舒 適, 岳孝強(qiáng), 周志陽(yáng), 徐小文
SAMR網(wǎng)格上擴(kuò)散方程有限體格式的逼近性與兩層網(wǎng)格算法
舒 適1, 岳孝強(qiáng)1, 周志陽(yáng)1, 徐小文2,*
(1.湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,湖南湘潭 411105;2.北京應(yīng)用物理與計(jì)算數(shù)學(xué)研究所,北京 100094)
針對(duì)結(jié)構(gòu)自適應(yīng)加密網(wǎng)格(SAMR)上擴(kuò)散方程的求解,分析幾種有限體格式的逼近性,同時(shí)設(shè)計(jì)和分析一種兩層網(wǎng)格算法.首先,討論一種常見(jiàn)的守恒型有限體格式,并給出網(wǎng)格加密區(qū)域和細(xì)化/粗化插值算子的條件;接著,通過(guò)在粗細(xì)界面附近引入輔助三角形單元,消除粗細(xì)界面處的非協(xié)調(diào)單元,設(shè)計(jì)了一種保對(duì)稱有限體元(SFVE)格式,分析表明,該格式具有更好的逼近性,且對(duì)網(wǎng)格加密區(qū)域和插值算子的限制更弱;最后,為SFVE格式構(gòu)造一種兩層網(wǎng)格(TL)算法,理論分析和數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明該算法的一致收斂性.
自適應(yīng)網(wǎng)格加密(AMR);擴(kuò)散方程;有限體格式;逼近性;兩層網(wǎng)格算法
在很多實(shí)際應(yīng)用的數(shù)值模擬中,物理現(xiàn)象通常具有局部性,如激波、物質(zhì)界面、能量傳播前沿等通常出現(xiàn)在局部區(qū)域.局部自適應(yīng)網(wǎng)格加密技術(shù)(AMR)廣泛應(yīng)用于對(duì)這類問(wèn)題的求解.例如,由 Babuska和Rheinboldt提出的基于局部加密技術(shù)的自適應(yīng)有限元(AFEM)方法[1]已成為有限元計(jì)算中最有效的模擬手段之一.本文的背景主要來(lái)源于另外一種面向結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的局部加密自適應(yīng)計(jì)算(SAMR),該類自適應(yīng)計(jì)算最初由Berger等人提出,用于在流體力學(xué)計(jì)算中求解雙曲型方程[2-4].在SAMR自適應(yīng)計(jì)算中,離散網(wǎng)格由多個(gè)不同分辨率的網(wǎng)格層嵌套而成,每個(gè)網(wǎng)格層是一個(gè)均勻結(jié)構(gòu)網(wǎng)格,其中最粗網(wǎng)格層覆蓋整個(gè)計(jì)算區(qū)域,細(xì)網(wǎng)格層基于數(shù)值計(jì)算誤差估計(jì)原理和自適應(yīng)網(wǎng)格加密技術(shù),在相鄰粗網(wǎng)格的局部區(qū)域加密而成,用于刻畫(huà)物理現(xiàn)象的局部特征.在數(shù)值模擬過(guò)程中,物理現(xiàn)象的局部特征可能隨時(shí)間的發(fā)展而移動(dòng),細(xì)網(wǎng)格層將被動(dòng)態(tài)地刪除和創(chuàng)建.圖1給出了一個(gè)包含三個(gè)網(wǎng)格層的二維SAMR網(wǎng)格的例子.
圖1 三層結(jié)構(gòu)網(wǎng)格嵌套而成的二維SAMR網(wǎng)格Fig.1 SAMR mesh with three levels for 2D example
由于SAMR網(wǎng)格僅在局部區(qū)域加密,同時(shí)保持了與全局一致加密情形具有相同分辨率,因此可大幅度地減少網(wǎng)格規(guī)模,節(jié)省計(jì)算量和計(jì)算資源.目前,SAMR自適應(yīng)計(jì)算已經(jīng)廣泛應(yīng)用于輻射流體力學(xué) 、天體物理[10-14]等實(shí)際問(wèn)題的數(shù)值模擬中.并且,基于SAMR自適應(yīng)計(jì)算的應(yīng)用軟件支撐框架也得到快速發(fā)展[15-16].
