舒 適， 岳孝強(qiáng)， 周志陽(yáng)， 徐小文

SAMR網(wǎng)格上擴(kuò)散方程有限體格式的逼近性與兩層網(wǎng)格算法

舒 適1， 岳孝強(qiáng)1， 周志陽(yáng)1， 徐小文2，*

（1.湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南湘潭 411105；2.北京應(yīng)用物理與計(jì)算數(shù)學(xué)研究所，北京 100094）

針對(duì)結(jié)構(gòu)自適應(yīng)加密網(wǎng)格（SAMR）上擴(kuò)散方程的求解，分析幾種有限體格式的逼近性，同時(shí)設(shè)計(jì)和分析一種兩層網(wǎng)格算法.首先，討論一種常見(jiàn)的守恒型有限體格式，并給出網(wǎng)格加密區(qū)域和細(xì)化／粗化插值算子的條件；接著，通過(guò)在粗細(xì)界面附近引入輔助三角形單元，消除粗細(xì)界面處的非協(xié)調(diào)單元，設(shè)計(jì)了一種保對(duì)稱有限體元（SFVE）格式，分析表明，該格式具有更好的逼近性，且對(duì)網(wǎng)格加密區(qū)域和插值算子的限制更弱；最后，為SFVE格式構(gòu)造一種兩層網(wǎng)格（TL）算法，理論分析和數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明該算法的一致收斂性.

自適應(yīng)網(wǎng)格加密（AMR）；擴(kuò)散方程；有限體格式；逼近性；兩層網(wǎng)格算法

0 引言與模型問(wèn)題

在很多實(shí)際應(yīng)用的數(shù)值模擬中，物理現(xiàn)象通常具有局部性，如激波、物質(zhì)界面、能量傳播前沿等通常出現(xiàn)在局部區(qū)域.局部自適應(yīng)網(wǎng)格加密技術(shù)（AMR）廣泛應(yīng)用于對(duì)這類問(wèn)題的求解.例如，由 Babuska和Rheinboldt提出的基于局部加密技術(shù)的自適應(yīng)有限元（AFEM）方法［1］已成為有限元計(jì)算中最有效的模擬手段之一.本文的背景主要來(lái)源于另外一種面向結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的局部加密自適應(yīng)計(jì)算（SAMR），該類自適應(yīng)計(jì)算最初由Berger等人提出，用于在流體力學(xué)計(jì)算中求解雙曲型方程［2－4］.在SAMR自適應(yīng)計(jì)算中，離散網(wǎng)格由多個(gè)不同分辨率的網(wǎng)格層嵌套而成，每個(gè)網(wǎng)格層是一個(gè)均勻結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，其中最粗網(wǎng)格層覆蓋整個(gè)計(jì)算區(qū)域，細(xì)網(wǎng)格層基于數(shù)值計(jì)算誤差估計(jì)原理和自適應(yīng)網(wǎng)格加密技術(shù)，在相鄰粗網(wǎng)格的局部區(qū)域加密而成，用于刻畫(huà)物理現(xiàn)象的局部特征.在數(shù)值模擬過(guò)程中，物理現(xiàn)象的局部特征可能隨時(shí)間的發(fā)展而移動(dòng)，細(xì)網(wǎng)格層將被動(dòng)態(tài)地刪除和創(chuàng)建.圖1給出了一個(gè)包含三個(gè)網(wǎng)格層的二維SAMR網(wǎng)格的例子.

圖1 三層結(jié)構(gòu)網(wǎng)格嵌套而成的二維SAMR網(wǎng)格Fig.1 SAMR mesh with three levels for 2D example

由于SAMR網(wǎng)格僅在局部區(qū)域加密，同時(shí)保持了與全局一致加密情形具有相同分辨率，因此可大幅度地減少網(wǎng)格規(guī)模，節(jié)省計(jì)算量和計(jì)算資源.目前，SAMR自適應(yīng)計(jì)算已經(jīng)廣泛應(yīng)用于輻射流體力學(xué) 、天體物理［10－14］等實(shí)際問(wèn)題的數(shù)值模擬中.并且，基于SAMR自適應(yīng)計(jì)算的應(yīng)用軟件支撐框架也得到快速發(fā)展［15－16］.

