李守巨,李 德,武 力,曹麗娟

(1.大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室,遼寧大連 116024;2.大連交通大學(xué)機械工程學(xué)院,遼寧大連 116028;3.大連海洋大學(xué)機械與動力工程學(xué)院,遼寧大連 116023)

非均質(zhì)巖石單軸壓縮試驗破壞過程細觀模擬及分形特性

李守巨1,李 德1,武 力2,曹麗娟3

(1.大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室,遼寧大連 116024;2.大連交通大學(xué)機械工程學(xué)院,遼寧大連 116028;3.大連海洋大學(xué)機械與動力工程學(xué)院,遼寧大連 116023)

為了細觀模擬非均質(zhì)巖石試樣單軸壓縮試驗的破壞過程,提出了一種新的有限元數(shù)值模擬方法。該方法以莫爾-庫侖破壞準(zhǔn)則為基礎(chǔ),將巖石視為非均質(zhì)和準(zhǔn)脆性材料,并假定巖石單元的抗剪強度參數(shù)服從正態(tài)分布。有限元細觀模擬結(jié)果表明,巖樣非均質(zhì)性對本構(gòu)關(guān)系曲線形狀有顯著影響,模擬的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與試驗曲線基本吻合。基于分形幾何理論,采用計盒維數(shù)方法計算單軸壓縮試驗不同荷載條件下的巖石破壞分形維數(shù),建立了分形維數(shù)與頂部位移之間的非線性演化模型。分形分析研究表明,巖石試樣的破壞過程具有分形特性,分形維數(shù)可用來定量地表征單軸壓縮試驗巖樣破壞過程。

非均質(zhì)巖石;單軸壓縮試驗;分形特性;有限元;莫爾-庫侖準(zhǔn)則;計盒維數(shù)

Key words:inhomogeneous rock;uniaxial compression test;fractal characteristics;finite element method;Mohr-Coulomb fracture criterion;box-counting dimension

巖石是由多種礦物組成的非均質(zhì)體,含有大量的節(jié)理和裂隙,從微觀和細觀的角度來衡量,巖石具有非均質(zhì)性、各向異性和不連續(xù)性等特性。研究表明,在單軸壓縮情況下,巖石試樣的破壞過程是隨分布強度參數(shù)的巖石顆粒的剛度逐漸劣化的結(jié)果。從連續(xù)介質(zhì)力學(xué)觀點分析,巖石試樣的破壞方式可以歸結(jié)為壓縮破壞、拉伸破壞和剪切破壞等方式。關(guān)于巖石試樣和巖體結(jié)構(gòu)的破壞過程與機理已經(jīng)進行了廣泛研究,取得了許多研究成果。Zhao[1]采用試驗方法研究了巖石試樣裂紋的萌生和擴展過程,確定了裂紋分形維數(shù)與應(yīng)力之間的關(guān)系,建立了巖石分形損傷本構(gòu)模型。Innaurato等[2]采用實驗和數(shù)值模擬相結(jié)合的方法研究了TBM滾刀的破巖過程,建立了滾刀貫入深度與貫入力之間的關(guān)系,研究了滾刀作用下巖石的剪切破壞問題。Li等[3]建立了表征巖石宏觀變形與細觀斷裂之間關(guān)系的本構(gòu)模型,并使用該模型研究了巖石微裂紋擴展、非線性變形、加載-卸載過程的滯變現(xiàn)象以及彈性模量和泊松比的變化等問題。夏毅敏等[4]利用虛擬樣機技術(shù),采用Pro/E軟件三維參數(shù)化建模,ADAMS軟件可視化仿真,建立了一個鈷結(jié)殼螺旋采集式采礦頭的虛擬樣機。結(jié)合虛擬樣機和相似理論建立了一個具有雙螺旋線、可安裝36個截齒的采礦頭試驗臺,并通過大量試驗驗證了所建立虛擬樣機的正確性。Jiang等[5]指出了含有節(jié)理巖體的地下結(jié)構(gòu)開挖的變形和失穩(wěn)機理是由這些結(jié)構(gòu)面的幾何分布特性所控制的,并采用計盒維數(shù)方法定量化評估了結(jié)構(gòu)面分布的分形特性。Harthong等[6]采用離散元和離散裂隙網(wǎng)絡(luò)耦合模型數(shù)值模擬了巖石試樣三維壓縮試驗的破壞過程,研究了巖體的強度特性并指出裂隙巖體的變形機理主要取決于裂隙強度。朱萬成等[7]采用RFPA軟件、并假定巖石的彈性模量和強度指標(biāo)服從Weibull分布,數(shù)值模擬了地下結(jié)構(gòu)圍巖裂隙的萌生、擴展和貫通過程。Liu等[8]數(shù)值模擬了單壓頭和雙壓頭兩種工況下的破巖過程,提出了通過優(yōu)化壓頭間距形成較大巖塊的可能性,從而控制裂紋的擴展方向,實現(xiàn)降低巖石破碎比功的目的。黃達等[9]基于不同卸荷速率和初始圍壓條件下三軸高應(yīng)力大理巖卸圍壓試驗,結(jié)合分形理論和能量原理,研究了高應(yīng)力卸荷條件下巖石破裂塊度分布規(guī)律及其與能量耗散和釋放的相關(guān)性。分形理論已經(jīng)應(yīng)用于采動裂隙網(wǎng)絡(luò)實時演化特性表征、砂巖細觀力學(xué)效應(yīng)分析、三維空間巖石裂紋分形表征和煤巖沖擊破碎塊度特征分析等巖石力學(xué)領(lǐng)域[10-14]。

