李春曦， 姜 凱， 葉學(xué)民

（華北電力大學(xué)電站設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測(cè)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北保定 071003）

可溶性活性劑驅(qū)動(dòng)的液滴鋪展穩(wěn)定性

李春曦， 姜 凱， 葉學(xué)民

（華北電力大學(xué)電站設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測(cè)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北保定 071003）

對(duì)含可溶性活性劑的液滴在預(yù)置液膜上的非均勻鋪展過(guò)程，基于潤(rùn)滑理論建立基態(tài)和擾動(dòng)態(tài)下的液滴厚度、表面活性劑濃度和內(nèi)部濃度的演化模型，應(yīng)用非模態(tài)理論分析演化過(guò)程的穩(wěn)定性，探討活性劑溶解特性及典型參數(shù)對(duì)液滴演化特征的影響.研究表明：擾動(dòng)波的引入有利于增強(qiáng)液滴演化的穩(wěn)定性，且穩(wěn)定程度與擾動(dòng)波的波數(shù)呈正相關(guān)性；然而隨擾動(dòng)波數(shù)的持續(xù)增大，液滴演化的穩(wěn)定性逐漸下降，直至失穩(wěn)；相對(duì)于非溶性活性劑，可溶性活性劑減緩了液滴的鋪展程度，增強(qiáng)了演化過(guò)程的穩(wěn)定性；預(yù)置液膜厚度、Marangoni數(shù)、毛細(xì)力數(shù)及吸附系數(shù)的增大，均有利于液滴穩(wěn)定演化，其中Marangoni效應(yīng)和毛細(xì)力的影響較大，預(yù)置液膜厚度則主要增強(qiáng)液滴厚度演化的穩(wěn)定性.

可溶性活性劑；鋪展；分離壓；穩(wěn)定性

0 引言

含活性劑的超薄液膜受濃度梯度的作用將形成典型的開(kāi)式低速流動(dòng)，即Marangoni流動(dòng)［1］.由于具有獨(dú)特的動(dòng)力學(xué)特性，超薄液膜流在化工、航空航天和生物醫(yī)藥等領(lǐng)域的應(yīng)用愈加廣泛，因此其穩(wěn)定特性研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義［2－6］.

當(dāng)流動(dòng)液膜的厚度低于其毛細(xì)波長(zhǎng)（100 nm左右）時(shí)，分離壓將對(duì)其穩(wěn)定性產(chǎn)生重要影響［4］.研究表明［7］，液膜非均勻鋪展過(guò)程中形成的具有高度非線性特征的指進(jìn)現(xiàn)象即是分離壓作用的結(jié)果.Warner等［8］模擬了含活性劑超薄液膜的Marangoni流動(dòng)，結(jié)果表明分離壓中的范德華力是導(dǎo)致液膜失穩(wěn)乃至破斷的直接誘因.葉學(xué)民等［9］研究了分離壓對(duì)含活性劑液膜流去濕特性的影響，發(fā)現(xiàn)分離壓將導(dǎo)致液膜失穩(wěn)，從而形成靜態(tài)的去濕結(jié)構(gòu).Zhang等［10］在觀察液膜在生物基底上的流動(dòng)時(shí)發(fā)現(xiàn)，分離壓會(huì)促進(jìn)液膜凹陷處降低，而毛細(xì)力則起到阻礙作用.由此可見(jiàn)，分離壓對(duì)液膜演化特征的影響不容忽視.

在超薄流體流動(dòng)穩(wěn)定性的研究中，經(jīng)典方法為模態(tài)展開(kāi)的特征值分析法，即正則模態(tài)法.研究表明［11］，該方法對(duì)Taylor Couette流及Rayleigh交換等流動(dòng)的穩(wěn)定性預(yù)測(cè)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好.然而，在含活性劑超薄液滴的鋪展過(guò)程中，其基態(tài)演化過(guò)程具有對(duì)時(shí)間和空間的依賴性，且其擾動(dòng)控制方程的線性算子具有高度的非正則性，因此采用傳統(tǒng)的模態(tài)方法分析其穩(wěn)定性并不準(zhǔn)確［12－13］.為此，Warner等［8］將非模態(tài)理論引入液膜演化的穩(wěn)定特征研究，分析了范德華力作用下的液膜破斷機(jī)理.非模態(tài)理論主要通過(guò)考察在線性條件下某時(shí)刻擾動(dòng)能量的增長(zhǎng)情況來(lái)預(yù)測(cè)穩(wěn)定性的演變趨勢(shì)，因此也稱瞬態(tài)增長(zhǎng)法（TGA）.近年來(lái)，非模態(tài)理論在研究復(fù)雜的微觀流動(dòng)穩(wěn)定性方面取得了良好效果.Mavromoustaki等［14］采用非模態(tài)理論分析了施加微擾動(dòng)后的液滴演化穩(wěn)定性，并采用二維數(shù)值模擬證明了其結(jié)論的準(zhǔn)確性；王歡［15］基于該理論研究了熱效應(yīng)作用下含非溶性活性劑液滴鋪展的穩(wěn)定特征，但二者均忽略了鋪展過(guò)程中分離壓的影響.