對(duì)于流體力學(xué)方程組的顯式離散格式，Berger等人提出的基于細(xì)化模式的時(shí)間積分相對(duì)成熟［2－4］.在該模式中，時(shí)間積分從最粗到最細(xì)網(wǎng)格層逐層進(jìn)行，相對(duì)于粗網(wǎng)格層的一個(gè)時(shí)間步，細(xì)網(wǎng)格層基于粗網(wǎng)格層提供的邊界條件，積分若干個(gè)時(shí)間步.對(duì)于擴(kuò)散方程的隱式離散格式，通常采用組合模式進(jìn)行時(shí)間積分［17－18］.在組合模式中，所有網(wǎng)格層組合在一起形成組合網(wǎng)格［17］，空間離散和時(shí)間積分均在組合網(wǎng)格上進(jìn)行，此時(shí)，所有網(wǎng)格層具有相同的時(shí)間步長(zhǎng).多物理耦合問(wèn)題的數(shù)值模擬和大規(guī)模并行計(jì)算表明，組合模式具有很強(qiáng)的局限性，因此，近年來(lái)也發(fā)展了求解擴(kuò)散方程的細(xì)化模式隱式時(shí)間積分算法［5，9，19］.

給定SAMR網(wǎng)格，無(wú)論采用細(xì)化模式還是組合模式，擴(kuò)散方程的求解主要涉及兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題：離散格式的構(gòu)造和離散代數(shù)系統(tǒng)的求解.對(duì)于細(xì)化模式，離散格式只需針對(duì)單層均勻網(wǎng)格進(jìn)行設(shè)計(jì)，但需要基于粗細(xì)界面處的細(xì)化插值（為細(xì)網(wǎng)格層提供邊界條件）和加密區(qū)域的粗化插值（為粗網(wǎng)格層提供校正量）在網(wǎng)格層之間進(jìn)行多層迭代，直到收斂［9］.對(duì)于組合模式，離散格式于組合網(wǎng)格需要處理粗細(xì)界面的“一對(duì)多”非協(xié)調(diào)單元［17］.對(duì)非協(xié)調(diào)單元的離散格式，本質(zhì)上也可視為在粗細(xì)界面處通過(guò)引入細(xì)化插值和粗化插值進(jìn)行構(gòu)造.因此，在多層迭代收斂的前提下，細(xì)化模式與組合模式在離散格式層面是等價(jià)的.簡(jiǎn)單起見(jiàn)，本文僅針對(duì)組合模式.

由于本文的討論僅涉及到SAMR網(wǎng)格上的空間離散格式，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，考慮如下二維定常擴(kuò)散問(wèn)題

其中n為?Ω的單位外法向量，a和b均為正常數(shù)，κ＝diag（κ1，κ2），這里κ1、κ2、λ、f和g均為已知的連續(xù)函數(shù)，且 κ1、 κ2、 λ ＞0．

1 SAMR網(wǎng)格上的有限體格式

圖2 矩形網(wǎng)格Qh和剖分單元Ωi，jFig.2 Rectangularmesh Qhand cellΩi，j

1.1 混合五點(diǎn)格式

設(shè)Qh為對(duì)Ω作nx×ny等距剖分得到的矩形網(wǎng)格（如圖2所示），其沿x和y方向的剖分步長(zhǎng)分別為hx＝a／nx和hy＝b／ny，h＝max（hx，hy）為Qh的尺寸．記剖分單元Ωi，j＝（xi－h(huán)x／2，xi＋hx／2）×（yj－h(huán)y／2，yj＋hy／2），其中xi＝（i－1／2）hx，yj＝（j－1／2）hy，i＝1，2，…，nx，j＝1，2，…，ny．若?Ωi，j∩?Ω ＝φ，則稱Ωi，j為內(nèi)部單元，否則稱為邊界單元.

設(shè)自由度定義在網(wǎng)格單元中心，采用標(biāo)準(zhǔn)的守恒型有限體方法進(jìn)行離散，可得到五點(diǎn)格式.具體地，內(nèi)部單元Ωi，j上的五點(diǎn)格式為

其中

邊界單元Ωi，j上的離散格式，需要基于具體的物理邊界條件對(duì)公式（2）作適當(dāng)修正.

