田莉，田銘興

(蘭州交通大學(xué)自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，甘肅蘭州730070)

高頻電子電路用圓形截面環(huán)形磁心中電磁場(chǎng)的分布

田莉，田銘興

(蘭州交通大學(xué)自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，甘肅蘭州730070)

為了研究當(dāng)線圈纏繞于高頻電子電路用圓形截面環(huán)形磁心某一段，考慮漏磁時(shí)磁心內(nèi)部電磁場(chǎng)的分布，根據(jù)磁通連續(xù)性原理及鏡像法，將繞有一個(gè)線圈的環(huán)形磁心內(nèi)電磁場(chǎng)的分布問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為繞有無(wú)窮多個(gè)線圈的無(wú)限長(zhǎng)直磁心在其中一段磁心內(nèi)的電磁場(chǎng)分布問(wèn)題。基于麥克斯韋方程組和疊加原理，推導(dǎo)了環(huán)形磁心內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的單重級(jí)數(shù)式解析計(jì)算公式?；陔妶?chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算公式，得到了渦流損耗的計(jì)算公式，與基于線圈自阻抗得到的渦流損耗計(jì)算公式進(jìn)行對(duì)比，二者的計(jì)算結(jié)果吻合良好，證明了本文分析方法及所得公式的正確性。電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算結(jié)果分析表明，本文結(jié)論也同樣適用于磁心磁導(dǎo)率很高或線圈均勻密繞于磁心表面，即漏磁通很小可以忽略的情況。

環(huán)形磁心;電磁場(chǎng)分布;解析解;貝塞爾函數(shù)

1 引言

構(gòu)成變壓器和傳感器等磁性器件的環(huán)形磁心在電子電路中大量使用［1］，隨著激勵(lì)頻率的增大，其內(nèi)部電磁場(chǎng)的分布及其損耗受到了越來(lái)越多的關(guān)注［2-8］。文獻(xiàn)［2］分析了變壓器三種常用磁心材料即鐵氧體、納米晶和非晶材料的損耗特性與頻率、磁通密度的關(guān)系，并給出了磁性材料損耗密度的三維表征圖。文獻(xiàn)［3］用有限元法對(duì)環(huán)形磁心內(nèi)的磁場(chǎng)分布進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，并計(jì)算了渦流損耗。文獻(xiàn)［4，5］研究了螺線管線圈在矩形截面環(huán)形磁心中的磁場(chǎng)分布及渦流損耗，并給出了解析解。文獻(xiàn)［6，7］研究了螺線管線圈在圓形截面環(huán)形磁心中的電場(chǎng)磁場(chǎng)分布及其鐵耗，給出了解析解。但文獻(xiàn)［4-7］的求解過(guò)程都是假設(shè)螺線管線圈均勻密繞于磁心表面上，或磁心的導(dǎo)磁率很大，即不考慮漏磁通時(shí)得到的。

本文研究的磁件結(jié)構(gòu)如圖1所示，線圈纏繞于部分磁心之上。圖1中，環(huán)形磁心的截面為圓形，半徑為b，磁心中心線長(zhǎng)l;磁心材料為各向同性的線性媒質(zhì)，電導(dǎo)率為σ，磁導(dǎo)率為μ2;線圈的匝數(shù)為N，截面為矩形，長(zhǎng)h，寬w。顯然，在分析這種情況下磁心內(nèi)的電磁場(chǎng)及損耗時(shí)，其漏磁通就不應(yīng)忽略。

圖1 繞有線圈的環(huán)形磁心Fig．1Toroidal cores encircled by coil

為了研究圖1磁件磁心內(nèi)電磁場(chǎng)的分布，將其磁心切開(kāi)，展成直磁心，兩端為電導(dǎo)率為0、磁導(dǎo)率無(wú)窮大的無(wú)限大線性媒質(zhì)，保證了磁通的連續(xù)性。基于鏡像法和疊加原理，得到了圖1磁件考慮漏磁通時(shí)磁心內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的級(jí)數(shù)式解析計(jì)算公式。

2 單匝細(xì)線圈繞于圓形截面無(wú)限長(zhǎng)直磁心上時(shí)磁心內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度

無(wú)限長(zhǎng)直磁心上繞有單匝細(xì)線圈的情況如圖2所示。磁心外為空氣，磁導(dǎo)率為μ1;磁心磁導(dǎo)率及半徑同圖1;線圈通以電流=。

圖2 無(wú)限長(zhǎng)磁心上繞單匝細(xì)線圈Fig．2Infinite long cores encircled by filamentary turn

式中，I1、K1、I0、K0為修正的一階和零階Bessel函數(shù);

對(duì)式(1)進(jìn)行積分反變換并整理得

為了書(shū)寫(xiě)方便，將式(3)寫(xiě)為

3 單匝細(xì)線圈繞于圓形截面環(huán)形磁心上時(shí)磁心內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度

