李再參，董 躍，師如華，蔣 杰

（云南省機(jī)電一體化應(yīng)用技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；云南省機(jī)械研究設(shè)計(jì)院；云南省先進(jìn)制造技術(shù)研究中心，云南 昆明 650031）

銑頭主軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的有限元分析

李再參，董 躍，師如華，蔣 杰

（云南省機(jī)電一體化應(yīng)用技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；云南省機(jī)械研究設(shè)計(jì)院；云南省先進(jìn)制造技術(shù)研究中心，云南 昆明 650031）

應(yīng)用有限元分析計(jì)算的方法，在產(chǎn)品設(shè)計(jì)階段對(duì)銑頭主軸系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)和頻率響應(yīng)分析，以校核主軸設(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)性能。通過制造后的實(shí)驗(yàn)測(cè)試，證明有限元分析方法中，合理的建模和計(jì)算參數(shù)的設(shè)定，對(duì)設(shè)計(jì)方案的動(dòng)力學(xué)特性評(píng)估有較好的準(zhǔn)確性。

模態(tài)；響應(yīng)分析； 主軸系統(tǒng)；動(dòng)態(tài)性能

0 引言

機(jī)床主軸系統(tǒng)是機(jī)床直接參與加工的重要部件，是機(jī)床主要的動(dòng)態(tài)薄弱環(huán)節(jié)，是構(gòu)成自激振動(dòng)的主要部件，因此其動(dòng)態(tài)特性對(duì)切削穩(wěn)定性和加工精度有很大的影響。為了提高產(chǎn)品的設(shè)計(jì)質(zhì)量，同時(shí)也是為了進(jìn)一步提高產(chǎn)品的性能，對(duì)機(jī)床的主軸系統(tǒng)進(jìn)行理論建模和仿真分析，研究其動(dòng)態(tài)特性，用以驗(yàn)證和優(yōu)化機(jī)床主軸系統(tǒng)設(shè)計(jì)性能是很有必要的。本文以某自動(dòng)大扭矩銑頭主軸系統(tǒng)研發(fā)為例，嘗試研究了采用彈簧阻尼單元來模擬軸承支承的有限元模型的建立方法，分別進(jìn)行了模態(tài)分析和頻率響應(yīng)分析，得到了主軸和主軸部件的動(dòng)態(tài)特性。通過有限元分析和機(jī)床性能試驗(yàn)，驗(yàn)證了所采用的有限元分析方法的可行性，為以后進(jìn)行類似的主軸部件有限元分析和設(shè)計(jì)優(yōu)化打下基礎(chǔ)。

1 模型的建立

1.1數(shù)學(xué)模型

研究機(jī)床主軸系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，首先要建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程。多自由度的動(dòng)力學(xué)微分方程可以應(yīng)用牛頓第二定律等來建立。根據(jù)達(dá)朗伯原理，只要引入相應(yīng)的慣性力，就可以將彈性體動(dòng)力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的靜力問題，即化為彈性體的平衡問題來求解，即有:

式中：[M]，[C]和[K]分別為總體質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；{x}和{F}分別為節(jié)點(diǎn)的位移和外力向量。

當(dāng)主軸受到靜態(tài)力作用時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程就不存在加速度和速度的項(xiàng)，因此很容易求得主軸的靜變形，主軸前端的靜撓度的計(jì)算只需要考慮外力向量即可。

主軸的固有特性分析是通過研究無阻尼的自由振動(dòng)，得到振動(dòng)系統(tǒng)的自然屬性，包括固有頻率和振型，忽略阻尼的影響。因此只需要將系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程中的阻尼矩陣和外力向量影響因素除去，就可以求得主軸的固有頻率和振型。即：外力向量{F}=0，阻尼矩陣[C]=0，方程變?yōu)椋?/p>

無阻尼系統(tǒng)在自由振動(dòng)時(shí)，結(jié)構(gòu)上各節(jié)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其位移為：

求導(dǎo)得：

式中：{A}—振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)向量。代入式中消去eiω0t， 整理得：

{A}非零解的條件，系數(shù)行列式應(yīng)滿足：det（[K]-ω02[M]）=0，其中，ω02為固有圓頻率。通過上式，可以求解圓頻率ω02，將代入ω02，可求出{A}。由于{A}和ω0都是振動(dòng)系統(tǒng)的固有屬性，表征著該系統(tǒng)的基本動(dòng)態(tài)特征，所以{A}稱為系統(tǒng)的特征向量，ω02為特征值。

頻率響應(yīng)分析是用來計(jì)算結(jié)構(gòu)在穩(wěn)態(tài)振動(dòng)激勵(lì)下響應(yīng)的方法。對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)下有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為：