對(duì)于流體力學(xué)方程組的顯式離散格式,Berger等人提出的基于細(xì)化模式的時(shí)間積分相對(duì)成熟[2-4].在該模式中,時(shí)間積分從最粗到最細(xì)網(wǎng)格層逐層進(jìn)行,相對(duì)于粗網(wǎng)格層的一個(gè)時(shí)間步,細(xì)網(wǎng)格層基于粗網(wǎng)格層提供的邊界條件,積分若干個(gè)時(shí)間步.對(duì)于擴(kuò)散方程的隱式離散格式,通常采用組合模式進(jìn)行時(shí)間積分[17-18].在組合模式中,所有網(wǎng)格層組合在一起形成組合網(wǎng)格[17],空間離散和時(shí)間積分均在組合網(wǎng)格上進(jìn)行,此時(shí),所有網(wǎng)格層具有相同的時(shí)間步長(zhǎng).多物理耦合問(wèn)題的數(shù)值模擬和大規(guī)模并行計(jì)算表明,組合模式具有很強(qiáng)的局限性,因此,近年來(lái)也發(fā)展了求解擴(kuò)散方程的細(xì)化模式隱式時(shí)間積分算法[5,9,19].
給定SAMR網(wǎng)格,無(wú)論采用細(xì)化模式還是組合模式,擴(kuò)散方程的求解主要涉及兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題:離散格式的構(gòu)造和離散代數(shù)系統(tǒng)的求解.對(duì)于細(xì)化模式,離散格式只需針對(duì)單層均勻網(wǎng)格進(jìn)行設(shè)計(jì),但需要基于粗細(xì)界面處的細(xì)化插值(為細(xì)網(wǎng)格層提供邊界條件)和加密區(qū)域的粗化插值(為粗網(wǎng)格層提供校正量)在網(wǎng)格層之間進(jìn)行多層迭代,直到收斂[9].對(duì)于組合模式,離散格式于組合網(wǎng)格需要處理粗細(xì)界面的“一對(duì)多”非協(xié)調(diào)單元[17].對(duì)非協(xié)調(diào)單元的離散格式,本質(zhì)上也可視為在粗細(xì)界面處通過(guò)引入細(xì)化插值和粗化插值進(jìn)行構(gòu)造.因此,在多層迭代收斂的前提下,細(xì)化模式與組合模式在離散格式層面是等價(jià)的.簡(jiǎn)單起見(jiàn),本文僅針對(duì)組合模式.
由于本文的討論僅涉及到SAMR網(wǎng)格上的空間離散格式,為簡(jiǎn)單起見(jiàn),考慮如下二維定常擴(kuò)散問(wèn)題
其中n為?Ω的單位外法向量,a和b均為正常數(shù),κ=diag(κ1,κ2),這里κ1、κ2、λ、f和g均為已知的連續(xù)函數(shù),且 κ1、 κ2、 λ >0.
圖2 矩形網(wǎng)格Qh和剖分單元Ωi,jFig.2 Rectangularmesh Qhand cellΩi,j
1.1 混合五點(diǎn)格式
設(shè)Qh為對(duì)Ω作nx×ny等距剖分得到的矩形網(wǎng)格(如圖2所示),其沿x和y方向的剖分步長(zhǎng)分別為hx=a/nx和hy=b/ny,h=max(hx,hy)為Qh的尺寸.記剖分單元Ωi,j=(xi-h(huán)x/2,xi+hx/2)×(yj-h(huán)y/2,yj+hy/2),其中xi=(i-1/2)hx,yj=(j-1/2)hy,i=1,2,…,nx,j=1,2,…,ny.若?Ωi,j∩?Ω =φ,則稱Ωi,j為內(nèi)部單元,否則稱為邊界單元.
設(shè)自由度定義在網(wǎng)格單元中心,采用標(biāo)準(zhǔn)的守恒型有限體方法進(jìn)行離散,可得到五點(diǎn)格式.具體地,內(nèi)部單元Ωi,j上的五點(diǎn)格式為
其中
邊界單元Ωi,j上的離散格式,需要基于具體的物理邊界條件對(duì)公式(2)作適當(dāng)修正.