目前，有關(guān)含活性劑液滴流動(dòng)特征的研究多以非溶性活性劑為對(duì)象，即僅研究以液膜厚度和表面濃度為特征量的演變歷程.然而研究表明［4］，對(duì)于可溶性活性劑，活性劑分子不僅同時(shí)分布于液滴表面和內(nèi)部，而且受吸附和解吸附作用的影響，二者濃度將有所不同，由此對(duì)演化特性產(chǎn)生不同程度的影響.在此基礎(chǔ)上，也需采用恰當(dāng)?shù)哪Ｐ蛯?duì)分離壓的作用進(jìn)行模擬，并開(kāi)展相關(guān)的穩(wěn)定性分析.目前，這方面的內(nèi)容鮮有報(bào)道.因此，本文以非模態(tài)理論分析法替代常用的模態(tài)理論方法，對(duì)受分離壓與可溶性活性劑耦合作用下的液滴演化過(guò)程進(jìn)行模擬，進(jìn)而分析其穩(wěn)定性特征及不同因素的影響.

1 理論模型

1.1 控制方程及邊界條件

含可溶性活性劑的液滴鋪展物理模型如圖1所示.在無(wú)滑移、無(wú)滲透的固體壁面上鋪有厚度為b*的預(yù)置液膜，其上放置有動(dòng)力粘度為μ*、密度為ρ*的含可溶性活性劑液滴，其本體為不可壓縮粘性流體，忽略氣體粘性的影響．氣液邊界為z＝h（x，t）的可變界面，其中z和x為液滴縱向及橫向演化方向，h和t為液滴厚度和演化時(shí)間．液滴初始厚度H*與流動(dòng)尺度L*之比?＝H*／L*＜＜1，適用潤(rùn)滑理論.上角標(biāo)“*”代表有量綱量.

文獻(xiàn)［16］建立了含非溶性活性劑液滴演化的理論模型，Becker等［17］通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明其模擬結(jié)果與真實(shí)的液膜流動(dòng)非常接近.因此，本文仍沿用該模型中描述液滴鋪展的流動(dòng)方程，并采用潤(rùn)滑理論將其無(wú)量綱化，如式（1）～式（3）所示.

連續(xù)性方程和動(dòng)量方程為

式中，u和w分別為x和z方向上的速度，p為液滴表面壓強(qiáng)，Π為分離壓.下角標(biāo)表示偏微分.

針對(duì)液滴的非均勻鋪展過(guò)程，考慮到液膜表面斜率hx和接觸角對(duì)分子間作用力的影響，選取Dai模型作為分離壓模型［18］，

圖1 含可溶表面活性劑液滴的鋪展示意圖Fig.1 Schematic of droplet spreading with soluble surfactants

式中，β為難溶性系數(shù).

綜合式（9）～（10）對(duì)式（2）進(jìn)行積分，可得

式（14）～式（16）即為描述液滴非均勻鋪展過(guò)程的演化方程組，當(dāng)忽略分離壓的作用時(shí)，該方程組與文獻(xiàn)［19］中的形式相同，通過(guò)求解該方程組可獲得液滴鋪展的動(dòng)力學(xué)特征.由表達(dá)式可知，液滴的演化過(guò)程是Marangoni力、毛細(xì)力和分離壓耦合作用的結(jié)果，式中，包含M、C的項(xiàng)分別代表Marangoni效應(yīng)、毛細(xì)力的貢獻(xiàn)；式（14）中的其余項(xiàng)代表分離壓的影響.

1.2 基態(tài)與擾動(dòng)態(tài)方程建立

為深入分析液滴沿流向的穩(wěn)定性機(jī)理，對(duì)液滴厚度h、表面活性劑濃度Γ及內(nèi)部濃度c施加橫向微擾動(dòng)，將式（14）～式（16）分解為