磁件結(jié)構(gòu)同圖1，線圈為單匝細(xì)線圈，其參數(shù)同圖2中的線圈。考慮到實(shí)際中磁心一般有l(wèi)/b＞25［9］，忽略內(nèi)外徑的差別，將磁心在A－A'切開(kāi)，展開(kāi)成長(zhǎng)度為l的直磁心，磁心兩端為磁導(dǎo)率無(wú)窮大而電導(dǎo)率為0(μ=∞，σ=0)的無(wú)限大線性媒質(zhì)。由鏡像法可知，位于兩無(wú)限大平行邊界之間的電流在該區(qū)域中形成的場(chǎng)，由該電流形成的場(chǎng)和兩個(gè)無(wú)限大平行平面鏡像的無(wú)數(shù)個(gè)電流所形成的場(chǎng)疊加而成。展開(kāi)的環(huán)形磁心及鏡像線圈如圖3所示。

圖3 展開(kāi)的環(huán)形磁心及鏡像線圈Fig．3Opening toroidal cores and turn mirror image

式(4)為實(shí)際線圈電流在磁心(r，z)處形成的電場(chǎng)強(qiáng)度，將所有線圈在(r，z)處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度疊加可得環(huán)形磁心內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度

根據(jù)沖擊函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)公式

式中

當(dāng)k=0時(shí)，βk→0，依據(jù)Bessel函數(shù)在變量趨于0時(shí)的漸近線公式，得到式(8)k=0項(xiàng)的值為

式中，μ2r為磁心的相對(duì)磁導(dǎo)率，μ2r=μ2/μ1。

因此，式(8)可寫(xiě)為如下形式式中

4 N匝細(xì)線圈繞于圓形截面環(huán)形磁心上時(shí)磁心內(nèi)的電磁場(chǎng)

對(duì)圖1所示磁件結(jié)構(gòu)，圓形截面環(huán)形磁心上繞了N匝線圈，如果忽略匝間隙，則單位面積的匝數(shù)為，面積元ds內(nèi)的匝數(shù)為，則磁心中面積元ds內(nèi)的線圈在磁心(r，z)處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為

其中，L0(x)、L1(x)分別為零階和一階修正的Struve函數(shù)。

磁場(chǎng)強(qiáng)度z方向的分量Hz為

5 結(jié)論驗(yàn)證

另外，繞在磁心上的線圈自阻抗的實(shí)部是表征渦流損耗的一個(gè)等效參數(shù)［10］。所以，為了在算例中比較驗(yàn)證式(20)的正確性，這里給出另外一個(gè)渦流損耗平均功率的計(jì)算公式

式中，Zmm是由文獻(xiàn)［8］得到的繞有線圈的環(huán)形磁心中的磁通引起的線圈自阻抗，其計(jì)算公式為

對(duì)圖1所示的磁件結(jié)構(gòu)，采用文獻(xiàn)［9］算例中的磁心及載流線圈參數(shù)，磁心參數(shù)如下:磁路長(zhǎng)度l =250mm，磁心半徑b=10.8mm，相對(duì)磁導(dǎo)率μ2r= 75，磁心電導(dǎo)率σ=100S·m－1;線圈參數(shù)如下:NI= 25A，w=10mm，h=10mm，a1=15mm，a2=25mm。按式(20)和式(21)對(duì)該環(huán)形磁心內(nèi)的渦流損耗進(jìn)行實(shí)際計(jì)算，結(jié)果如表1所示，兩個(gè)公式的計(jì)算結(jié)果吻合良好。

表1 渦流損耗平均功率兩種計(jì)算結(jié)果比較Tab．1Comparison of results from Eqs．(20)and Eqs．(21)

6 電磁場(chǎng)的計(jì)算分析

6.1 磁導(dǎo)率較低時(shí)磁心內(nèi)電磁場(chǎng)的分布

圖1所示磁件，磁心及線圈參數(shù)同第5節(jié)，磁心內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的分布見(jiàn)圖4～圖9。其中圖4～圖6為f=100kHz時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的分布圖，圖7～圖9為f=1MHz時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的分布圖。

圖4 f=100kHz時(shí)|E|的分布Fig．4Distribution of|E|at f=100kHz

圖5 f=100kHz時(shí)|Hr|的分布Fig．5Distribution of|Hr|at f=100kHz

圖6 f=100kHz時(shí)|Hz|的分布Fig．6Distribution of|Hz|at f=100kHz

圖7 f=1MHz時(shí)||的分布Fig．7Distribution of||at f=1MHz

從圖4～圖9可以看出，電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度都隨r的增大而增大，呈現(xiàn)集膚效應(yīng)現(xiàn)象;||、|Hz|隨z的增大而減小，這是由漏磁通引起，說(shuō)明這種情況漏磁不能忽略;|Hr|遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于|Hz|;電場(chǎng)強(qiáng)度隨頻率的增大而迅速增大。