下面以兩層SAMR網(wǎng)格為例討論相應(yīng)的離散格式.不失一般性，考慮區(qū)域Ω＝Ω1∪Ω2由兩個(gè)子區(qū)域組成（如圖3所示），其中Ω1＝（μ，a）×（0，b），Ω2＝（0，μ）×（0，b）．采用矩形均勻網(wǎng)格，粗網(wǎng)格的尺寸為H，加密區(qū)域?yàn)棣?，網(wǎng)格加密的細(xì)化率為2，即Ω1的網(wǎng)格尺寸為h＝H／2．由此可得如圖4所示的兩層SAMR網(wǎng)格QhH，該網(wǎng)格包含H和h兩種尺寸的單元，因此它是一種組合網(wǎng)格（composite grid），其中粗、細(xì)網(wǎng)格單元交界的網(wǎng)格線（對(duì)應(yīng)x＝μ）稱為粗細(xì)界面Γ．

圖3 Ω的一個(gè)分劃Fig.3 A partition ofΩ

圖4 SAMR網(wǎng)格QhH和粗細(xì)界面ΓFig.4 SAMR mesh QhHand coarse-fine interfaceΓ

1.1.1 細(xì)化插值算子

圖5 編號(hào)為p和q的代表單元示意圖Fig.5 Illustration for typical cells numbered p and q

1.1.2 粗化插值算子

考慮如圖6所示的Ω1中的某個(gè)粗單元，設(shè)其編號(hào)為i0，該單元一致加密后所得四個(gè)細(xì)單元的編號(hào)分別為il，l＝1，2，3，4．一個(gè)最常用的粗化插值算子為

利用上述細(xì)化和粗化插值算子，就可以為非協(xié)調(diào)單元建立離散格式.下面與粗細(xì)界面相鄰的一個(gè)粗網(wǎng)格非協(xié)調(diào)單元i0和一個(gè)細(xì)網(wǎng)格非協(xié)調(diào)單元j0為例（見(jiàn)圖7），分別給出相應(yīng)的離散格式.

圖6 粗化插值算子模板圖Fig.6 Illustration for a template of coarsening interpolation operator

圖7 代表單元i0和j0Fig.7 Typical cells i0and j0

由式（10）和（12）可知，SAMR網(wǎng)格中關(guān)于非協(xié)調(diào)單元上的離散格式模板不同于協(xié)調(diào)單元的五點(diǎn)格式.粗網(wǎng)格非協(xié)調(diào)點(diǎn)通常為八點(diǎn)格式（10），而細(xì)網(wǎng)格非協(xié)調(diào)點(diǎn)的格式模板與具體細(xì)化插值算子相關(guān)，當(dāng)細(xì)化插值算子采用P1公式時(shí)，細(xì)網(wǎng)格非協(xié)調(diào)單元為九點(diǎn)格式（12）；當(dāng)采用P0公式時(shí)，則退化為五點(diǎn)格式.一般地，對(duì)于細(xì)化率大于2的情形，非協(xié)調(diào)單元的格式模板更復(fù)雜，格式寬度更大.為方便起見(jiàn)，本文將SAMR網(wǎng)格上包含多種格式模板的離散格式稱為混合五點(diǎn)格式.

1.2 SFVE格式

對(duì)于SAMR網(wǎng)格，非協(xié)調(diào)單元將影響離散格式的逼近性，對(duì)插值算子和加密準(zhǔn)則有較大的限制.本節(jié)我們將通過(guò)在粗細(xì)界面附近引入輔助三角形單元，消除粗細(xì)界面處的非協(xié)調(diào)單元，進(jìn)而設(shè)計(jì)相應(yīng)的SFVE格式.下面給出該格式的構(gòu)造過(guò)程.

不妨考慮圖4所示的SAMR網(wǎng)格，為了消除粗細(xì)界面Γ上的非協(xié)調(diào)單元，我們對(duì)Γ左側(cè)的粗網(wǎng)格四邊形單元，通過(guò)引入輔助三角形單元，可得到一種協(xié)調(diào)的SAMR混合網(wǎng)格，如圖8（a）所示.