1.3 瞬態(tài)增長(zhǎng)法（TGA）

分析液膜穩(wěn)定性的常用方法包括模態(tài)理論和非模態(tài)理論.模態(tài)理論專注于小擾動(dòng)在演化初始階段的變化趨勢(shì)，因此可對(duì)演化歷程的穩(wěn)定性進(jìn)行合理預(yù)測(cè).然而，該理論忽略了擾動(dòng)的整個(gè)演變歷程，因此適用范圍有限［12－13］.在含活性劑超薄液滴的演化方程組中，基態(tài)量h0、Γ0及c0具有對(duì)時(shí)間和空間的依賴性，無(wú)法采用模態(tài)理論對(duì)其進(jìn)行預(yù)測(cè)，因此，非模態(tài)理論成為探究其穩(wěn)定特征的有效手段［4，8，14］.瞬態(tài)增長(zhǎng)法（TGA）分別對(duì)液膜厚度h、濃度Γ和c施加有限振幅的擾動(dòng)，并觀察擾動(dòng)能量在整個(gè)鋪展過(guò)程中的演化趨勢(shì)，若液膜在受到初始擾動(dòng)之后，其表面波形逐漸恢復(fù)原狀，且擾動(dòng)能量逐漸衰減，則液膜的演化過(guò)程趨于穩(wěn)定，反之，則不穩(wěn)定.

瞬態(tài)增長(zhǎng)法的核心是在線性條件下分析某時(shí)刻的擾動(dòng)能量放大比Gi的演化趨勢(shì)，以觀察擾動(dòng)能量的增長(zhǎng)情況［19］．Gi為 時(shí)刻的擾動(dòng)能量／基態(tài)能量與初始時(shí)刻的擾動(dòng)能量／基態(tài)能量之比，即

由瞬態(tài)增長(zhǎng)法可知，當(dāng)λi＜0時(shí)，擾動(dòng)能量逐漸衰減，系統(tǒng)處于瞬態(tài)穩(wěn)定，反之，擾動(dòng)能量逐漸增強(qiáng)，則系統(tǒng)處于瞬態(tài)不穩(wěn)定，由此對(duì)液滴演化的穩(wěn)定性進(jìn)行預(yù)測(cè).

1.4 數(shù)值計(jì)算

應(yīng)用PDECOL程序［20］對(duì)液膜基態(tài)和擾動(dòng)態(tài)演化方程（14）～（16）及式（18）～（20）進(jìn)行求解，該程序分別采用Gear時(shí)間法和有限元法對(duì)時(shí)間和空間進(jìn)行離散，可有效求解非線性拋物型偏微分方程，近年來(lái)成為求解液膜演化問(wèn)題的常用方法［5，8－9，19－20］.

模擬中，對(duì)三種網(wǎng)格數(shù)（1 000、2 000、3 000）下的液滴厚度分布進(jìn)行考察，以進(jìn)行網(wǎng)格獨(dú)立性檢驗(yàn).結(jié)果表明，三種網(wǎng)格數(shù)下的模擬結(jié)果幾乎完全相同，但網(wǎng)格數(shù)為3 000時(shí)的計(jì)算時(shí)間增加數(shù)倍，與其相比，網(wǎng)格數(shù)為1 000時(shí)的偏差略大，2 000時(shí)的偏差僅為0.06%；綜合考慮精度要求和計(jì)算時(shí)長(zhǎng)，將計(jì)算域劃分為2 000的均勻網(wǎng)格.同時(shí)，經(jīng)式（12）驗(yàn)證，計(jì)算過(guò)程中活性劑總量完全守恒，可保證計(jì)算的準(zhǔn)確性.綜合考慮液滴演化程度及計(jì)算所需時(shí)間，選取演化時(shí)間為t＝0.1.

Afsar-Siddiqui等［21］以AOT系列陰離子型表面活性劑為對(duì)象，實(shí)驗(yàn)研究了初始液膜厚度和活性劑濃度對(duì)含活性劑液膜演化的影響，本文參照該實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并結(jié)合相關(guān)資料［5，8－10，19－20］得到液滴鋪展過(guò)程中各無(wú)量綱參數(shù)的數(shù)量級(jí)范圍，如表1所示.

參照表1，下述分析中如無(wú)特殊說(shuō)明時(shí)，各無(wú)量綱參數(shù)取值如下：b＝0.1，M＝50，C＝0.01，Ks＝50，Peb＝ 100，Pes＝100 0，ε＝0.01.

計(jì)算的初始條件為

式中，F(xiàn)（x）＝［1＋tanh（100x）］／2，為Heaviside階躍函數(shù).

表1 無(wú)量綱參數(shù)的數(shù)量級(jí)Table 1 Orders ofmagnitude of dimensionless parameters

式（27）～式（32）表明，初始時(shí)液滴中心厚度為1，表面及內(nèi)部活性劑濃度為0.6.液滴鋪展具有對(duì)稱性，因此可選擇0＜x＜8的單向區(qū)域進(jìn)行計(jì)算.