對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，假定一個(gè)簡(jiǎn)諧形式的解：{x}={u（ω）}eiωt，（其中， {u（ω）}為復(fù)位移向量）。對(duì)此式求一階及二階導(dǎo)數(shù)得到：將上式帶入，簡(jiǎn)化得到：如果考慮阻尼或外載有相位角，則此表達(dá)式代表復(fù)系數(shù)方程系統(tǒng)。利用復(fù)數(shù)算法，對(duì)于每一個(gè)輸入激勵(lì)頻率的運(yùn)動(dòng)方程，可以像靜力問題類似的求解。

1.2 物理模型

大扭矩銑頭開發(fā)項(xiàng)目中主軸軸承采用FAG高精密球軸承兩支承結(jié)構(gòu)，前端為三個(gè)角接觸球軸承（兩個(gè)串聯(lián)后與一個(gè)背靠背），這種形式能承受徑向和軸向負(fù)荷，而且相對(duì)剛度大，同時(shí)可以承受傾覆力矩，非常適合于銑頭主軸。后端為兩個(gè)背靠背的角接觸球軸承，主軸運(yùn)轉(zhuǎn)發(fā)熱后膨脹,膨脹主軸帶著后端軸承沿軸向方向自由移動(dòng),釋放熱變形，減小了主軸的軸向受力。

采用MSC Patan有限元軟件對(duì)主軸系統(tǒng)建模，進(jìn)行前處理和后處理分析；MSC Nastran軟件進(jìn)行分析計(jì)算。其有限元模型如圖1所示。

在建立主軸軸承系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型時(shí)，軸承的動(dòng)態(tài)性能對(duì)主軸軸承系統(tǒng)的工作精度和抗振能力有極為顯著的影響，主軸部件軸承處的支承剛度和阻尼就成為最重要的參數(shù)之一，對(duì)于主軸軸承支承部分有限元模型的建立，采用在軸承位置圓周截面上建立彈簧和阻尼的多點(diǎn)約束（MPC）的方法。軸承的軸向和徑向剛度值和阻尼系數(shù)采用 FAG軸承手冊(cè)根據(jù)預(yù)緊程度計(jì)算得到。力學(xué)模型如圖2所示。

圖1 主軸有限元模型Fig.1 Finite element model of spindle

圖2 主軸軸承支承簡(jiǎn)化示意Fig.2 Schematic of the simplified spindle bearing

2 模態(tài)分析結(jié)果

模態(tài)分析的目的是要確定主軸系統(tǒng)中結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的振動(dòng)特性即固有頻率和振型，以盡可能避開外在施加的載頻率與結(jié)構(gòu)的固有頻率相同時(shí)，發(fā)生峰值響應(yīng)引起結(jié)構(gòu)的共振。采用Patran/Nastran軟件提供的Lanczos法對(duì)主軸進(jìn)行模態(tài)分析。通過計(jì)算得出，主軸部件的前四階固有頻率如表1所示。

表1 主軸部件的前四階固有頻率

從上面主軸和主軸系統(tǒng)模態(tài)分析結(jié)果 （相鄰的兩階頻率相近，視為重根，模態(tài)相互獨(dú)立且正交）?？梢钥闯觯褐鬏S一階固頻為97.3Hz，表現(xiàn)為軸的徑向振動(dòng)，主軸系統(tǒng)的二階、三階、四階振型均為軸向彎曲，各階固有頻率均大于97.3Hz，都遠(yuǎn)離主軸工作轉(zhuǎn)速在主軸最高轉(zhuǎn)速2000r/min的工作頻率（33Hz），從而主軸系統(tǒng)在此轉(zhuǎn)速以下發(fā)生共振的可能性不大，在工作狀況下不容易引起共振。

圖3 主軸二階固有頻率彎曲振型Fig.3 The bending vibration mode of second natural frequency

3 頻率響應(yīng)分析結(jié)果

頻率響應(yīng)分析是用于確定線性結(jié)構(gòu)在承受隨時(shí)間按正弦（簡(jiǎn)諧）規(guī)律變化的載荷時(shí)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的一種分析方法。分析的目的是計(jì)算結(jié)構(gòu)在多種頻率下的響應(yīng)并得到一些響應(yīng)值與頻率的曲線。該方法只計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)，不考慮結(jié)構(gòu)在激勵(lì)開始時(shí)的瞬態(tài)振動(dòng)。頻率響應(yīng)分析能預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)的持續(xù)動(dòng)力特性，驗(yàn)證設(shè)計(jì)是否能夠克服共振及其他受迫振動(dòng)引起的有害效果。將切削力的變化頻率范圍設(shè)定在1～1000Hz,主軸靠近切削點(diǎn)附近（大端端面）的節(jié)點(diǎn)上施加徑向切削力，節(jié)點(diǎn)的位移頻響曲線，如圖4所示。

