楊愛峰， 季園園， 胡小建， 楊海洪

（合肥工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院，安徽 合肥 230009）

0 引言

近年來，經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展使人們生活發(fā)生了翻天覆地的變化，但隨之而來的是大量廢舊品的產(chǎn)生，如何處理這些廢舊品引起了社會各界的廣泛關(guān)注。當(dāng)前基于全生命周期理念的再制造，已經(jīng)成為處理廢舊品的一種有效途徑［1－3］。

再制造是一種對廢舊產(chǎn)品實(shí)施高技術(shù)修復(fù)和改造的產(chǎn)業(yè)，它針對的是損壞或行將報(bào)廢的零部件，在性能失效分析、壽命評估等分析的基礎(chǔ)上，進(jìn)行再制造工程設(shè)計(jì)。再制造能延長產(chǎn)品的使用壽命，提高產(chǎn)品技術(shù)性能和附加值，最終以最低成本、最少能源及資源消耗完成產(chǎn)品的全生命周期。例如，卡特彼勒作為世界上最大的重型機(jī)械生產(chǎn)商，目前在全球包括中國在內(nèi)的8個(gè)國家擁有19家再制造工廠，再制造廢舊單體發(fā)動機(jī)220萬件以上，質(zhì)量占85%的零部件可被再制造或再利用，節(jié)約金屬超過6×104t，再制造產(chǎn)值在2011年已超過20億美元。

文獻(xiàn)［4－7］研究了制造與再制造混合庫存模型、再制造閉環(huán)供應(yīng)鏈和再制造產(chǎn)品定價(jià)等。再制造活動中，非?，F(xiàn)實(shí)的問題是回收品的質(zhì)量具有高度不確定性，于是再制造的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)是需要決策回收品的采購批量以及檢測回收品是否適合再制造。

文獻(xiàn)［8］建立了質(zhì)量不確定情況下對翻新產(chǎn)品進(jìn)行處理的模型，以仿真美國陸軍倉庫的逆向物流網(wǎng)絡(luò)；文獻(xiàn)［9］研究了提高回收廢舊品質(zhì)量的激勵(lì)措施，當(dāng)回收品質(zhì)量越高時(shí)，需要的再制造成本越低，可再制造的比例也就越高；文獻(xiàn)［10］研究了回收質(zhì)量的不確定性，并將建立的逆向物流網(wǎng)絡(luò)中的再制造成本設(shè)定成一個(gè)常數(shù)；文獻(xiàn)［11－12］在建模運(yùn)算時(shí)，也認(rèn)為再制造成本是固定的；文獻(xiàn)［13］討論了不同回收過程中應(yīng)選擇的不同策略，模型中認(rèn)為回收產(chǎn)品質(zhì)量是滿足均勻分布的，且產(chǎn)品的再制造成本是固定的；文獻(xiàn)［14］在模型中，將再制造成本表示為固定成本和可變成本之和的形式，并給出假設(shè)可變成本是線性模型和非線性模型2種不同情況下的解法；文獻(xiàn)［15］建立了質(zhì)量不確定情況下的閉環(huán)供應(yīng)鏈選擇模型，模型中的再制造成本用維修率、拆解率及分解率表示。

上述文獻(xiàn)在考慮回收產(chǎn)品質(zhì)量不確定性時(shí)，再制造成本是固定的或是固定成本和可變成本之和。

本文不同之處在于將再制造成本看成是依賴于檢測結(jié)果的一個(gè)函數(shù)，即成本是不固定的。在建立模型時(shí)，假設(shè)回收品的質(zhì)量是服從某種分布的隨機(jī)變量，檢測排序后的廢舊品只有再制造或處理2種結(jié)果，且認(rèn)為廢舊品經(jīng)過檢測中心排序后，其再制造所需成本就成為已知數(shù)。

1 模型假設(shè)