圖8 協(xié)調(diào)的SAMR混合網(wǎng)格ThH及其代表單元示意圖Fig.8 Illustration for conforming SAMR mixed mesh ThHand its typical cell

與已有的協(xié)調(diào)非混合網(wǎng)格（即僅含一種類型的單元）上SFVE格式 的構(gòu)造不同，對(duì)于上述SAMR混合網(wǎng)格，我們需對(duì)不同類型的單元（分別見(jiàn)圖8（b）和（c）），給出相應(yīng)的單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧d荷向量.

關(guān)于圖8（b）所示的四邊形單元，其單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧d荷向量的計(jì)算公式可見(jiàn)文［20］（在后面的數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，取該文的格式I）；對(duì)圖8（c）所示的單元（記單元編號(hào)為k），經(jīng)過(guò)類似的推導(dǎo)可得到相應(yīng)的單元?jiǎng)偠染仃嚕╝klm）5×5和單元載荷向量（fkl）5×1， 其中

上面我們雖然是針對(duì)SAMR網(wǎng)格的細(xì)化率為2（即粗單元落在界面上的邊僅含一個(gè)懸點(diǎn)）的特殊情形進(jìn)行討論的，但該處理方法可以應(yīng)用到細(xì)化率大于2的情形，其基本思想是通過(guò)引入過(guò)渡區(qū)，將該情形的處理轉(zhuǎn)化為若干個(gè)細(xì)化率為2的情形進(jìn)行處理.例如對(duì)于細(xì)化率為4的情形（見(jiàn)圖9（a）），圖9（b）通過(guò)引入過(guò)渡區(qū)（即對(duì)界面附近的粗單元加密一次）將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)細(xì)化率為2的情形進(jìn)行處理.

圖9 細(xì)化率為4時(shí)的SAMR網(wǎng)格的協(xié)調(diào)化Fig.9 Conformance for SAMR mesh with 4 as refinement rate

對(duì)ThH中所有單元的單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧d荷向量進(jìn)行集成，即可得到求解問(wèn)題（1）的SFVE格式所對(duì)應(yīng)的線性系統(tǒng)的系數(shù)矩陣AH，h和右端向量 fH，h．

2 逼近性分析

2.1 逼近問(wèn)題的提出

記方程（1）在粗網(wǎng)格及加密網(wǎng)格下的離散系統(tǒng)分別為

下面討論我們給出的混合五點(diǎn)格式和SFVE格式的逼近性問(wèn)題，即在什么條件下式（17）成立.

2.2 逼近性分析及數(shù)值實(shí)驗(yàn)

圖10 區(qū)域Ωμ，δ、Ω~1和Ω~2示意圖Fig.10 Illustration for domainsΩμ，δ，Ω~1andΩ~2

首先給出幾個(gè)典型算例.將求解域Ω中的參數(shù)a和b均取為1，定義Ωμ，δ＝（c，d）×（0，1）表示粗細(xì)界面x＝μ附近的一個(gè)δ鄰域，這里 c＝ μ － δ，d ＝ μ ＋ δ，并記 Ω~1＝ Ω1＼Ωμ，δ，Ω~2＝Ω2＼Ωμ，δ，如圖10所示.

在方程（1）中取κ1＝κ2＝λ ＝1，并取μ＝1／4，δ＝1／8（此時(shí)相應(yīng)的c＝1／8，d＝3／8），可構(gòu)造如下三個(gè)算例.

例1 在模型方程（1）中取真解為

例2 在模型方程（1）中取真解為

例1～例3的真解函數(shù)u在Ω~2∪Ωμ，δ分別取為1、x和x2，在Ω~1均取為高次多項(xiàng)式．這三個(gè)例子表現(xiàn)的是真解函數(shù)u在Ω~2∪Ωμ，δ上的變化比在Ω~1上的變化要平緩的情形，圖11（a）、11（b）和11（c）分別給出了例1～例3的真解函數(shù)u在截面y＝0上的曲線.

上述算例中，方程（1）的右端函數(shù)f均通過(guò)將相應(yīng)的u代入式（1）后計(jì)算得到.

下面針對(duì)上述算例考察混合五點(diǎn)格式和SFVE格式的逼近性問(wèn)題.