2 穩(wěn)定性分析

2.1 擾動(dòng)演化歷程

含可溶性活性劑液滴的基態(tài)量與擾動(dòng)態(tài)量的演化歷程如圖2所示.初始時(shí)，活性劑分布不均引發(fā)Marangoni效應(yīng)，推動(dòng)液滴基態(tài)演化.隨演化進(jìn)行，液滴中心流體被排向外緣，厚度逐漸減薄，鋪展前沿處的液膜在Marangoni效應(yīng)的橫向推動(dòng)作用和分離壓的縱向排斥作用下逐漸隆起［10］，進(jìn)而形成波峰結(jié)構(gòu)（圖2（a））；同時(shí)，受質(zhì)量守恒約束，鋪展半徑處的液膜被拉薄，由此形成凹陷；活性劑濃度梯度逐漸減?。▓D2（c）和圖2（e））.擾動(dòng)態(tài)液膜厚度h1在液滴中心達(dá)到峰值，隨后沿鋪展方向逐漸下降，最終在鋪展前沿附近衰減為零（圖2（b））.擾動(dòng)態(tài)液滴表面濃度Γ1則呈單駝峰型演化．與h1不同，Γ1的峰值出現(xiàn)在鋪展前沿處，中心區(qū)濃度擾動(dòng)反而相對(duì)較弱（圖2（d））.這是由于前沿處濃度梯度最大，受力作用最為復(fù)雜所致［8］.擾動(dòng)態(tài)液滴內(nèi)部濃度c1在鋪展半徑處形成子波峰，其分布與h0相似（圖2（f））.

圖2 基態(tài)與擾動(dòng)態(tài)下，液滴厚度、表面及內(nèi)部活性劑濃度的演化歷程Fig.2 Film thickness，surfactant interfacial and bulk concentration in evolution of base state and perturbation disturbance

2.2 長(zhǎng)波作用下的穩(wěn)定性分析

對(duì)液滴演化過(guò)程施加長(zhǎng)波擾動(dòng)，不同擾動(dòng)波數(shù)下的擾動(dòng)能量放大比Gi和瞬態(tài)增長(zhǎng)率λi如圖3所示．當(dāng)液滴不受擾動(dòng)波作用（k＝0）時(shí)，Gh與GΓ均呈下降趨勢(shì)，且在演化初期下降速率較快，λh與λΓ則逐漸增大．隨演化進(jìn)行，λh與λΓ趨于恒定，Gh與GΓ下降速率減緩．Gc隨時(shí)間推移則呈先降后升趨勢(shì)，并在t＝7.3× 10－3時(shí)達(dá)到極小值，且λc在演化末期增至x軸上方．與其他波數(shù)對(duì)比可知，k＝0時(shí)的λi最大，此時(shí)液滴演化歷程呈現(xiàn)不穩(wěn)定狀態(tài)．隨長(zhǎng)波擾動(dòng)波的引入（k＝1，2，3），Gh、GΓ在演化初期的下降速率加快，而后趨于平緩，Gc則過(guò)渡為持續(xù)下降，與此對(duì)應(yīng)的λh、λΓ及λc值均減小，且恒為負(fù)值，表明液滴的演化過(guò)程趨于穩(wěn)定．圖3（f）表明不同波數(shù)下的λc曲線差別較小，可見(jiàn)長(zhǎng)波波數(shù)的變化對(duì)液滴內(nèi)部濃度擾動(dòng)增長(zhǎng)率的影響較小.圖3表明，擾動(dòng)波的引入有利于提高液滴演化的穩(wěn)定性，且波數(shù)越大，液滴鋪展的穩(wěn)定性越強(qiáng)；但隨時(shí)間的延續(xù)，擾動(dòng)增長(zhǎng)率逐漸增大，鋪展過(guò)程穩(wěn)定性減弱.

圖3 長(zhǎng)波作用下的擾動(dòng)能量放大比和瞬態(tài)擾動(dòng)增長(zhǎng)率Fig.3 Temporal amplification ratios and instantaneous growth rates of applied disturbanceswith smallwavenumbers

2.3 短波作用下的穩(wěn)定性分析

當(dāng)所施加的擾動(dòng)波長(zhǎng)較短時(shí)，Gi與λi隨時(shí)間的演化曲線如圖4所示．隨波數(shù)增加（k＝7→10），Gh、GΓ與Gc繼續(xù)減小，但與受長(zhǎng)波作用下的演化趨勢(shì)不同的是，Gh與GΓ在演化末期出現(xiàn)微弱的上升趨勢(shì)，而Gc曲線整體上則呈線性下降.

