田莉，田銘興

(蘭州交通大學自動化與電氣工程學院，甘肅蘭州730070)

高頻電子電路用圓形截面環(huán)形磁心中電磁場的分布

田莉，田銘興

(蘭州交通大學自動化與電氣工程學院，甘肅蘭州730070)

為了研究當線圈纏繞于高頻電子電路用圓形截面環(huán)形磁心某一段，考慮漏磁時磁心內(nèi)部電磁場的分布，根據(jù)磁通連續(xù)性原理及鏡像法，將繞有一個線圈的環(huán)形磁心內(nèi)電磁場的分布問題，轉化為繞有無窮多個線圈的無限長直磁心在其中一段磁心內(nèi)的電磁場分布問題?；邴溈怂鬼f方程組和疊加原理，推導了環(huán)形磁心內(nèi)電場強度和磁場強度的單重級數(shù)式解析計算公式。基于電場強度的計算公式，得到了渦流損耗的計算公式，與基于線圈自阻抗得到的渦流損耗計算公式進行對比，二者的計算結果吻合良好，證明了本文分析方法及所得公式的正確性。電場強度和磁場強度的計算結果分析表明，本文結論也同樣適用于磁心磁導率很高或線圈均勻密繞于磁心表面，即漏磁通很小可以忽略的情況。

環(huán)形磁心;電磁場分布;解析解;貝塞爾函數(shù)

1 引言

構成變壓器和傳感器等磁性器件的環(huán)形磁心在電子電路中大量使用［1］，隨著激勵頻率的增大，其內(nèi)部電磁場的分布及其損耗受到了越來越多的關注［2-8］。文獻［2］分析了變壓器三種常用磁心材料即鐵氧體、納米晶和非晶材料的損耗特性與頻率、磁通密度的關系，并給出了磁性材料損耗密度的三維表征圖。文獻［3］用有限元法對環(huán)形磁心內(nèi)的磁場分布進行了數(shù)值計算，并計算了渦流損耗。文獻［4，5］研究了螺線管線圈在矩形截面環(huán)形磁心中的磁場分布及渦流損耗，并給出了解析解。文獻［6，7］研究了螺線管線圈在圓形截面環(huán)形磁心中的電場磁場分布及其鐵耗，給出了解析解。但文獻［4-7］的求解過程都是假設螺線管線圈均勻密繞于磁心表面上，或磁心的導磁率很大，即不考慮漏磁通時得到的。

本文研究的磁件結構如圖1所示，線圈纏繞于部分磁心之上。圖1中，環(huán)形磁心的截面為圓形，半徑為b，磁心中心線長l;磁心材料為各向同性的線性媒質(zhì)，電導率為σ，磁導率為μ2;線圈的匝數(shù)為N，截面為矩形，長h，寬w。顯然，在分析這種情況下磁心內(nèi)的電磁場及損耗時，其漏磁通就不應忽略。

圖1 繞有線圈的環(huán)形磁心Fig．1Toroidal cores encircled by coil

為了研究圖1磁件磁心內(nèi)電磁場的分布，將其磁心切開，展成直磁心，兩端為電導率為0、磁導率無窮大的無限大線性媒質(zhì)，保證了磁通的連續(xù)性。基于鏡像法和疊加原理，得到了圖1磁件考慮漏磁通時磁心內(nèi)電場強度和磁場強度的級數(shù)式解析計算公式。

2 單匝細線圈繞于圓形截面無限長直磁心上時磁心內(nèi)的電場強度

無限長直磁心上繞有單匝細線圈的情況如圖2所示。磁心外為空氣，磁導率為μ1;磁心磁導率及半徑同圖1;線圈通以電流=。

圖2 無限長磁心上繞單匝細線圈Fig．2Infinite long cores encircled by filamentary turn

式中，I1、K1、I0、K0為修正的一階和零階Bessel函數(shù);