6.2 當(dāng)磁心磁導(dǎo)率很高或線圈均勻密繞于磁心表面時(shí)磁心內(nèi)電磁場(chǎng)隨z的變化

(1)當(dāng)磁心磁導(dǎo)率很高時(shí)磁心內(nèi)電磁場(chǎng)隨z的變化

圖8 f=1MHz時(shí)|Hr|的分布Fig．8Distribution of|Hr|at f=1MHz

圖9 f=1MHz時(shí)|Hz|的分布Fig．9Distribution of|Hz|at f=1MHz

圖1所示磁件，磁心和繞組其他參數(shù)同第5節(jié)，但磁心相對(duì)磁導(dǎo)率μ2r=105。計(jì)算了r=10mm，f= 1MHz時(shí)不同z處電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的值，結(jié)果見(jiàn)表2和表3。

表2 磁心磁導(dǎo)率很高時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度隨z的變化Tab．2Variation of electrical field intensity with z when magnetic permeability of core being very high

表3 磁心磁導(dǎo)率很高時(shí)磁場(chǎng)強(qiáng)度隨z的變化Tab．3Variation of magnetic field intensity with z when magnetic permeability of core being very high

(2)當(dāng)線圈均勻密繞于磁心表面時(shí)磁心內(nèi)電磁場(chǎng)隨z的變化

圖1所示磁件，磁心參數(shù)同第5節(jié)，繞組參數(shù)NI=25A不變，因線圈均勻密繞于磁心表面，因此線圈寬度w=l=250mm，a1=b=10.8mm，設(shè)h= 1mm，則a2=11.8mm。計(jì)算r=10mm，f=1MHz時(shí)不同z處電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的值，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表4和表5。

表4 線圈均勻密繞于磁心表面時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度隨z的變化Tab．4Variation of electrical field intensity with z when core being encircled tightly and uniformly by coil

表5 線圈均勻密繞于磁心表面時(shí)磁場(chǎng)強(qiáng)度隨z的變化Tab．5Variation of magnetic field intensity with z when core being encircled tightly and uniformly by coil

從表2～表5可以看出，當(dāng)磁導(dǎo)率很高或線圈均勻密繞于磁心表面時(shí)|E|≈|E0|，|Hz|≈|Hz0|，而|Ek|、|Hzk|、|Hr|很小，可以忽略。因此，磁導(dǎo)率很大或線圈均勻密繞于磁心表面時(shí)，為本文所研究的特殊情況。

7 結(jié)論

(1)推導(dǎo)了繞有線圈的環(huán)形磁心，考慮漏磁時(shí)其內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的級(jí)數(shù)式解析計(jì)算公式，基于電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算公式，得到了渦流損耗的解析解。

(2)公式中不僅包含了磁心的尺寸、磁導(dǎo)率、電導(dǎo)率及線圈的電流、頻率、匝數(shù)等參數(shù)，也包含了線圈的尺寸。因此，給這類磁件的設(shè)計(jì)提供了依據(jù)，具有一定的實(shí)用價(jià)值。

(3)本文所得電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度及渦流損耗的計(jì)算公式不僅適用于線圈纏繞于部分磁心之上，考慮漏磁的情況;也適用于磁心磁導(dǎo)率很高或線圈均勻密繞于磁心表面，漏磁通很小可以忽略的情況。

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Electrical and magnetic field distributions in toroidal core with circular cross section for high-frequency electronic circuits

TIAN Li，TIAN Ming-xing
(Institute of Automatic and Electrical Engineering，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China)

In order to study electrical and magnetic field distributions in toroidal core with circular cross section for high-frequency electronic circuits，when it is encircled partly by coil and leakage flux can not be ignored，according to magnetic flux continuity principle and mirror image method，electrical and magnetic field distributions in toroidal cores encircled by one coil are transformed into electrical and magnetic field distributions in the actual section of an infinite long cores along which an infinite number of images are introduced．Based on Maxwell equations and superposition principle，analytical solutions are derived for the electrical and magnetic field intensity，in which the field variables are expressed as a single series in terms of Bessel functions and trigonometric functions．Two analytical solutions of eddy-current power loss are derived．One is based on electric field intensity and the other is based on self impedance．Calculation results agree with each other，and it validates the accuracy and validity of analytical method．Calculation results of electrical and magnetic field intensity show that the conclusion of this paper can be applied to the case of magnetic permeability of core being very high or the core being encircled tightly and uniformly by coil，in which leakage flux can be ignored．

toroidal cores;electrical and magnetic field distributions;analytical solution;Bessel function

TM554

A

1003-3076(2014)10-0033-06

2013-03-12

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51167009)

田莉(1971-)，女，甘肅籍，講師，碩士，研究方向?yàn)殡姍C(jī)設(shè)計(jì)及控制;田銘興(1968-)，男，甘肅籍，教授，博士，研究方向?yàn)殡姍C(jī)電器的設(shè)計(jì)及控制。