下面以兩層SAMR網(wǎng)格為例討論相應(yīng)的離散格式.不失一般性,考慮區(qū)域Ω=Ω1∪Ω2由兩個(gè)子區(qū)域組成(如圖3所示),其中Ω1=(μ,a)×(0,b),Ω2=(0,μ)×(0,b).采用矩形均勻網(wǎng)格,粗網(wǎng)格的尺寸為H,加密區(qū)域?yàn)棣?,網(wǎng)格加密的細(xì)化率為2,即Ω1的網(wǎng)格尺寸為h=H/2.由此可得如圖4所示的兩層SAMR網(wǎng)格QhH,該網(wǎng)格包含H和h兩種尺寸的單元,因此它是一種組合網(wǎng)格(composite grid),其中粗、細(xì)網(wǎng)格單元交界的網(wǎng)格線(對(duì)應(yīng)x=μ)稱為粗細(xì)界面Γ.
圖3 Ω的一個(gè)分劃Fig.3 A partition ofΩ
圖4 SAMR網(wǎng)格QhH和粗細(xì)界面ΓFig.4 SAMR mesh QhHand coarse-fine interfaceΓ
1.1.1 細(xì)化插值算子
圖5 編號(hào)為p和q的代表單元示意圖Fig.5 Illustration for typical cells numbered p and q
1.1.2 粗化插值算子
考慮如圖6所示的Ω1中的某個(gè)粗單元,設(shè)其編號(hào)為i0,該單元一致加密后所得四個(gè)細(xì)單元的編號(hào)分別為il,l=1,2,3,4.一個(gè)最常用的粗化插值算子為
利用上述細(xì)化和粗化插值算子,就可以為非協(xié)調(diào)單元建立離散格式.下面與粗細(xì)界面相鄰的一個(gè)粗網(wǎng)格非協(xié)調(diào)單元i0和一個(gè)細(xì)網(wǎng)格非協(xié)調(diào)單元j0為例(見(jiàn)圖7),分別給出相應(yīng)的離散格式.
圖6 粗化插值算子模板圖Fig.6 Illustration for a template of coarsening interpolation operator
圖7 代表單元i0和j0Fig.7 Typical cells i0and j0
由式(10)和(12)可知,SAMR網(wǎng)格中關(guān)于非協(xié)調(diào)單元上的離散格式模板不同于協(xié)調(diào)單元的五點(diǎn)格式.粗網(wǎng)格非協(xié)調(diào)點(diǎn)通常為八點(diǎn)格式(10),而細(xì)網(wǎng)格非協(xié)調(diào)點(diǎn)的格式模板與具體細(xì)化插值算子相關(guān),當(dāng)細(xì)化插值算子采用P1公式時(shí),細(xì)網(wǎng)格非協(xié)調(diào)單元為九點(diǎn)格式(12);當(dāng)采用P0公式時(shí),則退化為五點(diǎn)格式.一般地,對(duì)于細(xì)化率大于2的情形,非協(xié)調(diào)單元的格式模板更復(fù)雜,格式寬度更大.為方便起見(jiàn),本文將SAMR網(wǎng)格上包含多種格式模板的離散格式稱為混合五點(diǎn)格式.
1.2 SFVE格式
對(duì)于SAMR網(wǎng)格,非協(xié)調(diào)單元將影響離散格式的逼近性,對(duì)插值算子和加密準(zhǔn)則有較大的限制.本節(jié)我們將通過(guò)在粗細(xì)界面附近引入輔助三角形單元,消除粗細(xì)界面處的非協(xié)調(diào)單元,進(jìn)而設(shè)計(jì)相應(yīng)的SFVE格式.下面給出該格式的構(gòu)造過(guò)程.
不妨考慮圖4所示的SAMR網(wǎng)格,為了消除粗細(xì)界面Γ上的非協(xié)調(diào)單元,我們對(duì)Γ左側(cè)的粗網(wǎng)格四邊形單元,通過(guò)引入輔助三角形單元,可得到一種協(xié)調(diào)的SAMR混合網(wǎng)格,如圖8(a)所示.