由圖4（b）和4（d）可知，短波作用下（k＝7）的λh與λΓ的演化過(guò)程可分為三個(gè)階段：演化初期（t＝0～0.005），λh與λΓ緩慢增長(zhǎng)，當(dāng)演化進(jìn)行至中期（t＝0.005～0.05）時(shí)，二者快速上升，且λΓ在x軸上方形成波峰，隨后逐漸下降；在演化末期（t＝0.05～0.1），二者演化趨勢(shì)減緩．由此可見(jiàn)，k＝7時(shí)液滴演化的整體穩(wěn)定性較差．當(dāng)擾動(dòng)波長(zhǎng)減?。╧＝7→10），演化初期的λh與λΓ持續(xù)減小，但在演化中期，大波數(shù)下的λh和λΓ加速提高，且λΓ出現(xiàn)峰值的時(shí)間明顯提前，且峰值逐漸增大，液滴表現(xiàn)出失穩(wěn)特征.這表明圖3所得結(jié)論僅在一定波數(shù)范圍內(nèi)適用，隨波數(shù)持續(xù)增加，波長(zhǎng)減短，液滴演化的穩(wěn)定性逐漸下降，直至失穩(wěn)，Warner等［19］在探究擾動(dòng)波數(shù)對(duì)液膜指進(jìn)現(xiàn)象的影響時(shí)亦得出相同結(jié)論.

圖4 短波作用下的擾動(dòng)能量放大比和瞬態(tài)擾動(dòng)增長(zhǎng)率Fig.4 Temporal amplification ratios and instantaneous growth rates of applied disturbanceswith large wavenumbers

3 活性劑溶解特性對(duì)液滴演化及穩(wěn)定性的影響

由上述分析可知，當(dāng)液滴鋪展受到微擾動(dòng)波作用時(shí)，其穩(wěn)定性隨波數(shù)k增加呈現(xiàn)先增強(qiáng)后減弱的演化趨勢(shì)．其中，k＝2時(shí)的液滴鋪展較為穩(wěn)定，故下文選取該波數(shù)作為基準(zhǔn)擾動(dòng)波數(shù)，以分析活性劑溶解性對(duì)液滴演化及穩(wěn)定性的影響.

圖5所示為活性劑溶解特性對(duì)液滴演化的影響，箭頭所示方向?yàn)榛钚詣┓N類由非溶性變?yōu)榭扇苄詴r(shí)，液滴演化特征變化的方向.當(dāng)活性劑為可溶性時(shí)，液滴表面與內(nèi)部活性劑分子間將形成動(dòng)態(tài)的吸附與解吸附過(guò)程，從而減緩液滴表面活性劑分子的擴(kuò)散速度，導(dǎo)致鋪展半徑（x＝1.4）上游區(qū)域的活性劑濃度有所增大.在活性劑分布變化的影響下，液滴的鋪展過(guò)程亦發(fā)生相應(yīng)改變.鋪展半徑處的液膜厚度增大，而鋪展前沿呈現(xiàn)收縮趨勢(shì)，液滴鋪展范圍減小.文獻(xiàn)［5］指出，形成該現(xiàn)象的原因是，對(duì)于可溶性活性劑，液膜表面與內(nèi)部分子間的吸附與解吸附作用改變了液膜表面的張力分布所致.

活性劑溶解特性對(duì)穩(wěn)定性的影響如圖6所示.含非溶性活性劑液滴演化的擾動(dòng)能量隨時(shí)間推移而呈現(xiàn)減弱趨勢(shì)，且其增長(zhǎng)率恒為負(fù)值，液滴穩(wěn)定鋪展.而對(duì)于可溶性活性劑，Gh的減小速率有所加快，表明液膜厚度的擾動(dòng)能量加速衰減，GΓ亦向著能量減弱的方向變化，且二者的增長(zhǎng)率λh和λc均有不同程度減小，液滴演化的穩(wěn)定性得到進(jìn)一步增強(qiáng)．由此表明，擾動(dòng)波數(shù)k＝2時(shí)，含非溶性活性劑液滴演化的擾動(dòng)能量逐漸衰減，液滴呈現(xiàn)穩(wěn)定鋪展；當(dāng)活性劑為可溶性時(shí)，擾動(dòng)能量的衰減速率加快，進(jìn)一步促進(jìn)了液滴演化過(guò)程的穩(wěn)定性，這與文獻(xiàn)［14］所得結(jié)論吻合.

4 典型參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響

下文選取k＝2作為基準(zhǔn)擾動(dòng)波數(shù)，對(duì)預(yù)置液膜厚度b、Marangoni數(shù)M、毛細(xì)力數(shù)C及吸附系數(shù)Ks等典型參數(shù)對(duì)液滴演化穩(wěn)定特征的影響進(jìn)行分析.