對式(1)進行積分反變換并整理得

為了書寫方便，將式(3)寫為

3 單匝細線圈繞于圓形截面環(huán)形磁心上時磁心內(nèi)的電場強度

磁件結構同圖1，線圈為單匝細線圈，其參數(shù)同圖2中的線圈?？紤]到實際中磁心一般有l(wèi)/b＞25［9］，忽略內(nèi)外徑的差別，將磁心在A－A'切開，展開成長度為l的直磁心，磁心兩端為磁導率無窮大而電導率為0(μ=∞，σ=0)的無限大線性媒質(zhì)。由鏡像法可知，位于兩無限大平行邊界之間的電流在該區(qū)域中形成的場，由該電流形成的場和兩個無限大平行平面鏡像的無數(shù)個電流所形成的場疊加而成。展開的環(huán)形磁心及鏡像線圈如圖3所示。

圖3 展開的環(huán)形磁心及鏡像線圈Fig．3Opening toroidal cores and turn mirror image

式(4)為實際線圈電流在磁心(r，z)處形成的電場強度，將所有線圈在(r，z)處產(chǎn)生的電場強度疊加可得環(huán)形磁心內(nèi)的電場強度

根據(jù)沖擊函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開公式

式中

當k=0時，βk→0，依據(jù)Bessel函數(shù)在變量趨于0時的漸近線公式，得到式(8)k=0項的值為

式中，μ2r為磁心的相對磁導率，μ2r=μ2/μ1。

因此，式(8)可寫為如下形式式中

4 N匝細線圈繞于圓形截面環(huán)形磁心上時磁心內(nèi)的電磁場

對圖1所示磁件結構，圓形截面環(huán)形磁心上繞了N匝線圈，如果忽略匝間隙，則單位面積的匝數(shù)為，面積元ds內(nèi)的匝數(shù)為，則磁心中面積元ds內(nèi)的線圈在磁心(r，z)處產(chǎn)生的電場強度為

其中，L0(x)、L1(x)分別為零階和一階修正的Struve函數(shù)。

磁場強度z方向的分量Hz為

5 結論驗證

另外，繞在磁心上的線圈自阻抗的實部是表征渦流損耗的一個等效參數(shù)［10］。所以，為了在算例中比較驗證式(20)的正確性，這里給出另外一個渦流損耗平均功率的計算公式

式中，Zmm是由文獻［8］得到的繞有線圈的環(huán)形磁心中的磁通引起的線圈自阻抗，其計算公式為

對圖1所示的磁件結構，采用文獻［9］算例中的磁心及載流線圈參數(shù)，磁心參數(shù)如下:磁路長度l =250mm，磁心半徑b=10.8mm，相對磁導率μ2r= 75，磁心電導率σ=100S·m－1;線圈參數(shù)如下:NI= 25A，w=10mm，h=10mm，a1=15mm，a2=25mm。按式(20)和式(21)對該環(huán)形磁心內(nèi)的渦流損耗進行實際計算，結果如表1所示，兩個公式的計算結果吻合良好。

表1 渦流損耗平均功率兩種計算結果比較Tab．1Comparison of results from Eqs．(20)and Eqs．(21)

6 電磁場的計算分析

6.1 磁導率較低時磁心內(nèi)電磁場的分布

圖1所示磁件，磁心及線圈參數(shù)同第5節(jié)，磁心內(nèi)電場強度和磁場強度的分布見圖4～圖9。其中圖4～圖6為f=100kHz時電場強度和磁場強度的分布圖，圖7～圖9為f=1MHz時電場強度和磁場強度的分布圖。

圖4 f=100kHz時|E|的分布Fig．4Distribution of|E|at f=100kHz

圖5 f=100kHz時|Hr|的分布Fig．5Distribution of|Hr|at f=100kHz

圖6 f=100kHz時|Hz|的分布Fig．6Distribution of|Hz|at f=100kHz

圖7 f=1MHz時||的分布Fig．7Distribution of||at f=1MHz

從圖4～圖9可以看出，電場強度和磁場強度都隨r的增大而增大，呈現(xiàn)集膚效應現(xiàn)象;||、|Hz|隨z的增大而減小，這是由漏磁通引起，說明這種情況漏磁不能忽略;|Hr|遠遠小于|Hz|;電場強度隨頻率的增大而迅速增大。