圖8 協(xié)調(diào)的SAMR混合網(wǎng)格ThH及其代表單元示意圖Fig.8 Illustration for conforming SAMR mixed mesh ThHand its typical cell
與已有的協(xié)調(diào)非混合網(wǎng)格(即僅含一種類型的單元)上SFVE格式 的構(gòu)造不同,對(duì)于上述SAMR混合網(wǎng)格,我們需對(duì)不同類型的單元(分別見(jiàn)圖8(b)和(c)),給出相應(yīng)的單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧d荷向量.
關(guān)于圖8(b)所示的四邊形單元,其單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧d荷向量的計(jì)算公式可見(jiàn)文[20](在后面的數(shù)值實(shí)驗(yàn)中,取該文的格式I);對(duì)圖8(c)所示的單元(記單元編號(hào)為k),經(jīng)過(guò)類似的推導(dǎo)可得到相應(yīng)的單元?jiǎng)偠染仃嚕╝klm)5×5和單元載荷向量(fkl)5×1, 其中
上面我們雖然是針對(duì)SAMR網(wǎng)格的細(xì)化率為2(即粗單元落在界面上的邊僅含一個(gè)懸點(diǎn))的特殊情形進(jìn)行討論的,但該處理方法可以應(yīng)用到細(xì)化率大于2的情形,其基本思想是通過(guò)引入過(guò)渡區(qū),將該情形的處理轉(zhuǎn)化為若干個(gè)細(xì)化率為2的情形進(jìn)行處理.例如對(duì)于細(xì)化率為4的情形(見(jiàn)圖9(a)),圖9(b)通過(guò)引入過(guò)渡區(qū)(即對(duì)界面附近的粗單元加密一次)將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)細(xì)化率為2的情形進(jìn)行處理.
圖9 細(xì)化率為4時(shí)的SAMR網(wǎng)格的協(xié)調(diào)化Fig.9 Conformance for SAMR mesh with 4 as refinement rate
對(duì)ThH中所有單元的單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧d荷向量進(jìn)行集成,即可得到求解問(wèn)題(1)的SFVE格式所對(duì)應(yīng)的線性系統(tǒng)的系數(shù)矩陣AH,h和右端向量 fH,h.
2.1 逼近問(wèn)題的提出
記方程(1)在粗網(wǎng)格及加密網(wǎng)格下的離散系統(tǒng)分別為
下面討論我們給出的混合五點(diǎn)格式和SFVE格式的逼近性問(wèn)題,即在什么條件下式(17)成立.
2.2 逼近性分析及數(shù)值實(shí)驗(yàn)
圖10 區(qū)域Ωμ,δ、Ω~1和Ω~2示意圖Fig.10 Illustration for domainsΩμ,δ,Ω~1andΩ~2
首先給出幾個(gè)典型算例.將求解域Ω中的參數(shù)a和b均取為1,定義Ωμ,δ=(c,d)×(0,1)表示粗細(xì)界面x=μ附近的一個(gè)δ鄰域,這里 c= μ - δ,d = μ + δ,并記 Ω~1= Ω1\Ωμ,δ,Ω~2=Ω2\Ωμ,δ,如圖10所示.
在方程(1)中取κ1=κ2=λ =1,并取μ=1/4,δ=1/8(此時(shí)相應(yīng)的c=1/8,d=3/8),可構(gòu)造如下三個(gè)算例.
例1 在模型方程(1)中取真解為
例2 在模型方程(1)中取真解為
例1~例3的真解函數(shù)u在Ω~2∪Ωμ,δ分別取為1、x和x2,在Ω~1均取為高次多項(xiàng)式.這三個(gè)例子表現(xiàn)的是真解函數(shù)u在Ω~2∪Ωμ,δ上的變化比在Ω~1上的變化要平緩的情形,圖11(a)、11(b)和11(c)分別給出了例1~例3的真解函數(shù)u在截面y=0上的曲線.
上述算例中,方程(1)的右端函數(shù)f均通過(guò)將相應(yīng)的u代入式(1)后計(jì)算得到.
下面針對(duì)上述算例考察混合五點(diǎn)格式和SFVE格式的逼近性問(wèn)題.