盡管如此,還有許多問題沒有得到很好解決。本文的目的在于提出一種基于有限元理論的巖石破壞過程細觀數(shù)值模擬方法,數(shù)值模擬非均質(zhì)巖石試樣單軸壓縮試驗破壞過程,研究巖石破壞過程的分形表征方法,建立荷載與分形維數(shù)之間的非線性映射關(guān)系模型。

1 非均質(zhì)巖石試樣單軸壓縮試驗的有限元細觀模擬

巖石試樣單軸壓縮試驗如圖1所示,H為巖樣高度,W為巖樣寬度,P為頂部垂直荷載。

圖1 巖石試樣單軸壓縮試驗Fig.1 Rock specimen under uniaxial compression test

將巖石試樣離散為有限元單元模型。在加載過程中,每個單元的應(yīng)力狀態(tài)如圖2所示。

圖2 單元可能破壞面的法向和切向應(yīng)力Fig.2 Normal and tangent stresses in some plane for any element

根據(jù)力的平衡原理,單元法向應(yīng)力和切向應(yīng)力與主應(yīng)力之間的關(guān)系為

式中,σN為單元可能破壞面的法向應(yīng)力;σT為單元可能破壞面的切向應(yīng)力;σ1為有限元計算得到的單元第3主應(yīng)力(取負號),即巖石力學(xué)中的大主應(yīng)力; σ3為有限元計算得到的單元第1主應(yīng)力(取負號),即巖石力學(xué)中的小主應(yīng)力;α為每個單元最可能破壞面外法線與垂直軸的夾角,即破壞面與水平軸的夾角,其大小與單元的內(nèi)摩擦角有關(guān)。

為表征單軸壓縮試驗巖樣的剪切破壞特性,采用Mohr-Coulomb準(zhǔn)則來評價巖石的破壞與否,巖石單元的Mohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則為

式中,c為巖石材角。

非均質(zhì)巖石試樣單軸壓縮試驗?zāi)M分析是在ANSYS有限元軟件平臺上完成的,編寫了APDL參數(shù)化語言程序。巖石為中晶大理巖,粒徑為 1～4 mm,平均粒徑為1.5 mm,實際巖石試樣的尺寸為高100 mm、直徑50 mm[15]?？紤]到軸對稱性,有限元模型簡化為二維模型,其高100 mm、寬50 mm,如圖1所示。有限元模型網(wǎng)格尺寸為1 mm,與巖石顆粒的粒徑相近,共劃分為5 000個單元。

有限元細觀模擬巖石試樣的基本力學(xué)特性參數(shù)引自文獻[15],詳見表1,表中抗剪強度指標(biāo)參數(shù)為平均值。為表征巖石材料的非均質(zhì)性、各向異性、不連續(xù)性等特性,假定巖石單元抗剪強度指標(biāo)c,φ滿足正態(tài)分布[16],并利用其平均值與標(biāo)準(zhǔn)差隨機生成5 000個不同c和φ值,并賦給5 000個單元,進而實現(xiàn)對每個單元賦予不同的抗剪強度指標(biāo)以模擬真實巖石材料的非均質(zhì)性等特性。為模擬巖石試樣的加載過程,在有限元模型的頂部施加垂直位移荷載,位移加載步長為0.025 mm,共計20個加載步,累計垂直位移為0.50 mm。