首先考察混合五點(diǎn)格式.由于算例的真解函數(shù)u只與變量x有關(guān)，此時(shí)細(xì)化插值算子P1可簡(jiǎn)化為

為了進(jìn)行對(duì)比，我們還構(gòu)造了如下兩個(gè)一維細(xì)化插值算子1）細(xì)化插值算子P＾1

圖11 例1～例3的真解函數(shù)u在截面y＝0上的曲線Fig.11 Curves of true solutions u at section y＝0 for Examples 1－3

注意到，細(xì)化插值算子P＾1具有一階代數(shù)精度，且其權(quán)系數(shù)保正；細(xì)化插值算子P2具有二階代數(shù)精度，但其權(quán)系數(shù)不能保正.

在本文數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，離散系統(tǒng)的求解均采用AMG-CG方法，迭代控制精度取10－8.例1～例3的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別列在表1～表3中.

表1 例1的逼近性比較Table 1 Approximation comparison for Examp le 1

表2 例2的逼近性比較Table 2 Approximation comparison for Examp le 2

表3 例3的逼近性比較Table 3 Approximation comparison for Examp le 3

由表1～表3，可得如下結(jié)論

1）針對(duì)例1，插值公式P1、和P2均可使得關(guān)系式（17）成立，且對(duì)應(yīng)的‖eH，h‖w更接近‖eh‖w．另外，需要指出的是，由于u的特殊性（在∪Ωμ，δ上為常數(shù)），插值公式P0可使得‖eH，h‖w＜‖eh‖w．

2）針對(duì)例2，插值公式P0對(duì)應(yīng)的數(shù)值解沒(méi)有逼近性，其原因是u在∪Ωμ，δ不屬于插值公式P0所能重構(gòu)的函數(shù)類，而插值公式P1和P2均可以使得關(guān)系式（17）成立，且對(duì)應(yīng)的‖eH，h‖w更接近‖eh‖w．

3）針對(duì)例3，插值公式P0、P1、P＾1和P2均不能使得關(guān)系式（17）成立，但值得注意的是，P1、和P2均有一定的逼近性，其中P2的逼近性最好.

定義稱函數(shù)集合V為插值算子P的可重構(gòu)函數(shù)類，是指對(duì)?u∈V，有Pu＝u．

下面我們對(duì)上述結(jié)論3做一些分析評(píng)論.我們認(rèn)為導(dǎo)致關(guān)系式（17）不成立主要原因有：①由于P1和只有一階代數(shù)精度，因此它對(duì)二次多項(xiàng)式不能精確成立；②插值公式P2，雖然具有二階代數(shù)精度，但由于其插值權(quán)系數(shù)中有負(fù)值，因此不能保證極值原理成立.

綜上可知，對(duì)于混合格式，為使得關(guān)系式（17）成立（對(duì)充分小的h），網(wǎng)格加密準(zhǔn)則和細(xì)化插值算子應(yīng)遵循如下逼近性條件

條件1給定插值算子，加密區(qū)域Ωμ，δ應(yīng)該盡可能覆蓋那些其數(shù)值解不屬于該插值算子重構(gòu)函數(shù)類的區(qū)域.

條件2細(xì)化插值算子中的權(quán)系數(shù)盡可能保正.

梯度檢測(cè)是實(shí)際應(yīng)用中最常用的加密準(zhǔn)則之一，該準(zhǔn)則在數(shù)值解梯度大的區(qū)域加密.為了盡可能滿足條件1，通常的策略是在實(shí)際加密區(qū)域的邊界設(shè)置預(yù)警區(qū)寬度，基于預(yù)警區(qū)寬度，將實(shí)際加密的區(qū)域擴(kuò)大，使粗細(xì)界面向更光滑區(qū)域偏移，在一定程度上緩解條件1的限制.

接著我們考察SFVE格式的逼近性，表4給出了相應(yīng)的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

表4 例1～例3的逼近性Table 4 Approximation comparisons for Exam ple 1－3

從上表可見(jiàn)，對(duì)于例1～例3，均有式（17）成立.由此可知，與SAMR網(wǎng)格上的混合格式相比，新格式對(duì)數(shù)值解的逼近性更好，對(duì)加密區(qū)域及粗細(xì)界面附近數(shù)值解變化程度的敏感性更弱.