首先考察混合五點(diǎn)格式.由于算例的真解函數(shù)u只與變量x有關(guān),此時(shí)細(xì)化插值算子P1可簡(jiǎn)化為
為了進(jìn)行對(duì)比,我們還構(gòu)造了如下兩個(gè)一維細(xì)化插值算子1)細(xì)化插值算子P^1
圖11 例1~例3的真解函數(shù)u在截面y=0上的曲線Fig.11 Curves of true solutions u at section y=0 for Examples 1-3
注意到,細(xì)化插值算子P^1具有一階代數(shù)精度,且其權(quán)系數(shù)保正;細(xì)化插值算子P2具有二階代數(shù)精度,但其權(quán)系數(shù)不能保正.
在本文數(shù)值實(shí)驗(yàn)中,離散系統(tǒng)的求解均采用AMG-CG方法,迭代控制精度取10-8.例1~例3的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別列在表1~表3中.
表1 例1的逼近性比較Table 1 Approximation comparison for Examp le 1
表2 例2的逼近性比較Table 2 Approximation comparison for Examp le 2
表3 例3的逼近性比較Table 3 Approximation comparison for Examp le 3
由表1~表3,可得如下結(jié)論
1)針對(duì)例1,插值公式P1、和P2均可使得關(guān)系式(17)成立,且對(duì)應(yīng)的‖eH,h‖w更接近‖eh‖w.另外,需要指出的是,由于u的特殊性(在∪Ωμ,δ上為常數(shù)),插值公式P0可使得‖eH,h‖w<‖eh‖w.
2)針對(duì)例2,插值公式P0對(duì)應(yīng)的數(shù)值解沒(méi)有逼近性,其原因是u在∪Ωμ,δ不屬于插值公式P0所能重構(gòu)的函數(shù)類,而插值公式P1和P2均可以使得關(guān)系式(17)成立,且對(duì)應(yīng)的‖eH,h‖w更接近‖eh‖w.
3)針對(duì)例3,插值公式P0、P1、P^1和P2均不能使得關(guān)系式(17)成立,但值得注意的是,P1、和P2均有一定的逼近性,其中P2的逼近性最好.
定義稱函數(shù)集合V為插值算子P的可重構(gòu)函數(shù)類,是指對(duì)?u∈V,有Pu=u.
下面我們對(duì)上述結(jié)論3做一些分析評(píng)論.我們認(rèn)為導(dǎo)致關(guān)系式(17)不成立主要原因有:①由于P1和只有一階代數(shù)精度,因此它對(duì)二次多項(xiàng)式不能精確成立;②插值公式P2,雖然具有二階代數(shù)精度,但由于其插值權(quán)系數(shù)中有負(fù)值,因此不能保證極值原理成立.
綜上可知,對(duì)于混合格式,為使得關(guān)系式(17)成立(對(duì)充分小的h),網(wǎng)格加密準(zhǔn)則和細(xì)化插值算子應(yīng)遵循如下逼近性條件
條件1給定插值算子,加密區(qū)域Ωμ,δ應(yīng)該盡可能覆蓋那些其數(shù)值解不屬于該插值算子重構(gòu)函數(shù)類的區(qū)域.
條件2細(xì)化插值算子中的權(quán)系數(shù)盡可能保正.
梯度檢測(cè)是實(shí)際應(yīng)用中最常用的加密準(zhǔn)則之一,該準(zhǔn)則在數(shù)值解梯度大的區(qū)域加密.為了盡可能滿足條件1,通常的策略是在實(shí)際加密區(qū)域的邊界設(shè)置預(yù)警區(qū)寬度,基于預(yù)警區(qū)寬度,將實(shí)際加密的區(qū)域擴(kuò)大,使粗細(xì)界面向更光滑區(qū)域偏移,在一定程度上緩解條件1的限制.
接著我們考察SFVE格式的逼近性,表4給出了相應(yīng)的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果.
表4 例1~例3的逼近性Table 4 Approximation comparisons for Exam ple 1-3
從上表可見(jiàn),對(duì)于例1~例3,均有式(17)成立.由此可知,與SAMR網(wǎng)格上的混合格式相比,新格式對(duì)數(shù)值解的逼近性更好,對(duì)加密區(qū)域及粗細(xì)界面附近數(shù)值解變化程度的敏感性更弱.
