王 超， 張曉琳， 唐文彥， 王 軍， 馬 強(qiáng)

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)，黑龍江哈爾濱 150001）

質(zhì)量特性測(cè)量系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定

王 超， 張曉琳， 唐文彥， 王 軍， 馬 強(qiáng)

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)，黑龍江哈爾濱 150001）

質(zhì)量特性測(cè)量過程中測(cè)量位姿的定位精度直接影響測(cè)量結(jié)果的精度。針對(duì)該問題利用D-H參數(shù)建立了系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，進(jìn)而得到了終端產(chǎn)品坐標(biāo)系的位置誤差模型。利用激光跟蹤儀測(cè)量產(chǎn)品坐標(biāo)系上一點(diǎn)在不同位姿下的坐標(biāo)，通過測(cè)量點(diǎn)的位置誤差和D-H參數(shù)的雅克比矩陣建立標(biāo)定方程，并求解得到系統(tǒng)實(shí)際的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)。最后通過實(shí)驗(yàn)，對(duì)標(biāo)定方法進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明經(jīng)過標(biāo)定后的系統(tǒng)定位精度較標(biāo)定前有明顯的提高。

計(jì)量學(xué)；質(zhì)量特性測(cè)量；運(yùn)動(dòng)學(xué)；D-H模型；標(biāo)定

1 引 言

質(zhì)量特性參數(shù)［1］包括質(zhì)量質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積。這些參數(shù)能夠直接影響導(dǎo)彈、火箭、衛(wèi)星等飛行器的飛行姿態(tài)以及穩(wěn)定性，因此為了精確地測(cè)量質(zhì)量特性參數(shù)，在使用前需要對(duì)測(cè)量系統(tǒng)進(jìn)行標(biāo)定。

現(xiàn)有的質(zhì)量特性測(cè)量設(shè)備標(biāo)定技術(shù)主要集中在兩個(gè)方面，第一，對(duì)測(cè)量質(zhì)量質(zhì)心所用到的稱重傳感器進(jìn)行標(biāo)定［2］；第二，對(duì)計(jì)算慣性積和慣性矩所需要參數(shù)（比如扭擺法中的扭桿系數(shù)［3］，三線擺法中的空擺質(zhì)量、擺長(zhǎng)等）進(jìn)行標(biāo)定。上述標(biāo)定方法理論成熟，應(yīng)用廣泛，但由于研究對(duì)象主要是中小型測(cè)量設(shè)備，且機(jī)械結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，因此沒有考慮在加工裝配過程中機(jī)械結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)誤差對(duì)結(jié)果產(chǎn)生的影響，而對(duì)于大尺寸復(fù)雜測(cè)量設(shè)備來(lái)說(shuō)，在測(cè)量過程中需要變換產(chǎn)品位姿，然后將與位姿相關(guān)的參數(shù)帶入數(shù)學(xué)模型中進(jìn)行計(jì)算，因此產(chǎn)品位姿微小的變化（微分平移、微分旋轉(zhuǎn)）會(huì)對(duì)最后的計(jì)算結(jié)果造成較大的誤差［4］。為了進(jìn)一步提高系統(tǒng)的測(cè)量精度，需要對(duì)機(jī)械工裝的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模及標(biāo)定原理

由于機(jī)械工裝結(jié)構(gòu)屬于串聯(lián)型結(jié)構(gòu)［5］，共有2個(gè)軸，1個(gè)是U型架旋轉(zhuǎn)軸，1個(gè)是適配器旋轉(zhuǎn)軸。利用D-H表示法建立該工裝的連桿坐標(biāo)系［6］。

如圖1所示，坐標(biāo)系Oxyz為參考坐標(biāo)系，O0x0y0z0為U型架旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系，O1x1y1z1為適配器旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系，O2x2y2z2為待測(cè)產(chǎn)品坐標(biāo)系。

圖1 連桿坐標(biāo)系

然后需要確定每個(gè)坐標(biāo)系之間轉(zhuǎn)換關(guān)系，運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)包括軸轉(zhuǎn)角θ，連桿偏置d，連桿長(zhǎng)度a，連桿扭角α，通過這些運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)可以表示產(chǎn)品位姿P

由于機(jī)械工裝的加工和裝配存在一定的誤差，導(dǎo)致工裝的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)存在一定的誤差Δθi、Δdi、Δai、Δαi

［7］。因此產(chǎn)品的實(shí)際位姿是

那么位姿誤差為ΔP＝P－P′。

當(dāng)這些誤差較小時(shí)，位姿誤差可簡(jiǎn)化成相應(yīng)的線性方程［9］

式中θi分別為工裝2個(gè)軸（U型架旋轉(zhuǎn)軸，適配器旋轉(zhuǎn)軸）的旋轉(zhuǎn)角，由于在旋轉(zhuǎn)軸采用伺服電機(jī)，內(nèi)置17Bit絕對(duì)編碼器，可以通過編碼器反饋得到精確的角度，因此可以將該角度的誤差忽略，即

