曹 輝，張吉偉，白鈞元

(陜西師范大學(xué)陜西省超聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安 710100)

超聲聚焦技術(shù)在超聲診斷、超聲探傷以及超聲檢測(cè)中的應(yīng)用已受到人們的廣泛關(guān)注[1]。在超聲聚焦技術(shù)中，若沿著一條直線(xiàn)實(shí)現(xiàn)點(diǎn)的聚焦，就可以采用由同心圓環(huán)形活塞聲源構(gòu)成的聚焦陣，因此對(duì)同心圓環(huán)形活塞聲源的輻射聲場(chǎng)特性的研究就不可避免。在一個(gè)聲學(xué)振動(dòng)系統(tǒng)中，對(duì)聲源輻射聲場(chǎng)的研究主要有輻射聲壓指向特性和輻射阻抗特性?xún)煞矫娴膬?nèi)容。對(duì)于圓環(huán)形活塞輻射聲源來(lái)說(shuō)，文獻(xiàn)[2－3]已經(jīng)對(duì)其聲場(chǎng)的指向特性做了詳細(xì)的研究。另外，輻射阻抗是評(píng)價(jià)一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)聲學(xué)特性的重要參量，常被用來(lái)評(píng)價(jià)聲學(xué)系統(tǒng)對(duì)外界的輻射聲功率和估計(jì)聲源的同振質(zhì)量等[4]，因此研究同心圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻抗在實(shí)際中具有重要意義。

本文以同心圓環(huán)形活塞聲源為研究對(duì)象，根據(jù)同心圓環(huán)形活塞聲源表面的幾何關(guān)系，利用微元法計(jì)算出了一定尺寸圓環(huán)形活塞聲源振動(dòng)時(shí)的輻射阻抗的理論值。并分析了在ω＜8.5kHz范圍內(nèi)活塞聲源的各參量與圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻抗之間的關(guān)系，得出了一定尺寸同心圓環(huán)形活塞聲源的同振質(zhì)量和平均輻射聲功率。為進(jìn)一步研究圓環(huán)形活塞聲源聚焦技術(shù)奠定了理論基礎(chǔ)。

1 輻射阻抗

如圖1所示，同心圓環(huán)形活塞聲源的內(nèi)徑為a，外徑為b，圓心都為o。圓環(huán)形活塞聲源振動(dòng)時(shí)會(huì)向周?chē)拿劫|(zhì)輻射聲波，從而在周?chē)拿劫|(zhì)中就會(huì)產(chǎn)生輻射聲場(chǎng)。由于圓環(huán)形活塞聲源本身也處于自身所輻射的聲場(chǎng)之中，所以圓環(huán)形活塞聲源本身就必然受到輻射聲場(chǎng)的反作用。圓環(huán)形活塞聲源振動(dòng)時(shí)，表面附近各處的聲壓是不均勻的，因此活塞表面各處所受到輻射聲場(chǎng)的作用也不相等。根據(jù)輻射阻抗的定義

可知，只需求得輻射聲場(chǎng)的反作用力就可計(jì)算出圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻抗的大小。式(1)中Zr為輻射阻抗，F(xiàn)為輻射聲場(chǎng)的反作用力，u=uaejωt為振元的振速。將圓環(huán)形活塞表面分割成無(wú)限多個(gè)小面元，如圖1所示。

圖1 圓環(huán)形活塞積分示意圖Fig.1 The integral schematic diagram of ring piston

設(shè)面元ds的振動(dòng)在面元ds'附近的媒質(zhì)中產(chǎn)生的聲壓為dp。若面元ds與面元ds'之間的距離為h，則聲壓

式中:k為波數(shù)，ρ0為媒質(zhì)密度，c0為聲波在媒質(zhì)中的傳播速度，ω為角頻率。

根據(jù)式(2)可知，圓環(huán)形活塞上所有面元在ds'附近產(chǎn)生的總聲壓為

因此面元ds'受到輻射聲場(chǎng)的反作用力f為

dF=－pds'， (4)式(4)中的負(fù)號(hào)表示dF的方向與ds'的運(yùn)動(dòng)方向相反。將式(3)代入式(4)，并對(duì)ds'積分，得到整個(gè)圓環(huán)形活塞表面受到自身輻射聲場(chǎng)的反作用力為