本節(jié)針對(duì)基于SAMR網(wǎng)格的離散系統(tǒng)(16),設(shè)計(jì)并分析一種兩層網(wǎng)格(TL)法.
3.1 兩層網(wǎng)格法
算法1給出了求解(16)的TL算法中從第k步迭代向量uk到第k+1步迭代向量uk+1的步驟.
算法1 TL法
1)前磨光:以u(píng)k,0: =uk為初值,按公式
作m1次迭代得到uk,m1,這里S取為點(diǎn)Gauss-Seidel迭代矩陣(算子).
2)粗網(wǎng)格校正
a)求解粗水平方程(設(shè)R和P分別為限制和插值矩陣)
其中Ac= RAH,hP,rc= Rr,r= fH,h-AH,huk,m1.
b)提升并校正:uk,c= uk,m1+Pec.
3)后磨光:以u(píng)k,c為初值,按公式(18)作m2次迭代,得到uk+1.
目前,關(guān)于算法1中的限制算子R和插值算子P的選取有許多,下面給出一種常見(jiàn)的簡(jiǎn)單插值公式,由于在粗節(jié)點(diǎn)上采用恒等插值,所以只需給出在細(xì)節(jié)點(diǎn)處的插值公式.為此考慮加密區(qū)域中的某個(gè)粗單元及其所含的4個(gè)細(xì)單元(見(jiàn)圖12),這里記粗單元的4個(gè)頂點(diǎn)在粗網(wǎng)格下的編號(hào)為ik(k=1,3,7,9),其余在細(xì)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的編號(hào)為ik(k=2,4,5,6,8),在這些細(xì)節(jié)點(diǎn)上采用如下插值公式
圖12 加密區(qū)的粗單元及相應(yīng)的細(xì)單元Fig.12 Coarse element of refine domain and its refinement
取Galerkin型限制算子R=PT,這時(shí)容易驗(yàn)證粗化矩陣Ac=RAH,hP為九帶狀矩陣.
下面針對(duì)第2.2節(jié)中的三個(gè)算例的SFVE格式所對(duì)應(yīng)的線性代數(shù)系統(tǒng),給出基于上述R和P的TL法的數(shù)值實(shí)驗(yàn),其中迭代終止準(zhǔn)則為‖rk‖≤10-8‖r0‖(rk為第k個(gè)迭代步的殘量),調(diào)用1次V-Cycle求解式(19),前后磨光次數(shù)m1=m2=1且僅對(duì)加密網(wǎng)格中的自由度進(jìn)行磨光.
從表5可見(jiàn),TL法的迭代次數(shù)不依賴于網(wǎng)格規(guī)模,即該算法是穩(wěn)健的.
下面針對(duì)m1=0且m2=1的情形,給出上述TL法的收斂性分析.
表5 TL法求解SFVE格式的迭代次數(shù)Table 5 Iteration numbers of TL method for SFVE scheme
3.2 收斂性分析
不妨考慮常系數(shù)定常擴(kuò)散問(wèn)題(1),其中κ1=κ2=λ=1,并設(shè)粗網(wǎng)格剖分步長(zhǎng)H<1,為了給出TL法的收斂性分析,先給出一些預(yù)備知識(shí).
記n1和n2分別為SAMR網(wǎng)格ThH和粗網(wǎng)格TH的節(jié)點(diǎn)數(shù),設(shè)A1=AH,h=(a1ij)n1×n1,D1= diag(A1).由單元?jiǎng)偠染仃嚨墓剑?3)易知AH,h是對(duì)稱正定的.如果對(duì)ThH中節(jié)點(diǎn)按“先細(xì)節(jié)點(diǎn)后粗節(jié)點(diǎn)”進(jìn)行排序,則A1和P可寫(xiě)為如下分塊形式
其中,磨光算子S =I1-B1-1A1,粗網(wǎng)格校正算子K1,2=I1-PA2-1PTA1,這里I1為恒等算子,粗網(wǎng)格算子A2=PTA1P,B1=D1-L1為A1的下三角陣.