圖5 活性劑溶解性對(duì)液滴演化的影響（t＝0.1）Fig.5 Effect of surfactant solubility on droplet evolution（t＝0.1）

圖6 活性劑溶解性對(duì)液滴演化穩(wěn)定性的影響Fig.6 Effect of surfactant solubility on stability of evolution process

4.1 預(yù)置液膜厚度b的影響

如圖7所示，預(yù)置液膜厚度b對(duì)Gi與λi演化趨勢(shì)的影響較為明顯，Gi隨時(shí)間推移而逐漸減小，λi呈上升趨勢(shì)，但其值恒為負(fù)值，表明預(yù)置液膜厚度的變化對(duì)液滴鋪展穩(wěn)定性不產(chǎn)生質(zhì)的影響．隨預(yù)置液膜厚度減小（b＝0.2→0.05），Gi下降速率減緩，λi值有所增大．相對(duì)于濃度所受影響，Gh與λh的變化較大，可見(jiàn)預(yù)置液膜厚度主要影響液滴厚度演化的穩(wěn)定性.圖7表明，增厚預(yù)置液膜有利于液滴穩(wěn)定演化，且這種效果在液滴厚度演化穩(wěn)定性的提升上體現(xiàn)更為顯著，這與文獻(xiàn)［22］所得結(jié)論一致.

圖7 預(yù)置液膜厚度b對(duì)液滴演化穩(wěn)定性影響Fig.7 Effect of b on stability of evolution process

4.2 Marangoni效應(yīng)的影響

表面張力梯度驅(qū)動(dòng)液膜流動(dòng)的現(xiàn)象被稱為Marangoni效應(yīng)［23－25］，其強(qiáng)弱由Marangoni數(shù)M表征．當(dāng)M＝100時(shí)，Gh與GΓ在演化初期迅速下降，隨后趨于恒定，Gc則總體呈線性下降；λi表現(xiàn)為快速增長(zhǎng)趨勢(shì)，但液滴鋪展仍處于穩(wěn)定狀態(tài)．隨M減小，Gh與GΓ在初期的下降速率減慢，且能量放大比有所增大，Gc下降速度則基本不變；相應(yīng)地，λi逐漸趨于0，且增長(zhǎng)趨勢(shì)減緩，此時(shí)液滴演化的穩(wěn)定性下降．當(dāng)M＝1時(shí)，Gh與GΓ已過(guò)渡為緩慢下降，而λh與λΓ曲線幾乎與x軸重合，λc增長(zhǎng)率極小，此時(shí)，液滴已瀕臨失穩(wěn).圖8可見(jiàn)，Marangoni效應(yīng)減弱會(huì)降低液滴演化的穩(wěn)定性［19］.

4.3 毛細(xì)力數(shù)C的影響

液滴鋪展過(guò)程中，氣液界面彎曲將產(chǎn)生表面張力作用，形成毛細(xì)力.研究表明［5］，毛細(xì)力對(duì)鋪展過(guò)程具有重要影響.如圖9所示，隨毛細(xì)力作用增強(qiáng)（C＝0.001→0.05），Gh、GΓ與λh、λΓ的變化趨勢(shì)與增大預(yù)置液膜厚度b時(shí)相似，液滴鋪展所表現(xiàn)出的穩(wěn)定性特征愈加顯著．這是由于毛細(xì)力方向與液膜彎曲方向相反，具有抑制液膜變形的作用，因此毛細(xì)力越強(qiáng)，液滴表面受擾動(dòng)的影響越弱，演化所表現(xiàn)出的穩(wěn)定性越強(qiáng)［22］．圖中，Gc與λc曲線幾乎不隨C的變化而改變，這是由于毛細(xì)力是僅作用于液滴表面的張力作用，對(duì)液滴內(nèi)部影響較弱．由圖9可知，無(wú)論毛細(xì)力數(shù)C如何改變，液滴鋪展依然維持穩(wěn)定，且穩(wěn)定程度與毛細(xì)力強(qiáng)度呈正相關(guān)性，這與文獻(xiàn)［22］所得結(jié)論吻合.

4.4 吸附系數(shù)Ks的影響

圖8 Marangoni數(shù)M對(duì)液滴演化穩(wěn)定性影響Fig.8 Effect of Marangoninumber Mon stability of evolution process

圖9 毛細(xì)力數(shù)C對(duì)液滴演化穩(wěn)定性影響Fig.9 Effect of capillary parameter C on stability of evolution process

吸附系數(shù)Ks對(duì)液滴演化穩(wěn)定性的貢獻(xiàn)如圖10所示.當(dāng)吸附系數(shù)減?。↘s＝10→0.1），液膜厚度的穩(wěn)定性曲線幾乎不變，僅GΓ與Gc曲線的下降趨勢(shì)有所減緩，這是由于Ks表征液滴表面與內(nèi)部活性劑濃度平衡遭到破壞時(shí)的恢復(fù)能力，對(duì)液膜厚度的影響較弱所致 .圖10中，λh與λΓ曲線幾乎完全重合，僅λc曲線斜率有所增大.可見(jiàn)，相對(duì)于其他典型參數(shù)，Ks對(duì)穩(wěn)定性的影響較?。?9］.Warner等［22］指出，液滴演化的穩(wěn)定性隨Ks減小而下降的原因是，當(dāng)吸附作用減弱時(shí)，液滴表面與內(nèi)部活性劑建立濃度平衡的速度減慢，二者間的濃度差將加劇液滴受到的擾動(dòng)作用，因此穩(wěn)定性減弱.