3 兩層網(wǎng)格法及收斂性分析

本節(jié)針對(duì)基于SAMR網(wǎng)格的離散系統(tǒng)（16），設(shè)計(jì)并分析一種兩層網(wǎng)格（TL）法.

3.1 兩層網(wǎng)格法

算法1給出了求解（16）的TL算法中從第k步迭代向量uk到第k＋1步迭代向量uk＋1的步驟.

算法1 TL法

1）前磨光：以u(píng)k，0： ＝uk為初值，按公式

作m1次迭代得到uk，m1，這里S取為點(diǎn)Gauss-Seidel迭代矩陣（算子）.

2）粗網(wǎng)格校正

a）求解粗水平方程（設(shè)R和P分別為限制和插值矩陣）

其中Ac＝ RAH，hP，rc＝ Rr，r＝ fH，h－AH，huk，m1．

b）提升并校正：uk，c＝ uk，m1＋Pec．

3）后磨光：以u(píng)k，c為初值，按公式（18）作m2次迭代，得到uk＋1．

目前，關(guān)于算法1中的限制算子R和插值算子P的選取有許多，下面給出一種常見(jiàn)的簡(jiǎn)單插值公式，由于在粗節(jié)點(diǎn)上采用恒等插值，所以只需給出在細(xì)節(jié)點(diǎn)處的插值公式.為此考慮加密區(qū)域中的某個(gè)粗單元及其所含的4個(gè)細(xì)單元（見(jiàn)圖12），這里記粗單元的4個(gè)頂點(diǎn)在粗網(wǎng)格下的編號(hào)為ik（k＝1，3，7，9），其余在細(xì)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的編號(hào)為ik（k＝2，4，5，6，8），在這些細(xì)節(jié)點(diǎn)上采用如下插值公式

圖12 加密區(qū)的粗單元及相應(yīng)的細(xì)單元Fig.12 Coarse element of refine domain and its refinement

取Galerkin型限制算子R＝PT，這時(shí)容易驗(yàn)證粗化矩陣Ac＝RAH，hP為九帶狀矩陣.

下面針對(duì)第2.2節(jié)中的三個(gè)算例的SFVE格式所對(duì)應(yīng)的線性代數(shù)系統(tǒng)，給出基于上述R和P的TL法的數(shù)值實(shí)驗(yàn)，其中迭代終止準(zhǔn)則為‖rk‖≤10－8‖r0‖（rk為第k個(gè)迭代步的殘量），調(diào)用1次V-Cycle求解式（19），前后磨光次數(shù)m1＝m2＝1且僅對(duì)加密網(wǎng)格中的自由度進(jìn)行磨光.

從表5可見(jiàn)，TL法的迭代次數(shù)不依賴于網(wǎng)格規(guī)模，即該算法是穩(wěn)健的.

下面針對(duì)m1＝0且m2＝1的情形，給出上述TL法的收斂性分析.

表5 TL法求解SFVE格式的迭代次數(shù)Table 5 Iteration numbers of TL method for SFVE scheme

3.2 收斂性分析

不妨考慮常系數(shù)定常擴(kuò)散問(wèn)題（1），其中κ1＝κ2＝λ＝1，并設(shè)粗網(wǎng)格剖分步長(zhǎng)H＜1，為了給出TL法的收斂性分析，先給出一些預(yù)備知識(shí).

記n1和n2分別為SAMR網(wǎng)格ThH和粗網(wǎng)格TH的節(jié)點(diǎn)數(shù)，設(shè)A1＝AH，h＝（a1ij）n1×n1，D1＝ diag（A1）．由單元?jiǎng)偠染仃嚨墓剑?3）易知AH，h是對(duì)稱正定的．如果對(duì)ThH中節(jié)點(diǎn)按“先細(xì)節(jié)點(diǎn)后粗節(jié)點(diǎn)”進(jìn)行排序，則A1和P可寫(xiě)為如下分塊形式

其中，磨光算子S ＝I1－B1－1A1，粗網(wǎng)格校正算子K1，2＝I1－PA2－1PTA1，這里I1為恒等算子，粗網(wǎng)格算子A2＝PTA1P，B1＝D1－L1為A1的下三角陣.