表1 巖石試樣力學(xué)性能參數(shù)[15]Table 1 Basic mechanical properties for rock specimen[15]

根據(jù)Mohr-Coulomb剪切破壞準(zhǔn)則,在每個荷載步分別判斷有限元模型中每個單元的當(dāng)前應(yīng)力狀態(tài),當(dāng)滿足Mohr-Coulomb剪切破壞準(zhǔn)則即式(4)時,認為該單元破壞,進而修改破壞單元的材料屬性,對破壞單元的彈性模量進行剛度弱化處理。根據(jù)損傷力學(xué)理論,破壞后單元的彈性模量為

其中,EF為破壞后單元的彈性模量;R為破壞比[7];E為單元未破壞時的彈性模量;Df為損傷指標(biāo),Df=0,表示單元處于無損傷狀態(tài),Df=1,表示單元完全喪失抵抗變形的能力,Df的大小與巖石的脆性性質(zhì)、延性性質(zhì)以及荷載大小相關(guān)。在三軸壓縮條件下,損傷指標(biāo)還與圍壓相關(guān)。在實際問題中,由于相鄰單元的約束作用,巖樣局部破壞后,單元的彈性模量不可能立即降為0,也就是說滿足Mohr-Coulomb剪切破壞準(zhǔn)則的單元仍具有部分抵抗變形的能力,其損傷指標(biāo)不可能馬上變?yōu)?,根據(jù)相關(guān)文獻,本文取破壞比R= 1[7]。

在巖石內(nèi)聚力標(biāo)準(zhǔn)差為5.0 MPa,內(nèi)摩擦角標(biāo)準(zhǔn)差為5.0°的情形下有限元模擬非均質(zhì)巖石試樣破壞的過程如圖3所示,其中,顏色較深部分的單元為破壞單元。有限元細觀模擬結(jié)果表明,巖石試樣單軸壓縮破壞形成了一系列剪切破壞帶,剪切帶外法線與垂直軸的夾角約為45°,而實驗值為60°左右[15],數(shù)值模擬結(jié)果與實驗結(jié)果基本一致。

圖3 不同荷載條件下巖石試樣破壞區(qū)域Fig.3 Distributions of fracturing region of rock specimen in different load case

不同剪切強度參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差下數(shù)值模擬的頂部荷載與頂部位移關(guān)系曲線與試驗曲線對比如圖4(a)所示,模擬的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與試驗曲線對比如圖4(b)所示。其中,模擬曲線1代表的巖樣剪切強度參數(shù)內(nèi)聚力標(biāo)準(zhǔn)差 Sc=5.00 MPa,內(nèi)摩擦角標(biāo)準(zhǔn)差 Sφ= 5.00°;模擬曲線2代表的巖樣剪切強度參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差Sc=2.50 MPa,Sφ=2.50°;模擬曲線3代表的巖樣剪切強度參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差Sc=1.25 MPa,Sφ=1.25°。由模擬曲線3計算巖石抗壓強度為122 MPa,而實驗值為114 MPa,相對誤差為7%,兩者比較接近。

圖4 模擬曲線與試驗曲線對比Fig.4 Comparisons between simulated curves and test curves

由圖4(b)可以看出,巖石試樣的非均質(zhì)性對模擬曲線的結(jié)果有明顯的影響,隨著剪切強度參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值的降低,模擬曲線的峰值強度逐漸增大,其峰后曲線越來越陡,應(yīng)力跌落程度加劇。巖樣破壞具有明顯的脆性破壞特征,這與有限元模擬將巖樣視為準(zhǔn)脆性材料假設(shè)相符,試驗曲線則具有一定的延性破壞特征。模擬曲線與試驗曲線在彈性階段十分吻合,在峰后殘余強度階段體現(xiàn)出不同的破壞特性。峰后殘余強度階段,當(dāng)巖樣接近破壞時,模擬曲線會有一個緩慢上升的趨勢,這與實驗值差異較大。其原因在于當(dāng)巖樣接近破壞時,其破壞比R可能會急劇下降,R隨著軸向應(yīng)變的增加而減小,但在數(shù)值模擬模型中始終假定為一常數(shù)。

為了進一步驗證所提出模擬方法的有效性,數(shù)值模擬了一個算例,其中大理巖樣應(yīng)力-應(yīng)變試驗曲線數(shù)據(jù)引自文獻[17],相關(guān)計算參數(shù)見表2,取破壞比R=0.1。

表2 第2個巖石試樣力學(xué)性能參數(shù)Table 2 Mechanical properties of the second rock specimen