同時(shí)，α2為適配器坐標(biāo)系與產(chǎn)品坐標(biāo)系z(mì)軸的夾角。產(chǎn)品尾部安裝在適配器上，前端固定在自由旋轉(zhuǎn)環(huán)內(nèi)，通過電機(jī)使適配器及產(chǎn)品旋轉(zhuǎn)，進(jìn)而帶動(dòng)旋轉(zhuǎn)環(huán)的內(nèi)環(huán)相對(duì)于外環(huán)發(fā)生旋轉(zhuǎn)。由于適配器內(nèi)部采用了球形調(diào)整機(jī)構(gòu)，使得位置和角度偏差都可實(shí)現(xiàn)微調(diào)，自由旋轉(zhuǎn)環(huán)的內(nèi)、外環(huán)中間使用偏心軸承連接，因此通過調(diào)整可以使產(chǎn)品進(jìn)行旋轉(zhuǎn)而不發(fā)生機(jī)械干涉，所以可以將適配器坐標(biāo)系與產(chǎn)品坐標(biāo)系的z軸視為平行，即

所以，式（1）可以變換為

如果知道運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的誤差，可以由式（3）得到產(chǎn)品坐標(biāo)系上某點(diǎn)在任意位姿下的位置偏差，即微分平移

反之，若通過測(cè)量得到某點(diǎn)在n種位姿狀態(tài)下的位置偏差，那么可以將這n組偏差看做

只要n＞2，那么就可以通過解該超定方程組，得到運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的誤差Δx

從而達(dá)到標(biāo)定的目的。

3 標(biāo)定步驟

3.1 參考坐標(biāo)系的建立

利用激光跟蹤儀對(duì)工裝上的關(guān)鍵點(diǎn)的位置進(jìn)行測(cè)量，再利用這些點(diǎn)構(gòu)造坐標(biāo)系。如圖2所示，將一個(gè)高度為h的標(biāo)準(zhǔn)量塊放置在轉(zhuǎn)臺(tái)上，再將激光跟蹤儀的靶球放在該量塊上，測(cè)量靶球球心坐標(biāo)，然后在臺(tái)面上移動(dòng)量塊位置，重復(fù)上述步驟n（n＞3）次，根據(jù)所測(cè)的點(diǎn)擬合一個(gè)平面P，求出該平面的法向向量即為參考坐標(biāo)系z(mì)軸方向向量。

再將靶球分別放置在圖2中所示定位孔O和A上，測(cè)量這兩點(diǎn)在平面P上的投影，得到O′、A′。O′當(dāng)做參考坐標(biāo)系原點(diǎn)，向量O′A′作為參考坐標(biāo)系x軸方向向量，那么根據(jù)右手法則，建立參考坐標(biāo)系。通過激光跟蹤儀測(cè)量軟件CAM2將測(cè)量坐標(biāo)系轉(zhuǎn)移到參考坐標(biāo)系上，之后所有的測(cè)量數(shù)據(jù)都是建立在參考坐標(biāo)系下的值。

圖2 參考坐標(biāo)系的建立

3.2 轉(zhuǎn)換矩陣的計(jì)算

將參考坐標(biāo)系到U型架旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系變換記作E，U型架旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)到適配器旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的坐標(biāo)系變換記作0T1，適配器旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)到產(chǎn)品坐標(biāo)系變換記作1T2。那么參考坐標(biāo)系到產(chǎn)品坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣就記作

式中E可以通過激光跟蹤儀測(cè)量得到。見圖3，將靶球固定在U型支架的一側(cè)，旋轉(zhuǎn)支架，利用激光跟蹤儀連續(xù)采點(diǎn)，在這些點(diǎn)所在的平面內(nèi)擬合圓，得到圓心M以及該圓所在平面的法向向量，即得到旋轉(zhuǎn)軸的軸線方程。將軸線的方向向量作為U型架旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的z軸方向向量，x軸方向向量與參考坐標(biāo)系的x軸方向一致，參考坐標(biāo)系的原點(diǎn)在軸線上的投影作為U型架旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的原點(diǎn)，最后根據(jù)右手法則建立U型架旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系。

將i－1Ti和E帶入式（7），結(jié)果矩陣最后一列px、py、pz表示坐標(biāo)系沿坐標(biāo)軸的平移，分別對(duì)3個(gè)平移量求關(guān)于D-H參數(shù)微分就得到式（6）中的雅克比矩陣。

圖3 測(cè)量軸線上一點(diǎn)