由于A1對(duì)稱正定，因此利用一般代數(shù)兩層網(wǎng)格法的收斂性理論（見(jiàn)文［23］中的定理4.1），有如下收斂性引理.

引理1設(shè)e1＝（eF，eC） 為R 中的任意向量，σ和 是與e1無(wú)關(guān)的正數(shù)且 ≥σ．若算子S滿足性質(zhì)

使得（29）的第二個(gè)不等式成立.

綜上所述，我們就得到了關(guān)于TL算法的一致收斂性定理.

定理1.算法1的迭代矩陣M1，2滿足如下估計(jì)式

其中 和σ均為與H無(wú)關(guān)的正常數(shù)且 ≥σ．

4 結(jié)論

針對(duì)一類二維定常擴(kuò)散問(wèn)題，討論SAMR網(wǎng)格混合離散格式的逼近性和一種TL法.首先，通過(guò)對(duì)典型算例的測(cè)試和分析，揭示了數(shù)值解的逼近性與解函數(shù)在粗細(xì)界面附近的性態(tài)以及插值算子精度之間的關(guān)系，并基于此給出了兩個(gè)逼近性條件.接著，為了消除SAMR網(wǎng)格中非協(xié)調(diào)單元對(duì)離散格式逼近性的影響，我們引入一種協(xié)調(diào)的SAMR混合網(wǎng)格，并設(shè)計(jì)了相應(yīng)的SFVE格式.由于SFVE格式具有一定的變分背景，且在粗細(xì)界面附近單元上構(gòu)造離散格式時(shí)不涉及插值公式，因而具有更好的普適性，并對(duì)解函數(shù)在粗細(xì)界面附近的變化劇烈程度的敏感性更弱.最后，針對(duì)SAMR混合網(wǎng)格SFVE格式離散線性系統(tǒng)，構(gòu)造了一種兩層網(wǎng)格算法，并給出了一致收斂性證明.

特別需要指出的是，通過(guò)在局部（粗細(xì)界面附近）引入非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格 （三角形），本文提出的SAMR混合網(wǎng)格在整體上保持了結(jié)構(gòu)網(wǎng)格性質(zhì).因此，相應(yīng)的離散格式和兩層網(wǎng)格算法均保持了整體的結(jié)構(gòu)性，可方便地集成到現(xiàn)有SAMR支撐軟件框架，如JASMIN和SAMRAI等.在此基礎(chǔ)上，現(xiàn)有的SAMR網(wǎng)格應(yīng)用只需進(jìn)行局部修改.

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Approximation and Two-level Algorithm of Finite Volume Schemes for Diffusion Equations with Structured AMR

SHU Shi1，YUE Xiaoqiang1，ZHOU Zhiyang1，XU Xiaowen2
（1.School ofMathematics and Computational Science，Xiangtan University，Hunan 411105，China；2.Institute of Applied Physics and Computational Mathematics，Beijing 100094，China）

We analyze approximation and propose a two-level algorithm for finite volume schemes of diffusion equations with structured adaptivemesh refinement.First of all，a typically conservative finite volume scheme was discussed，along with criterion for refining and coarsening interpolation operator.Secondly，non-conforming elements around coarse-fine interface were eliminated by introducing auxiliary triangle elements.A symmetric finite volume element（SFVE）schemewas designed.And further analysis showed the scheme has better approximation.It weakens restrictions.Finally，a two-level algorithm was constructed for SFVE.Theoretical analysis and numerical experiments demonstrate uniform convergence of the algorithm.

adaptivemesh refinement（AMR）；diffusion equations；finite volume schemes；approximation；two-level algorithm

date：2013－08－11；Revised date：2013－12－02

O241.6； TP338.6

A

1001-246X（2014）04-0390-13

2013－08－11；

2013－12－02

國(guó)家自然科學(xué)基金（10935003，61033009，91130002），973項(xiàng)目（2011CB309702），湖南省研究生科研創(chuàng)新項(xiàng)目（CX2013B255）及高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金（20124301110003）資助項(xiàng)目

舒適（1962－），男，湖南，博士，教授，博導(dǎo)，從事偏微分方程數(shù)值解和多重網(wǎng)格算法研究，E-mail：shushi＠xtu.edu.cn

*通訊作者：E-mail：xwxu＠iapcm.ac.cn