有限元細觀模擬曲線與試驗曲線對比如圖4(c)所示。其中,巖樣剪切強度參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差為 Sc= 1.25 MPa,Sφ=1.25°。由圖4(c)可看出,模擬曲線與試驗曲線在彈性階段十分吻合,在峰后殘余強度階段有所差別。由模擬曲線計算巖石抗壓強度為134 MPa,而文獻[17]所給巖石抗壓強度對應(yīng)為130 MPa,相對誤差為3%,兩者十分相近。有限元模擬結(jié)果與算例結(jié)果吻合地較好,進一步驗證了數(shù)值模擬方法的有效性。

2 非均質(zhì)巖石試樣破壞過程的分形特性

式中,Ds為破壞區(qū)域的自相似分形維數(shù);r為正方形盒子邊長;N(r)為用邊長為r的正方形盒子覆蓋整個圖形中破壞區(qū)域所需盒子的數(shù)目。

非均質(zhì)巖石試樣單軸壓縮試驗破壞分形維數(shù)的計算是在Matlab數(shù)值計算軟件平臺上完成的,編寫了Matlab語言程序。算法主要流程如下:①前處理。讀入原始圖像,圖像灰度化預(yù)處理,圖像二值化預(yù)處理,存儲相關(guān)數(shù)據(jù);②求解。以邊長r大小的正方形盒子覆蓋二值圖,統(tǒng)計巖樣破壞區(qū)域正方形盒子數(shù)N(r),保存相關(guān)數(shù)據(jù),其中,取r=0.14,0.28,0.56, 1.11,2.22,4.44,8.89,17.78 mm;③ 后處理。對r和N(r)取雙對數(shù)坐標(biāo)進行回歸分析,得到回歸方程

式中,a,b為常數(shù),b值即為巖石破壞分形維Ds,其與方程log N(r)=log a-blog r是等價的,只需對式(7)兩邊求對數(shù)即可。

由圖3可以看出,單軸壓縮試驗巖石試樣破壞區(qū)域的發(fā)展過程具有統(tǒng)計自相似性,近似符合分形特性,可用分形維數(shù)表征。頂部位移為0.30 mm時的巖石破壞區(qū)域的分形特性擬合曲線如圖5所示,相關(guān)系數(shù)R2=0.997 2,說明分形維數(shù)具有較高的可信度,分形維數(shù)Ds約為1.867 1。

分形理論可有效描述自然界中許多外表不規(guī)律事物的內(nèi)在規(guī)律性,在生物學(xué)、物理、化學(xué)、天文學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、巖土工程、計算機圖形學(xué)等諸多領(lǐng)域展現(xiàn)出其獨特的應(yīng)用前景[18-19]。

分形維數(shù)是分形理論的核心內(nèi)容之一,其使用分數(shù)維代替?zhèn)鹘y(tǒng)歐式空間的整數(shù)維,能夠定量地表征具有非整數(shù)值維數(shù)的事物,如Cantor集、Koch曲線等經(jīng)典分形。分形維數(shù)具有多種定義方式,本文采用自相似分形維數(shù),也稱為盒維數(shù)或計盒維數(shù)(box-counting dimension),計算公式如下:

圖5 頂部位移為0.30 mm時的破壞區(qū)域的分形特性Fig.5 Fractal characteristics of fracturing region with a top displacement of 0.30 mm

不同頂部位移情形下巖樣破壞分形維數(shù)演化曲線如圖6所示。由圖6可看出,巖石試樣加載過程中破壞分形維演化曲線受巖樣非均質(zhì)性影響顯著。其中,分形曲線1代表的巖樣剪切強度參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差Sc= 5.00 MPa,Sφ=5.00°;分形曲線2代表的巖樣剪切強度參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差Sc=2.50 MPa,Sφ=2.50°;分形曲線3代表的巖樣剪切強度參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差Sc=1.25 MPa,Sφ= 1.25°。隨著巖樣剪切強度參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的降低,巖石試樣的力學(xué)特性趨于更均勻,破壞單元開始出現(xiàn)時的頂部位移增大,在3組不同標(biāo)準(zhǔn)差條件下分別為0.125,0.175,0.200 mm。同時,隨著巖樣剪切強度參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的降低,破壞分形維演化曲線變得越來越陡。分形維數(shù)曲線最后趨于穩(wěn)定,隨著頂部位移的增加分形維數(shù)基本保持不變,表明巖樣已經(jīng)完全破壞。對應(yīng)3組不同的巖樣剪切強度標(biāo)準(zhǔn)差,巖樣完全破壞時的分形維數(shù)分別為1.840,1.850和1.924。說明隨著巖樣非均質(zhì)性降低,巖樣完全破壞分形維數(shù)增大,分形維數(shù)有效地表征了單軸壓縮試驗巖樣破壞的特性。