根據(jù)式(5)分析可知，活塞上每一對(duì)面元(面元ds與面元ds')的相互作用力會(huì)出現(xiàn)兩次:一次是由于ds'振動(dòng)在ds上產(chǎn)生的力;一次是由于ds振動(dòng)在ds'上產(chǎn)生的力。由于這兩個(gè)力大小相等，所以我們只考慮這一對(duì)面元之間相互作用力中的一個(gè)，然后再乘以2即可。

如圖1所示，h為面元ds與面元ds'之間的距離，ρ為圓環(huán)極徑，θ為直線(xiàn)h與通過(guò)ds'的一條直徑之間的夾角，φ為極徑ρ和圓心o與面元ds'連線(xiàn)的夾角。根據(jù)以上幾何關(guān)系可得如下關(guān)系:ds=hdhdθ，ds'= ρdρdφ。積分上下限為:≤ h≤2ρcosθ，a≤ρ≤b，0≤φ≤2π。由上述分析可知，對(duì)面元ds與面元ds'積分之后，再乘以2就可得到輻射聲場(chǎng)的反作用力f為

對(duì)上式(6)逐次積分可求得f的值為

式(7)中，K1(x)是一階修正貝塞爾函數(shù)，J1(x)是一階柱貝塞爾函數(shù)。由于式(7)中包含貝塞爾函數(shù)，結(jié)果較為繁瑣不便于分析，所以引入兩個(gè)新函數(shù)

于是上式(7)可以簡(jiǎn)化為

從上式(10)可以看出，聲場(chǎng)的反作用力與活塞聲源的振動(dòng)頻率、活塞聲源的尺寸(包括活塞的內(nèi)徑尺寸、外徑尺寸)密切相關(guān)。

對(duì)式(10)進(jìn)一步簡(jiǎn)化，在ω ＜8.5kHz范圍內(nèi)，根據(jù)圓環(huán)形活塞聲源的大小(內(nèi)徑 a=0.01m，外徑b=0.02m)和函數(shù)R(x)、X(x)的性質(zhì)，可得函數(shù)R(x)和X(x)的取值表達(dá)式為

因此，綜合式(10)，(11)，可得圓環(huán)形活塞聲源受到輻射聲場(chǎng)的反作用力為

再根據(jù)式(1)中輻射阻抗的定義就可計(jì)算出圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻抗為

2 特性分析

由式(13)可知圓環(huán)形活塞聲源系統(tǒng)的輻射阻抗由實(shí)部和虛部組成，分別稱(chēng)其為輻射阻Rr和輻射抗Xr，并將頻率ω與波數(shù)k的關(guān)系ω=kc0代入式(13)就可以得到輻射阻和輻射抗表達(dá)式

進(jìn)一步可求得圓環(huán)形活塞聲源的同振質(zhì)量為

圓環(huán)形活塞聲源的平均輻射聲功率為

由式(13)和(14)分析可知，在媒質(zhì)條件一定時(shí)，圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻抗與活塞聲源的尺寸和振動(dòng)頻率密切相關(guān)。

根據(jù)圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻抗的表達(dá)式(14)，若已知圓環(huán)形活塞聲源的尺寸a=0.01m，b=0.02m，則圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻抗與振源頻率ω之間的關(guān)系如圖2所示。

圖2 圓環(huán)形活塞的輻射阻抗與振源頻率之間的關(guān)系Fig.2 The relationship between radiation impedance from ring piston and frequency of vibration source

