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        磁偶極子遠(yuǎn)場的嚴(yán)格數(shù)學(xué)處理

        2014-06-09 08:05:14劉國松
        關(guān)鍵詞:偶極矩磁偶極子載流

        劉 瑩,劉國松

        (長春工程學(xué)院理學(xué)院,長春130012)

        0 引言

        電偶極子和磁偶極子是介質(zhì)電磁屬性描述和研究的重要模型。相對而言,磁偶極子模型的處理和應(yīng)用遠(yuǎn)較電偶極子復(fù)雜,原因主要在于磁場的無(散度)源、有旋性。電、磁偶極模型在普通物理課程中均以典型例題的面目出現(xiàn)在教科書和教學(xué)過程中[1],卻沒有深入闡述其對于介質(zhì)電磁場研究的重要性,更談不上在介質(zhì)場處理中的應(yīng)用。

        由于介質(zhì)場對勢函數(shù)的貢獻(xiàn)歸根結(jié)底來源于電、磁偶極子,即分子偶極矩,而分子尺度在連續(xù)介質(zhì)理論中相對于連續(xù)介質(zhì)微元總可以認(rèn)定為充分小量,所以無論是電極化強度,還是磁化強度,都可以用大量偶極矩貢獻(xiàn)的宏觀平均描述,故而遠(yuǎn)場表達(dá)是很好的重要近似。

        對于磁偶極子遠(yuǎn)場的計算,眾多教科書中都有涉及[2]。通行的處理方法是將給定半徑的載流圓環(huán)置于歐氏空間的x-y平面且使其環(huán)心與坐標(biāo)原點重合,在z-x平面上選取任意充分遠(yuǎn)點,采取一階近似,得到遠(yuǎn)場表達(dá)式,再利用偶極子場關(guān)于z軸的對稱性,得到空間任意遠(yuǎn)點偶極場[3],最后一步推廣到磁偶極子位于空間任意位置、偶極矩空間指向任意情形下,距其充分遠(yuǎn)點磁矢勢的嚴(yán)格表達(dá)。這種方法雖然得到了可靠的結(jié)果,但是操作過程復(fù)雜,而且從數(shù)學(xué)上來說是不嚴(yán)格的。

        下文首先對通行處理做一簡要回顧,然后再介紹嚴(yán)格的處理過程。

        圖1 磁偶極子遠(yuǎn)場一般處理模型

        如圖1所示,選回路中心為球面坐標(biāo)的原點,有關(guān)源坐標(biāo)的物理量是帶撇的。在此情況下,可做某些近似計算??紤]體系具有軸對稱性,對稱軸為z坐標(biāo)軸,顯然磁矢勢的模與場點的角位置φ無關(guān),為了方便,在z-x平面內(nèi)選取任意遠(yuǎn)點進(jìn)行磁矢勢計算。在載流環(huán)上選取任意載流微元Idl′=Iadφ′eφ,其對場點的磁矢勢貢獻(xiàn)為

        因此,場點處的磁矢勢為

        利用遠(yuǎn)場條件,r>>a,進(jìn)行如下泰勒級數(shù)展開得到:

        對于任意載流微元Idl,都存在與其對稱的微元,它們對磁矢勢的貢獻(xiàn)在x方向相互抵消。這里需要注意:矢量積分過程中方向的判斷問題。所以

        該處理過程雖然得到的結(jié)果是正確的,但是推理過程嚴(yán)格性存在缺陷。嚴(yán)格的處理應(yīng)當(dāng)將磁偶極子置于坐標(biāo)系中的一般位置、偶極矩指向任意,且場點選擇任意。另外從球坐標(biāo)表達(dá)式(2)到矢量乘積表達(dá)式(3)的過渡處理過程難以令人信服。

        1 磁偶極子遠(yuǎn)場的嚴(yán)格處理

        載流環(huán)位于歐氏空間任意位置,其環(huán)心位置矢量為r′,以該矢端為參考點的載流微元相對位矢為r″,遠(yuǎn)場點位矢為r,則任意載流微元Idr″的位置矢量為r′+r″,如圖2所示。