圖6 巖石試樣加載過程中破壞分形維數(shù)演化曲線Fig.6 Evolutional curves of fractal dimensions forfracturing process of rock specimen

巖石試樣加載過程中破壞分形維數(shù)隨荷載演化過程可采用Sigmoid型演化模型來表征[19],表達式為

式中,Dmax,Dmin,α,dt,dt0為分形維數(shù)演化模型中的參數(shù),采用回歸分析方法確定,見表3。

表3 分形維數(shù)Sigmoid演化模型中的參數(shù)Table 3 Model parameters of evolutional process of fractal dimension

巖樣破壞分形維數(shù)演化模型預(yù)測值與理論值對比如圖7所示。由圖7可看出,巖樣破壞分形維數(shù)演化模型預(yù)測值與理論值基本吻合,驗證了該演化模型的有效性。

圖7 巖樣破壞分形維數(shù)演化模型預(yù)測值與理論值對比Fig.7 Comparison between predicted values and theoretical ones for fracturing process of rock specimen

3 結(jié) 論

(1)提出了非均質(zhì)巖石壓縮試驗細觀模擬方法, 2個數(shù)值算例模擬的巖石極限抗壓強度與實驗值的相對誤差分別為3%和7%,驗證了數(shù)值模擬方法的有效性。

(2)研究結(jié)果表明,非勻質(zhì)巖樣單軸壓縮破壞具有統(tǒng)計自相似性,巖石試樣的非均質(zhì)性對破壞分形維數(shù)演化模型參數(shù)有較大影響,分形維數(shù)可有效地表征巖石試樣的破壞特性。

(3)建立了巖石破壞過程的分形維數(shù)Sigmoid演化模型,采用非線性回歸分析方法確定了模型中的參數(shù),該模型能夠計算分形維數(shù)隨著巖石試樣破壞過程的變化規(guī)律。

(4)進一步的研究工作包括進行三軸壓縮條件下巖石破壞過程分形特性分析和建立破壞分形維數(shù)演化模型參數(shù)與巖石力學(xué)特性參數(shù)之間的映射關(guān)系。

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Meso-simulation and fractal characteristics for uniaxial compression test of inhomogeneous rock

LI Shou-ju1,LI De1,WU Li2,CAO Li-juan3
(1.State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China;2.Institute of Mechanical Engineering,Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,China;3.School of Mechanical and Power Engineering,Dalian Ocean University,Dalian 116023, China)

In order to simulate fracture process of inhomogeneous rock specimen in meso-scale under uniaxial compression test,a new numerical simulation procedure based on finite element method was proposed.The simulation procedure was based on Mohr-Coulomb fracture criterion.Taking rock specimen as inhomogeneous and quasi-brittle material,the shear strength parameters of rock element were subjected to normal distribution.The FEM analysis investigation shows that inhomogeneity of rock specimen has a significant influence on the simulated stress-strain curve and the simulated curve agrees well with the experimental curve.Based on fractal theory,the fractal dimension of rock fracture for different displacement was calculated by using box-counting dimension method.The nonlinear relationship between fractal dimension and displacement at the top was proposed.The fractal analysis investigation show that the fracture of rock specimen has fractal characteristics.Fractal dimension can be used to quantitatively characterize the fracture process of rock specimen under uniaxial compression test.

TD315

A

0253-9993(2014)05-0849-06

李守巨,李 德,武 力,等.非均質(zhì)巖石單軸壓縮試驗破壞過程細觀模擬及分形特性[J].煤炭學(xué)報,2014,39(5):849-854.

10.13225/j.cnki.jccs.2013.0673

Li Shouju,Li De,Wu Li,et al.Meso-simulation and fractal characteristics for uniaxial compression test of inhomogeneous rock[J].Journal of China Coal Society,2014,39(5):849-854.doi:10.13225/j.cnki.jccs.2013.0673

2013-05-20 責(zé)任編輯:常 琛

國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(973)資助項目(2013CB035402);國家自然科學(xué)基金資助項目(51105048);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金資助項目(DUT13LK14)

李守巨(1960—),男,遼寧沈陽人,教授,博士。E-mail:lishouju@dlut.edu.cn