若已知圓環(huán)形活塞聲源的內(nèi)徑a=0.01m和圓環(huán)形活塞聲源的振動(dòng)頻率ω=3.4kHz(經(jīng)計(jì)算在其他ω＜8.5kHz的時(shí)頻率也有相似規(guī)律)，則圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻抗與圓環(huán)形活塞聲源的外徑b之間的關(guān)系如圖3所示。

圖3 圓環(huán)形活塞的輻射阻抗與聲源外徑b之間的關(guān)系Fig.3 The relationship between radiation impedance from ring piston and external radius b

若已知圓環(huán)形活塞聲源的外徑b=0.02m和圓環(huán)形活塞聲源的振動(dòng)頻率ω=3.4kHz，則圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻抗與圓環(huán)形活塞聲源的外徑a之間的關(guān)系如圖3所示。圖1、圖2、圖3中Z'表示圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻抗的相對(duì)值。

圖4 圓環(huán)形活塞的輻射阻抗與聲源內(nèi)徑a之間的關(guān)系Fig.4 The relationship between radiation impedance from ring piston and insiade radius a

從而進(jìn)一步分析，當(dāng)圓環(huán)形活塞聲源的大小一定時(shí)，其輻射阻抗只與振源的振動(dòng)頻率有關(guān)，由圖2可知:圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻和輻射抗都隨著振源頻率的增大而增大，其中輻射抗隨振源頻率的增加比輻射阻隨頻率的增加更快，說(shuō)明圓環(huán)形活塞聲源的輻射抗比輻射抗受頻率的影響更大。當(dāng)圓環(huán)形活塞聲源的振動(dòng)頻率和內(nèi)徑一定時(shí)，由圖3可知:圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻和輻射抗都隨著活塞聲源外徑的增大而增大，并且輻射抗的值大于輻射阻的值。當(dāng)圓環(huán)形活塞聲源的振動(dòng)頻率和外徑一定時(shí)，由圖4可知:圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻和輻射抗都隨著活塞聲源內(nèi)徑的增大而減小，并且輻射阻的值小于輻射抗的值。綜合圖3和圖4可看出，a或b的變化實(shí)際上就是圓環(huán)形活塞聲源的環(huán)寬的變化，輻射阻抗隨環(huán)寬的增大而增大，反之亦然。因此，圓環(huán)形活塞聲源的環(huán)寬和振動(dòng)頻率是決定其輻射阻抗的關(guān)鍵參量。若假設(shè)圓環(huán)形活塞聲源的內(nèi)徑a為0，則其變?yōu)榘霃綖閎的圓形活塞聲源。經(jīng)計(jì)算此時(shí)的圓形活塞的輻射阻為和輻射抗為與文獻(xiàn)[4]中的結(jié)果相符。

3 結(jié)語(yǔ)

聲源的輻射阻抗是評(píng)價(jià)一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)聲學(xué)特性的重要參量，研究同心圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻抗在實(shí)際中具有重要意義。本文以同心圓環(huán)形活塞聲源為研究對(duì)象，在ω＜8.5kHz范圍內(nèi)，根據(jù)同心圓環(huán)形活塞聲源表面的幾何關(guān)系，利用微元法計(jì)算出了一定尺寸圓環(huán)形活塞聲源振動(dòng)時(shí)的輻射阻抗的理論值。并分析了影響圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻抗的因素，結(jié)果表明:圓環(huán)形活塞聲源的輻射阻抗與聲源的振動(dòng)頻率、活塞聲源的外徑和內(nèi)徑密切相關(guān)。輻射阻抗隨著振動(dòng)頻率的增大而增大;隨內(nèi)徑a的增大而減小;隨外徑b的增大而增大。并且輻射抗的值大于輻射阻的值，上述參量的變化對(duì)輻射抗的影響較大。最后得出了一定尺寸同心圓環(huán)形活塞聲源的同振質(zhì)量和平均輻射聲功率。為進(jìn)一步研究圓環(huán)形活塞聲源聚焦技術(shù)奠定了理論基礎(chǔ)。

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