        圖2 磁偶極子遠(yuǎn)場嚴(yán)格處理模型

        進(jìn)行一階展開得到

        則根據(jù)式(1)矢勢微元

        根據(jù)矢量運算恒等式

        故而

        所以

        這樣就在坐標(biāo)系無關(guān)的前提下得到了磁偶極子遠(yuǎn)場的嚴(yán)格表達(dá)式。

        2 磁偶極子遠(yuǎn)場結(jié)論的重要地位

        正如同在電介質(zhì)靜電場中電偶極矩有著重要地位一樣[4],在描述和研究磁介質(zhì)磁化機理以及計算介質(zhì)磁場時,磁偶極子模型是不二選擇,不僅使問題得以簡化,而且形象易懂,表達(dá)嚴(yán)格[5]。介質(zhì)的磁化源于磁場對電子運動的作用,電子有兩種基本運動方式,一是軌道運動,二是自旋。無論哪種運動都可以用一個等效磁矩(分子磁矩)來描述。普通介質(zhì)(順磁質(zhì)、抗磁質(zhì))在沒有外場條件下,每個分子磁矩的空間指向具有隨機性,全部分子磁矩的矢量和為0,對空間任意一點的磁矢勢貢獻(xiàn)抵消,從而不呈現(xiàn)宏觀磁屬性;在外磁場當(dāng)中,無論是抗磁質(zhì),還是順磁質(zhì),分子磁矩的空間排布都將具有傾向性,從而凈磁矩不為0,空間一般點的總磁矢勢貢獻(xiàn)不為0,介質(zhì)呈現(xiàn)磁屬性。因而磁介質(zhì)的磁化程度,完全可以用凈磁偶極矩密度刻畫。據(jù)此,在宏觀充分?。坍嬁臻g各點)、微觀足夠大(磁偶極子足夠多,取平均,結(jié)果更可靠)的介質(zhì)區(qū)域內(nèi)將全部磁偶極矩矢量加和,除以該體積微元的體積,得到單位體積內(nèi)的平均磁偶極矩,它可以準(zhǔn)確地描述介質(zhì)受外場的影響程度,此即為磁化強度[6]。

        而且對于任意介質(zhì)微元dV,其凈磁偶極矩可以用磁化強度M(r′)和體積微元dV之乘積表達(dá),如圖3所示,它實際上就是一個磁矩為M(r′)dV的磁偶極子。依據(jù)上述推理結(jié)果,直接得到該“磁偶極子”對空間一點的磁矢勢貢獻(xiàn)

        圖3 磁偶極子模型在磁介質(zhì)場中的應(yīng)用

        依據(jù)磁化強度空間分布函數(shù)進(jìn)行積分,就可以得到空間磁矢勢分布的介質(zhì)貢獻(xiàn)。

        實際上,磁偶極模型不僅是磁介質(zhì)場研究的基礎(chǔ)模型,也是宏觀復(fù)雜載流體的分解模型。茲以圖4中的簡單載流體為例予以簡單說明。圖中的平面矩形閉合回路長為a,寬為b,則其總磁矩為Iab,矢量表達(dá)為

        顯然可以將該回路按如圖4方式無窮剖分,由于每相鄰子回路的邊界積分抵消,故而

        因而宏觀導(dǎo)體閉合回路仍然可以用磁偶極子模型(分解)表達(dá)。

        需要指出分解表達(dá)可以在以載流閉合回路為邊界的任意單通開曲面上進(jìn)行,這是由旋量場的屬性決定的。由于無窮剖分下的偶極微元可以是任意形狀的矢量微元,在前述嚴(yán)格處理中采用了圓環(huán)偶極子模型。

        圖4 磁偶極模型的宏觀導(dǎo)體回路應(yīng)用

        3 結(jié)語

        本文先采用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理,給出了磁偶極子遠(yuǎn)場的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。較為詳細(xì)地討論了磁偶極子遠(yuǎn)場模型在磁學(xué)研究分析中的基礎(chǔ)地位,為電磁場理論的教學(xué)和研究工作提供了一種借鑒思路。

        [1]趙近芳.大學(xué)物理學(xué)[M].北京:北京郵電大學(xué)出版社,2011:6-7.

        [2]Cheng David K.電磁場與電磁波[M].北京:清華大學(xué)出版社,2013:162-164.

        [3]葉齊政,陳德智.電磁場教程[M].北京:高等教育出版社,2012:158-160.

        [4]歐陽金華.介質(zhì)極化教學(xué)的幾個問題[J].電氣電子教學(xué)學(xué)報,2008,30(2):1-3.

        [5]李靜.微小電流環(huán)與磁偶極子[J].重慶師范大學(xué)學(xué)報,2010,27(4):1-3.

        [6]趙凱華.電磁學(xué)[M].北京:高等教育出版社,1985:551-552.

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