6.2 當磁心磁導率很高或線圈均勻密繞于磁心表面時磁心內(nèi)電磁場隨z的變化

(1)當磁心磁導率很高時磁心內(nèi)電磁場隨z的變化

圖8 f=1MHz時|Hr|的分布Fig．8Distribution of|Hr|at f=1MHz

圖9 f=1MHz時|Hz|的分布Fig．9Distribution of|Hz|at f=1MHz

圖1所示磁件，磁心和繞組其他參數(shù)同第5節(jié)，但磁心相對磁導率μ2r=105。計算了r=10mm，f= 1MHz時不同z處電場強度和磁場強度的值，結果見表2和表3。

表2 磁心磁導率很高時電場強度隨z的變化Tab．2Variation of electrical field intensity with z when magnetic permeability of core being very high

表3 磁心磁導率很高時磁場強度隨z的變化Tab．3Variation of magnetic field intensity with z when magnetic permeability of core being very high

(2)當線圈均勻密繞于磁心表面時磁心內(nèi)電磁場隨z的變化

圖1所示磁件，磁心參數(shù)同第5節(jié)，繞組參數(shù)NI=25A不變，因線圈均勻密繞于磁心表面，因此線圈寬度w=l=250mm，a1=b=10.8mm，設h= 1mm，則a2=11.8mm。計算r=10mm，f=1MHz時不同z處電場強度和磁場強度的值，計算結果見表4和表5。

表4 線圈均勻密繞于磁心表面時電場強度隨z的變化Tab．4Variation of electrical field intensity with z when core being encircled tightly and uniformly by coil

表5 線圈均勻密繞于磁心表面時磁場強度隨z的變化Tab．5Variation of magnetic field intensity with z when core being encircled tightly and uniformly by coil

從表2～表5可以看出，當磁導率很高或線圈均勻密繞于磁心表面時|E|≈|E0|，|Hz|≈|Hz0|，而|Ek|、|Hzk|、|Hr|很小，可以忽略。因此，磁導率很大或線圈均勻密繞于磁心表面時，為本文所研究的特殊情況。

7 結論

(1)推導了繞有線圈的環(huán)形磁心，考慮漏磁時其內(nèi)部電場強度和磁場強度的級數(shù)式解析計算公式，基于電場強度的計算公式，得到了渦流損耗的解析解。

(2)公式中不僅包含了磁心的尺寸、磁導率、電導率及線圈的電流、頻率、匝數(shù)等參數(shù)，也包含了線圈的尺寸。因此，給這類磁件的設計提供了依據(jù)，具有一定的實用價值。

(3)本文所得電場強度、磁場強度及渦流損耗的計算公式不僅適用于線圈纏繞于部分磁心之上，考慮漏磁的情況;也適用于磁心磁導率很高或線圈均勻密繞于磁心表面，漏磁通很小可以忽略的情況。

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Electrical and magnetic field distributions in toroidal core with circular cross section for high-frequency electronic circuits

TIAN Li，TIAN Ming-xing
(Institute of Automatic and Electrical Engineering，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China)

In order to study electrical and magnetic field distributions in toroidal core with circular cross section for high-frequency electronic circuits，when it is encircled partly by coil and leakage flux can not be ignored，according to magnetic flux continuity principle and mirror image method，electrical and magnetic field distributions in toroidal cores encircled by one coil are transformed into electrical and magnetic field distributions in the actual section of an infinite long cores along which an infinite number of images are introduced．Based on Maxwell equations and superposition principle，analytical solutions are derived for the electrical and magnetic field intensity，in which the field variables are expressed as a single series in terms of Bessel functions and trigonometric functions．Two analytical solutions of eddy-current power loss are derived．One is based on electric field intensity and the other is based on self impedance．Calculation results agree with each other，and it validates the accuracy and validity of analytical method．Calculation results of electrical and magnetic field intensity show that the conclusion of this paper can be applied to the case of magnetic permeability of core being very high or the core being encircled tightly and uniformly by coil，in which leakage flux can be ignored．

toroidal cores;electrical and magnetic field distributions;analytical solution;Bessel function

TM554

A

1003-3076(2014)10-0033-06

2013-03-12

國家自然科學基金資助項目(51167009)

田莉(1971-)，女，甘肅籍，講師，碩士，研究方向為電機設計及控制;田銘興(1968-)，男，甘肅籍，教授，博士，研究方向為電機電器的設計及控制。