本文研究的再制造系統(tǒng)包含了回收中心、排序中心、再制造中心及銷售中心，系統(tǒng)流程如圖1所示。

再制造企業(yè)首先將采購的廢舊品運(yùn)往回收中心，然后根據(jù)回收品質(zhì)量及再制造生產(chǎn)計(jì)劃進(jìn)入排序中心檢測排序，其結(jié)果是部分回收品直接處理，其余的進(jìn)行再制造，再制造活動在再制造中心進(jìn)行，再制造品進(jìn)入銷售中心等待銷售。

若再制造品數(shù)量少于需求，則產(chǎn)生缺貨成本；相反，將對其進(jìn)行處理，即在二級市場銷售或當(dāng)成廢物報(bào)廢。

圖1 再制造系統(tǒng)流程圖

圖1中，Q為回收品的采購批量（決策變量）；S為回收品再制造批量（決策變量）；D為市場需求量。

定義符號如下：α為回收品進(jìn)行再制造的比例，α＝S／Q；t為經(jīng)檢測產(chǎn)品用于再制造的最大成本；Ct為單位運(yùn)輸成本；Ca為單位采購成本；Cs為單位排序檢測成本；Cr為再制造的平均單位成本；Cp為單位缺貨成本；Cd1為未進(jìn)行再制造回收品的單位處理成本；Cd2為未售出的再制造品單位處理成本；v為再制造品的單位售價(jià)（＞Cr）；G（·）為回收品質(zhì)量分布函數(shù)；g（·）為相應(yīng)的概率密度函數(shù)；F（·）為需求的分布函數(shù)，f（·）為相應(yīng)的概率密度函數(shù)。

本文假設(shè)檢測排序環(huán)節(jié)結(jié)束后，每個(gè)回收品的再制造成本變?yōu)榇_定數(shù)。排序策略由再制造的最大成本t值描述，當(dāng)回收品耗費(fèi)的再制造成本大于t時(shí)，回收品將被處理，相反，則進(jìn)行再制造。再制造的平均單位成本Cr依賴于排序檢測結(jié)果，即

另外，Cd1和Cd2值正負(fù)均可。如果處理的方式是報(bào)廢，則Cd1和Cd2值為正；如果是在二級市場銷售，則Cd1和Cd2值為負(fù)，這時(shí)可以假設(shè)－v＜Cd2≤Cd1，并且Cr≥Cd1－Cd2，因?yàn)镃d1－Cd2表示的是因?yàn)樵僦圃於a(chǎn)生的產(chǎn)品增值，如果Cr＜Cd1－Cd2，說明即使再制造品沒有被銷售的可能，也要將所有廢舊品進(jìn)行再制造，與現(xiàn)實(shí)不符。

2 模型建立與求解

本文以排序中心為交界節(jié)點(diǎn)，將整個(gè)再制造系統(tǒng)流程分為2個(gè)階段。

第1階段是再制造企業(yè)將采購的廢舊品運(yùn)往回收中心，然后進(jìn)入排序中心檢測排序，需要決策廢舊品的采購批量及排序策略；第2階段是將符合要求的廢舊品運(yùn)往再制造中心進(jìn)行再制造，再制造成品在銷售中心等待銷售，需要決策的是再制造批量。

整個(gè)建模求解思路是從第2階段入手，通過計(jì)算系統(tǒng)的平均利潤，決策出最優(yōu)的再制造批量S＊，再將S＊代入到第1階段進(jìn)行考慮，決策出回收品的最佳收購批量Q＊和排序策略t＊。

第2階段再制造系統(tǒng)的利潤為：

其中，第1項(xiàng)為再制造品的銷售收入；第2項(xiàng)為再制造品的缺貨成本；第3項(xiàng)為未銷售的再制品處理成本；第4項(xiàng)為再制造成本；第5項(xiàng)為未進(jìn)行再制造的廢舊品處理成本。