3.3 測(cè)量位姿的選取及位置偏差的計(jì)算

選取n組測(cè)量位姿，實(shí)際上就是確定n組（θ1，θ2）的值。待測(cè)產(chǎn)品安裝好后，將此狀態(tài)當(dāng)做初始狀態(tài)0，把激光跟蹤儀的目標(biāo)球靶固定到產(chǎn)品上某一點(diǎn)M，測(cè)量該點(diǎn)在參考坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值（x0，y0，z0）。然后將產(chǎn)品變換到位姿1，根據(jù)當(dāng)前位姿的連桿參數(shù)計(jì)算轉(zhuǎn)換矩陣T，通過T就能夠計(jì)算M點(diǎn)在位姿1下的理論值（x′1，y′1，z′1），同時(shí)利用激光跟蹤儀測(cè)量M點(diǎn)的坐標(biāo)（x1，y1，z1），即該點(diǎn)的實(shí)際值，那么得到位置誤差ΔP1x、ΔP1y、ΔP1z。其它位姿下同理，因此式（5）中的b可求。

4 標(biāo)定試驗(yàn)

根據(jù)第2節(jié)的推導(dǎo)，理論上只需要2點(diǎn)就能夠標(biāo)定5個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，但是標(biāo)定點(diǎn)數(shù)越多，其標(biāo)定精度也越高［8］。所以選取15個(gè)位姿，共測(cè)量得到15個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，其中的12個(gè)點(diǎn)用來(lái)標(biāo)定D-H模型參數(shù)偏差值，利用剩余的3個(gè)點(diǎn)來(lái)驗(yàn)證結(jié)果的正確性。標(biāo)定現(xiàn)場(chǎng)如圖4所示。

圖4 標(biāo)定現(xiàn)場(chǎng)

測(cè)量數(shù)據(jù)如表1。將表1中的前12行數(shù)據(jù)代入式（5），利用廣義逆的計(jì)算方法，最終得到實(shí)際的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)與理論值對(duì)比如表2。

表1 標(biāo)定試驗(yàn)數(shù)據(jù)

表2 運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)理論值與實(shí)際值對(duì)比

再將該結(jié)果與表1中的后3行中測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)的理論值數(shù)據(jù)代入公式（4），得到這3個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)位置偏差，將修正后的點(diǎn)坐標(biāo)與實(shí)際坐標(biāo)進(jìn)行比較如表3，修正后與修正前的坐標(biāo)值相對(duì)誤差如圖5。

表3 點(diǎn)坐標(biāo)的數(shù)據(jù)對(duì)比mm

圖5 驗(yàn)證點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)定前后絕對(duì)誤差對(duì)比

修正后的點(diǎn)坐標(biāo)更加接近該點(diǎn)的實(shí)際坐標(biāo)，修正后的相對(duì)誤差小于修正前的相對(duì)誤差。

5 結(jié) 論

由于目前針對(duì)大尺寸一體化質(zhì)量特性測(cè)量系統(tǒng)研究開展較少，而現(xiàn)有的質(zhì)量特性標(biāo)定技術(shù)有著明顯的局限性，為了進(jìn)一步提高測(cè)量精度，本文從設(shè)備的機(jī)械結(jié)構(gòu)出發(fā)，基于D-H模型和微分矩陣建立了終端產(chǎn)品坐標(biāo)系的位置誤差模型，通過對(duì)該模型的解算，能夠得到設(shè)備的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，即完成了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定。通過實(shí)驗(yàn)，證明了標(biāo)定后的設(shè)備在定位精度上較標(biāo)定前有明顯的提高，這為質(zhì)量特性測(cè)量的誤差補(bǔ)償提供了實(shí)現(xiàn)條件。

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Kinem atical Calibration of Mass Property Measurement System

WANG Chao， ZHANG Xiao-lin， TANGWen-yan， WANG Jun， MA Qiang
（Harbin Institute of Technology，Harbin，Heilongjiang 150001，China）

In the process of measuring mass properties，the measurement of precision is influenced by position accuracy directly.The kinematics equation of the physical construction of the equipment is established with D-H transformation matrix.The relational equation between equipment terminal position error and link D-H parameter error is present.The calibration points position in different pose aremeasured with laser tracker，then the real D-H parameters are obtained by solving calibration equation，which is established by position error and Jacobian matrix.In the end，the calibrated results are verified by simulation.The result shows that positioning accuracy of the equipment is improved obviously through calibrating.

Metrology；Mass propertymeasurement；Kinematic；D-H model；Calibration

TB932

A

1000-1158（2014）06-0595-04

10．3969／j．issn．1000-1158．2014．06．16

2012-09-04；

2013-02-19

王超（1984－），男，黑龍江哈爾濱人，哈爾濱工業(yè)大學(xué)在讀博士研究生，主要研究方向?yàn)榇蟪叽顼w行器質(zhì)量特性測(cè)量。wangchao1984＠hit.edu.cn