圖10 吸附系數(shù)Ks對(duì)液滴演化穩(wěn)定性影響Fig.10 Effect of sorption parameter Kson stability of evolution process

5 結(jié)論

基于潤(rùn)滑理論建立了含可溶性活性劑液滴鋪展在基態(tài)與擾動(dòng)態(tài)下的演化理論模型，采用非模態(tài)方法分析了演化過(guò)程的穩(wěn)定性，探討了典型參數(shù)對(duì)液滴演化特征的影響.主要結(jié)論如下：

1）當(dāng)不受擾動(dòng)波作用時(shí)，液滴呈現(xiàn)不穩(wěn)定演化；微擾動(dòng)波的引入增強(qiáng)了液滴演化的穩(wěn)定性，且穩(wěn)定程度與擾動(dòng)波數(shù)呈正相關(guān)性.然而，隨著擾動(dòng)波數(shù)的持續(xù)增加，液滴演化逐漸表現(xiàn)出不穩(wěn)定特征，直至失穩(wěn)；擾動(dòng)波數(shù)的變化對(duì)液滴內(nèi)部濃度擾動(dòng)增長(zhǎng)率的影響較小.

2）當(dāng)超薄液滴內(nèi)含有可溶性活性劑時(shí)，受液膜表面與內(nèi)部活性劑分子間的吸附與解吸附作用影響，液滴的鋪展程度有所減緩.含非溶性活性劑液滴演化的擾動(dòng)能量逐漸衰減，液滴呈現(xiàn)穩(wěn)定鋪展；對(duì)于可溶性活性劑，擾動(dòng)能量的衰減速率加快，液滴演化的穩(wěn)定性得到進(jìn)一步增強(qiáng).

3）預(yù)置液膜厚度b、Marangoni數(shù)M、毛細(xì)力數(shù)C及吸附系數(shù)Ks增大，均會(huì)不同程度地增強(qiáng)液滴演化的穩(wěn)定性.其中，Marangoni效應(yīng)和毛細(xì)力的影響較大，且毛細(xì)力的作用效果在液滴厚度和表面濃度穩(wěn)定性的提升上體現(xiàn)更為顯著；預(yù)置液膜厚度b主要增強(qiáng)液滴厚度演化的穩(wěn)定性；相對(duì)于其他參數(shù)，吸附系數(shù)Ks對(duì)穩(wěn)定性的影響較弱，且主要表現(xiàn)濃度穩(wěn)定性的提高.

［1］Kovalchuk N M，Vollhardt D.Marangoni instability and spontaneous non-linear oscillations produced at liquid interfaces by surfactant transfer［J］.Advances in Colloid and Interface Science，2006，120（1－3）：1－31.

［2］Sinz D K N，Hanyak M，Darhuber A A.Immiscible surfactant droplets on thin liquid films：Spreading dynamics，subphase expulsion and oscillatory instabilities［J］.Journal of Colloid and Interface Science，2011，364（2）：519－529.

［3］Xue SS，Sun S K，Li Y.Modeling and numerical simulation of gas／drop flows［J］.Chinese Journal of Computational Physics，2012，29（3）：340－346.

［4］Craster R V，Matar O K.Dynamics and stability of thin liquid films［J］.Reviews ofModern Physics，2009，81（3）：1131－1189.

［5］LiCX.Spreading of a surfactant-laden drop on thin liquid film［D］.Baoding：North China Electric Power University，2011.

［6］Zhou Y，Guo JH，Chen H X.Lattice Boltzmann simulation of two liquid droplets impacting on a liquid film［J］.Chinese Journal of Computational Physics，2010，27（1）：31－37.

［7］Ye X M，Jiang K，Li C X.Research on the theoreticalmodel of the non-uniform spreading of surfactant solution withmicelle structure［J］.Journal of North China Electric Power University，2012，39（3）：88－93.

［8］Warner MR E，Craster R V，Matar O K.Unstable van der Waals driven line rupture in Marangoni driven thin viscous films［J］.Physics of Fluids，2002，14（5）：1642－1654.

［9］Ye X M，Shen L，Li C X.Effect of disjoining pressure on dewetting of thin film flows containing surfactant［J］.Journal of Xi'an Jiao Tong University，2013，47（3）：96－101.

