的逐漸增大，3種方法的評(píng)估結(jié)果越來(lái)越接近。

總之，在小子樣條件下某型導(dǎo)彈靶場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)綜合評(píng)定的工程應(yīng)用中，要選擇符合實(shí)際情況的評(píng)定方法。若可以準(zhǔn)確估計(jì)出觀測(cè)樣本中的最小值和最大值，則采用本文提出的改進(jìn)自助法模型，否則采用隨機(jī)加權(quán)法模型。

［1］蔡 洪，張士峰，張金槐.Bayes試驗(yàn)分析與評(píng)估［M］.長(zhǎng)沙：國(guó)防科技大學(xué)出版社，2004.

［2］Efro B，Tibshirani R J.An Introduction to the Bootstrap［M］. London：Chapman and Hall，1993.

［3］張金槐.多種驗(yàn)前信息源情況下的融合驗(yàn)后分布［J］.飛行器測(cè)控技術(shù)，1998，17（3）：28-35.

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［5］肖 剛，李天柁.系統(tǒng)可靠性分析中的蒙特卡羅方法［M］.北京：科學(xué)出版社，2003.

［6］劉 建，吳 翊，譚 璐.對(duì)Bootstrap方法的自助抽樣的改進(jìn)［J］.數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2006，26（1）：69-72.

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［8］唐雪梅，張金槐，邵風(fēng)昌，等.武器裝備小子樣試驗(yàn)分析與評(píng)估［M］.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2001.

Research on Method of Missile Synthetical Assessment in Range Trial in the Case of Small Sample

SUN Jin，LI Guo-lin，XU Cheng
（Naval Aeronautical and Astronautical University，Yantai 264001，China）

Bootstrap and Bayesian Bootstrap are given to solve the missile in range trial problem in the small sample circumstance，and improved Bootstrap is put forward because the regenerate samples in Bootstrap is too concentrated.By simulation，it's found that the improved Bootstrap suits small sample maintainability assessment better.

small sample，range trial，bootstrap method，bayesian bootstrap method

TJ76

A

1002-0640（2014）09-0179-05

2013-06-05

2013-09-01

國(guó)家部委重點(diǎn)基金資助項(xiàng)目（2010214019）

孫 錦（1985- ），男，河南商丘人，博士研究生。研究方向：武器系統(tǒng)與運(yùn)用工程。