從分析結(jié)果看出：主軸系統(tǒng)的變化頻率與主軸的固有頻率接近，在0～600Hz頻率范圍內(nèi)，在90Hz、200Hz、350Hz、510Hz處主軸切削點(diǎn)的徑向位移為最大，但其最大值都比較小，最大位移量?jī)H為1.2×10-5mm，表明主軸在這個(gè)頻率段有較好的動(dòng)剛度。因此，主軸系統(tǒng)響應(yīng)頻率同樣避開工作共振區(qū)域，保證了主軸系統(tǒng)的加工質(zhì)量和穩(wěn)定性。

圖4 有限元分析節(jié)點(diǎn)頻率響應(yīng)曲線Fig.4 The frequency response curve of element node

4 機(jī)床振動(dòng)性能試驗(yàn)與分析

試驗(yàn)使用振動(dòng)測(cè)試設(shè)備進(jìn)行測(cè)量。在進(jìn)行試驗(yàn)的過程中，是在主軸的前端裝夾一BT50專用銑刀測(cè)試刀柄，在其端部安裝激振頭施加激振信號(hào)，安裝阻抗頭來實(shí)現(xiàn)信號(hào)的獲取。施加激振力為10N，測(cè)量頻率范圍為10～1kHz。試驗(yàn)中采用穩(wěn)態(tài)正弦激振，激振信號(hào)由正弦信號(hào)發(fā)生器施加一個(gè)頻率可控的正弦激振力。在穩(wěn)態(tài)下測(cè)定響應(yīng)和激振力的幅值比和相位差。圖5為激振測(cè)量結(jié)果。

試驗(yàn)結(jié)果可知：一階頻率響應(yīng)為35hz，二階頻率響應(yīng)為80Hz，三階頻率響應(yīng)為537.5kHz，四階為760HZ,將該結(jié)果和有限元分析的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，誤差較小，從而也反應(yīng)出有限元頻率響應(yīng)分析能夠滿足工程設(shè)計(jì)的基本要求。由于是對(duì)整臺(tái)機(jī)床（XK2016）裝配后進(jìn)行的激振測(cè)量，因此機(jī)床整機(jī)的固有頻率特性都將在其振動(dòng)結(jié)果中有所體現(xiàn)，測(cè)量的結(jié)果可以理解為機(jī)床的各階模態(tài)在測(cè)量點(diǎn)的綜合反映，一階35Hz頻率應(yīng)是反映機(jī)床低階振頻的頻值。

圖5 主軸端部實(shí)測(cè)頻率響應(yīng)曲線Fig.5 The measured frequency response curve of spindle head

5 結(jié)語

有限元分析結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，說明有限元?jiǎng)討B(tài)性能分析技術(shù)可以應(yīng)用于類似主軸部件的分析。在軸承對(duì)主軸支承處采用沿圓周方向均勻布置的彈簧阻尼單元來實(shí)現(xiàn)對(duì)軸承支承的模擬，在Pantran/Nastran中通過多點(diǎn)約束實(shí)現(xiàn)。彈簧阻尼單元的彈性系數(shù)和阻尼系數(shù)可通過軸承使用手冊(cè)計(jì)算得到，也可通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行實(shí)際測(cè)算。為了進(jìn)一步提高有限元模型的精度，建議通過試驗(yàn)對(duì)關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，獲取更為精確的邊界條件參數(shù)，以提高有限元分析的準(zhǔn)確性。

[1]楊義勇，金德聞.機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2009.

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[3]廖伯瑜，周新民，尹志宏.現(xiàn)代機(jī)械動(dòng)力學(xué)及其工程應(yīng)用[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2003.

[4]高尚晗，等.機(jī)床主軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性研究進(jìn)展[J].振動(dòng)與沖擊，2007，6.

The Study of Milling Head Spindle System Based on FEA

LI Zai-Can，DONG Yue，SHI Ru-Hua，JIANG Jie

In product design stage of the milling head,the dynamic performance of spindle system include natural vibration frequency and frequency response was checked Using finite element analysis method.Through the experimental test after manufacture,proved that the finite element analysis method is useful and accuracy if the calculation parameter and the physic model is Appropriate.

normal modes；frequency response；dynamic performance；spindle system

TP391.9

：Adoi:10.3969/j.issn.1002-6673.2014.01.035

1002－6673（2014）01－096－03

2013－11－26

李再參（1971-），男，云南人，大學(xué)本科，高級(jí)工程師。研究方向：模具技術(shù)。已發(fā)表論文五篇；董躍（1960-），男，云南人，正高級(jí)工程師。