黃 翔， 汪春華， 鐘小芳， 周 安

（安徽中醫(yī)藥大學(xué) 醫(yī)藥信息工程學(xué)院，安徽 合肥 230031）

截面數(shù)據(jù)下的半?yún)?shù)模型為：

對(duì)于該模型的估計(jì)問題，文獻(xiàn)［1－2］得到了若干較為理想的估計(jì)量的大樣本性質(zhì)，文獻(xiàn)［3－4］將模型（1）推廣到縱向數(shù)據(jù)情形，并基于最小二乘法和一般的非參數(shù)權(quán)函數(shù)方法討論了估計(jì)的相合性。

縱向數(shù)據(jù)下的半?yún)?shù)模型為：

其中，xij∈Rp為已知的固定設(shè)計(jì)點(diǎn)列；β為p維未知參數(shù)；g（·）為定義在Rp中一緊集Dp上的未知函數(shù)；eij為隨機(jī)誤差，E（eij）＝0，0≤Var（eij）＝σ2＜∞，ei＝：（ei1，ei2，…，eini）′，｛ei，i＝1，2，…，m｝相互獨(dú)立；｛ni｝為有界正整數(shù)序列，即存在正整數(shù)M，使得ni≤M，i＝1，2，…，m。

在適當(dāng)條件下，文獻(xiàn)［5］討論了估計(jì)量β的強(qiáng)收斂速度和g（x）估計(jì)量的一致收斂速度。本文參照文獻(xiàn)［5－6］的方法，基于最小二乘法和一般的非參數(shù)權(quán)函數(shù)方法給出了模型（2）中參數(shù)β和回歸函數(shù)g（·）的估計(jì)，參照文獻(xiàn)［7］的方法構(gòu)造了σ2的估計(jì)量的表達(dá)形式，并在適當(dāng)條件下，證明了誤差方差σ2的估計(jì)量漸近正態(tài)性。由于｛ni｝有界，樣本數(shù)目總數(shù)n與個(gè)體數(shù)目m是同階的，因此m→∞與n→∞等價(jià)。

1 估計(jì)方法與假設(shè)條件

對(duì)于模型（2），定義β的估計(jì)＾β為（3）式的解［5］，即

可解得β的估計(jì)為：

定義非參數(shù)分量g（·）的估計(jì)為：

其中，Wkl（x）＝Wkl（x；x11，x12，…，xmnm）為定義在閉區(qū)域I上一般非參數(shù)概率權(quán)函數(shù)。

定義誤差方差σ2的估計(jì)為：

本文作如下3種假定。

條件1 假定xij滿足：

條件2g（·）是定義在Rp中一緊集Dp上的未知連續(xù)函數(shù)。

條件3 對(duì)x∈I，一致地有：

2 主要結(jié)論與證明

定理1 若條件1、條件2和條件3同時(shí)成立，并有E｜e11｜4＜∞，則有：

由于 Var（）未知，因此定理1無法直接用于統(tǒng)計(jì)目的。定義的估計(jì)為：

定理2 若條件1、條件2和條件3同時(shí)成立，并有E｜e11｜4＜∞，則有：

推論 若條件1、條件2和條件3同時(shí)成立，并有E｜e11｜4＜∞，則有：

本文用c表示不依賴于n和m的有限正常數(shù)，可取不同的值。

引理1 若存在r≥2，使得E｜eij｜2r＜∞，則

證明 見文獻(xiàn)［6］。

引理2 設(shè)X1，X2，…，Xn是獨(dú)立隨機(jī)變量EXi＝0（i＝1，2，…，n），r≥2，則有：

證明 見文獻(xiàn)［8］第三章定理20。

引理3 假設(shè)條件1、條件2和條件3同時(shí)成立，并且有supE｜eij｜r＜∞，r≥2，則有：

證明 見文獻(xiàn)［9］。

下面給出定理1的證明。經(jīng)計(jì)算可得：

結(jié)合（7）式，定理1得證。

定理2的證明。由定理1可知＾σ2→PEe211，因此要只需證明：

由引理3可知，T1→0，T2→0，a.s。

推論可由定理1、定理2直接得出。

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［4］田 萍，薛留根.縱向數(shù)據(jù)半?yún)?shù)模型估計(jì)的漸近性質(zhì)［J］.應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2007，23（2）：369－376.

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