由于A1對(duì)稱正定,因此利用一般代數(shù)兩層網(wǎng)格法的收斂性理論(見(jiàn)文[23]中的定理4.1),有如下收斂性引理.
引理1設(shè)e1=(eF,eC) 為R 中的任意向量,σ和 是與e1無(wú)關(guān)的正數(shù)且 ≥σ.若算子S滿足性質(zhì)
使得(29)的第二個(gè)不等式成立.
綜上所述,我們就得到了關(guān)于TL算法的一致收斂性定理.
定理1.算法1的迭代矩陣M1,2滿足如下估計(jì)式
其中 和σ均為與H無(wú)關(guān)的正常數(shù)且 ≥σ.
針對(duì)一類二維定常擴(kuò)散問(wèn)題,討論SAMR網(wǎng)格混合離散格式的逼近性和一種TL法.首先,通過(guò)對(duì)典型算例的測(cè)試和分析,揭示了數(shù)值解的逼近性與解函數(shù)在粗細(xì)界面附近的性態(tài)以及插值算子精度之間的關(guān)系,并基于此給出了兩個(gè)逼近性條件.接著,為了消除SAMR網(wǎng)格中非協(xié)調(diào)單元對(duì)離散格式逼近性的影響,我們引入一種協(xié)調(diào)的SAMR混合網(wǎng)格,并設(shè)計(jì)了相應(yīng)的SFVE格式.由于SFVE格式具有一定的變分背景,且在粗細(xì)界面附近單元上構(gòu)造離散格式時(shí)不涉及插值公式,因而具有更好的普適性,并對(duì)解函數(shù)在粗細(xì)界面附近的變化劇烈程度的敏感性更弱.最后,針對(duì)SAMR混合網(wǎng)格SFVE格式離散線性系統(tǒng),構(gòu)造了一種兩層網(wǎng)格算法,并給出了一致收斂性證明.
特別需要指出的是,通過(guò)在局部(粗細(xì)界面附近)引入非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格 (三角形),本文提出的SAMR混合網(wǎng)格在整體上保持了結(jié)構(gòu)網(wǎng)格性質(zhì).因此,相應(yīng)的離散格式和兩層網(wǎng)格算法均保持了整體的結(jié)構(gòu)性,可方便地集成到現(xiàn)有SAMR支撐軟件框架,如JASMIN和SAMRAI等.在此基礎(chǔ)上,現(xiàn)有的SAMR網(wǎng)格應(yīng)用只需進(jìn)行局部修改.
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Approximation and Two-level Algorithm of Finite Volume Schemes for Diffusion Equations with Structured AMR
SHU Shi1,YUE Xiaoqiang1,ZHOU Zhiyang1,XU Xiaowen2
(1.School ofMathematics and Computational Science,Xiangtan University,Hunan 411105,China;2.Institute of Applied Physics and Computational Mathematics,Beijing 100094,China)
We analyze approximation and propose a two-level algorithm for finite volume schemes of diffusion equations with structured adaptivemesh refinement.First of all,a typically conservative finite volume scheme was discussed,along with criterion for refining and coarsening interpolation operator.Secondly,non-conforming elements around coarse-fine interface were eliminated by introducing auxiliary triangle elements.A symmetric finite volume element(SFVE)schemewas designed.And further analysis showed the scheme has better approximation.It weakens restrictions.Finally,a two-level algorithm was constructed for SFVE.Theoretical analysis and numerical experiments demonstrate uniform convergence of the algorithm.
adaptivemesh refinement(AMR);diffusion equations;finite volume schemes;approximation;two-level algorithm
date:2013-08-11;Revised date:2013-12-02
O241.6; TP338.6
A
1001-246X(2014)04-0390-13
2013-08-11;
2013-12-02
國(guó)家自然科學(xué)基金(10935003,61033009,91130002),973項(xiàng)目(2011CB309702),湖南省研究生科研創(chuàng)新項(xiàng)目(CX2013B255)及高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金(20124301110003)資助項(xiàng)目
舒適(1962-),男,湖南,博士,教授,博導(dǎo),從事偏微分方程數(shù)值解和多重網(wǎng)格算法研究,E-mail:shushi@xtu.edu.cn
*通訊作者:E-mail:xwxu@iapcm.ac.cn