［10］Zhang Y L，Craster R V，Matar O K.Surfactantdriven flows overlying a hydrophobic epithelium：Film rupture in the presence of slip［J］.Journal of Colloid and Interface Science，2003，264（1）：160－175.

［11］Liu R，Liu Q S.Non-modal instabilities of two-dimensional disturbances in plane Couette flow of a power-law fluid［J］. Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics，2010，165（19－20）：1228－1240.

［12］Fischer B J，Troian SM.Growth and decay of localized disturbances on a surfactant-coated spreading film ［J］.Physical Review E，2003，67（1）：1－11.

［13］Nouar C，Kabouya N，Duesk J，et al.Modal and non-modal linear stability of the plane Bingham-Poiseuille flow［J］.Journal of Fluid Mechanics，2007，577：211－239.

［14］Mavromoustaki A，Matar O K，Craster R V.Dynamics of a climbing surfactant-laden filmⅡ：Stability［J］.Journal of Colloid and Interface Science，2012，371（1）：121－135.

［15］Wang H.Spreading and stability analysis of a surfactant-laden drop on thermally driven thin liquid film［D］.Baoding：North China Electric Power University，2012.

［16］Warner MR E，Craster R V，Matar O K.Dewetting of ultrathin surfactant-covered films［J］.Physics of Fluids，2002，14（11）：4040－4054.

［17］Becker J，Grün G，Seemann R，et al.Complex dewetting scenarios captured by thin film models［J］.Nature Materials，2003，2（1）：59－63.

［18］Dai B，Leal LG，Redondo A.Disjoining pressure for nonuniform thin films［J］.Physical Review E，2008，78（6）：176－177.

［19］Warner MR E，Craster R V.Fingering phenomena created by a soluble surfactant deposition on a thin liquid film ［J］. Physics of Fluids，2004，16（8）：2933－2950.

［20］Edmonstone B D，Matar O K.Simultaneous thermal and surfactant-induced Marangonieffects in thin liquid films［J］.Journal of Colloid and Interface Science，2004，274（1）：183－199.

［21］Afsar-Siddiqui A B，Luckham PF，Matar O K.Unstable spreading ofaqueous anionic surfactantsolutions on liquid films.Part 1.Sparingly soluble surfactant［J］.Langmuir，2003，19（3）：696－702.

［22］Warner MR E，Craster R V，Matar O K.Fingering phenomena associated with insoluble surfactant spreading on thin liquid films［J］.Journal of Fluid Mechanics，2004，510：169－200.

［23］Hu G H，Zhou ZW.Influences ofMarangonieffecton solidification of curved interfaceswith constant curvature［J］.Applied Mathematics and Mechanics（English Edition），2008，29（2）：133－140.

［24］Ye X M，Shen L，LiCX.Numerical simulation on dewetting of thin film containing insoluble surfactant［J］.Chinese Journal of Computational Physics，2013，30（3）：361－370.

［25］Ye X M，Jiang K，Li C X.Marangoni effect on soluble surfactant droplet spreading in different spreading systems［J］. Chinese Journal of Computational Physics，2013，30（5）：135－143.

Stability of Thin Droplet Spreading Driven by Soluble Surfactant

LIChunxi，JIANG Kai，YE Xuemin
（Key Laboratory ofCondition Monitoring and Control for Power Plant Equipment，North China Electric Power University，Baoding 071003，China）

For process of an ultrathin surfactant-laden droplet spreading on preset film，base state and disturbance evolution equations for film thickness，surfactant interfacial and bulk concentrations were established with lubrication approximation.Transient growth analysis（TGA）was carried out to investigate stability of evolution process.Effects of surfactant solubility and typical parameterswere discussed.TGA indicates that introduction of perturbation wave is conducive to enhance stability of droplet evolution and stability degree is directly related with wave number（k）．However，stability tends to be deteriorated with increment of k．Compared with insoluble surfactant，evolution with soluble surfactant slows down slightly and stability is improved.Increasing of b，M，C，Ksstabilize the spreading，especially Marangoni effect and capillary force.Thickness of preset film has a primarily role on stability of droplet thickness evolution.

soluble surfactant；spreading；disjoining pressure；stability

date：2013－08－21；Revised date：2013－12－03

TQ423；O363

A

1001-246X（2014）04-0431-13

2013－08－21；

2013－12－03

國(guó)家自然科學(xué)基金（10972077，11202079）及中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)基金（13MS97）資助項(xiàng)目

李春曦（1973－），女，博士，副教授，主要從事流體力學(xué)理論及應(yīng)用、活性劑鋪展過(guò)程研究，E-mail：leechunxi＠163.com