于是平均利潤函數(shù)為：

對E［TP（S）］關(guān)于S求一階偏導(dǎo)，即

令?E［TP（S）］／?S＝0，可得：

前面假設(shè)中提到v＞Cr，Cr≥Cd1－Cd2，顯然可得（3）式的分子、分母都大于0，且分母大于分子，所以此解符合實(shí)際情況。再求出（2）式關(guān)于S的二階偏導(dǎo)，即

顯然（4）式小于0，所以存在最優(yōu)解S＊，使其平均利潤函數(shù)取最大，即

由（5）式可知，S＊的取值與再制造成本Cr有關(guān)，隨著Cr的增大而減少。又因?yàn)榛厥掌焚|(zhì)量的不確定性，Cr值依賴于檢測排序的結(jié)果，并不固定，故再從第1階段開始考慮。

由假設(shè)可知，對于給定的G（·），α和t可以表示為：

（7）式即是再制造系統(tǒng)最佳排序策略的數(shù)學(xué)表達(dá)式。再制造成本為：

將（9）式中S／Q提出，可得：

對Q求二階導(dǎo)數(shù)，將（11）式改寫為：

將（12）式中第1項(xiàng)對Q再次求導(dǎo)，并將（8）式帶入，可得：

（12）式的第2項(xiàng)對Q再次求導(dǎo)，可得：

因此，可得：

化簡得：

很顯然（13）式大于0，于是可知平均再制造成本R（Q）是關(guān)于收購批量Q的凸函數(shù)，即可求出使R（Q）達(dá)到最小的最優(yōu)值Q＊。

基于此，對模型的第1階段所需成本進(jìn)行研究，此時(shí)關(guān)于α的成本為：

由（15）式可以看出，平均總成本與再制造批量S及廢舊品采購批量Q值無關(guān)。由此可以把假設(shè)中v＞Cr擴(kuò)展成v＞TU，這樣更符合經(jīng)濟(jì)學(xué)規(guī)律。因此，可以把模型的求解歸納為以下3個(gè)步驟：

（1）根據(jù)回收品質(zhì)量函數(shù)得到α，將其代入（15）式，求出TU＊。計(jì)算結(jié)果見表1所列。

（2）利用α算出C＊r，并帶入（5）式，求出S＊。

（3）決策出最優(yōu)的收購批量Q＊＝S＊／α。

3 算 例

令Cα＝2，Ct＝1，Cs＝1，Cp＝4，v＝20，Cd1＝－2，Cd2＝－8，G（·）符合伽瑪分布，F(xiàn)（·）服從［150，2 000］上的均勻分布。為方便表示，令Cz＝Cα＋Ct＋Cs。計(jì)算結(jié)果見表1所列。

由表1可知，隨著再制造比例α的不斷增加，用于再制造的最大成本t隨之增加，平均再制造成本Cr不斷增加，同時(shí)TU也逐步增加，最終導(dǎo)致再制造產(chǎn)品數(shù)量及收購批量減少。

表1 再制造比例的變化對單位再制造成本的影響

從實(shí)際意義上看，當(dāng)增加回收品的收購數(shù)量時(shí)，可供排序中心篩選的廢舊品也變多，其中質(zhì)量較高的回收品將會以更大的數(shù)量優(yōu)先進(jìn)入再制造流程，最終使再制造平均成本降低。

4 結(jié)束語

本文研究了回收質(zhì)量不確定情況下的采購數(shù)量及排序策略，給出合理的假設(shè)，并決策出單周期產(chǎn)品的最優(yōu)采購和排序方案，結(jié)果發(fā)現(xiàn)最佳排序策略與再制造數(shù)量及采購數(shù)量無關(guān)，平均再制造成本的變化也與采購數(shù)量無關(guān)。本文中再制造比例根據(jù)廢舊品的質(zhì)量分布直接確定，而在現(xiàn)實(shí)中，這個(gè)數(shù)字要滿足企業(yè)以及社會當(dāng)前的再制造水平和很多指定條件，這是今后需要解決的問題。此外，對于如何解決多階段產(chǎn)品的再制造問題也需要進(jìn)一步探索。

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