卓澤朋，崇金鳳，王 慧

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三類布爾函數(shù)的相關(guān)函數(shù)研究

卓澤朋，崇金鳳，王 慧

(淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000)

布爾函數(shù)；Bent函數(shù)；自相關(guān)函數(shù)；非線性度；全局雪崩準(zhǔn)則；絕對值指標(biāo)

1 概述

Bent函數(shù)[1]是非線性度達(dá)到最大的一類布爾函數(shù)，在密碼設(shè)計和通信領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。但該類函數(shù)也有弱點，如沒有彈性，只能是偶數(shù)維的函數(shù)。為了彌補(bǔ)Bent函數(shù)的不足，又相繼提出了部分Bent函數(shù)[2]、半-Bent函數(shù)[3]和Plateaued函數(shù)[4]等。嚴(yán)格雪崩準(zhǔn)則(Strict Avalanche Criterion, SAC)[5]和擴(kuò)散準(zhǔn)則(Propagation Criterion, PC)[6]研究的是布爾函數(shù)與其移位布爾函數(shù)的相關(guān)程度，但它們只對某些點的自相關(guān)值有要求，而對其他點不加限制，這會導(dǎo)致布爾函數(shù)安全的局部性。為了克服這方面的缺點和不足，文獻(xiàn)[7]提出布爾函數(shù)的全局雪崩準(zhǔn)則(Global Avalanche Criterion, GAC)，并引入與之相關(guān)的2個指標(biāo)：絕對值指標(biāo)和平方和指標(biāo)，研究表明，這2個指標(biāo)越小，布爾函數(shù)的GAC越好，Bent函數(shù)恰好能達(dá)到這2個指標(biāo)的下界。GAC從全局出發(fā)，對所有點提出了要求，使人們對SAC和PC有了進(jìn)一步思考[7-8]。文獻(xiàn)[9]討論2個布爾函數(shù)間的GAC，將一個布爾函數(shù)的GAC推廣到2個不同布爾函數(shù)之間，得到2個不同布爾函數(shù)GAC的上下界，對文獻(xiàn)[7]中的結(jié)果進(jìn)行了推廣。在文獻(xiàn)[10-12]中，研究了任意4個布爾函數(shù)的互相關(guān)函數(shù)間滿足的一個等式，利用該等式得到很多結(jié)論。

2 預(yù)備知識

首先給出一些符號說明：

從互相關(guān)函數(shù)的定義很容易得到：

Bent函數(shù)恰好能達(dá)到這2個指標(biāo)的下界，這2個指標(biāo)越小，布爾函數(shù)的GAC越好。

3 三類布爾函數(shù)的相關(guān)函數(shù)

由自相關(guān)函數(shù)的定義得到：

結(jié)論得證。

布爾函數(shù)的相關(guān)函數(shù)能刻畫布爾函數(shù)的擴(kuò)散特征和線性結(jié)構(gòu)特征，在布爾函數(shù)的性質(zhì)研究中發(fā)揮著重要作用，利用互相關(guān)函數(shù)的定義得到：

證明：根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的定義，有：

結(jié)論得證。

注：在定理2中：

在文獻(xiàn)[22]中，利用此等式給出了任意三次布爾函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)平方的上界，借助該上界進(jìn)一步研究了多類重要的跡函數(shù)表示的三次布爾函數(shù)的平方和指標(biāo)與絕對值指標(biāo)的上下界問題。將該上界敘述如下：

所以：

因此，根據(jù)引理得到：

4 結(jié)束語

[1] Rothaus O S. On “Bent” Functions[J]. Journal of Combina- torial Theory, Series A, 1976, 20(3): 300-305.

[2] Carlet C. Partially-bent Functions[C]//Proc. of Cryptology- CRYPTO’93. Berlin, Germany: Springer-Verlag, 1993: 280- 291.

[3] Chee S, Lee S, Kim K. Semi-bent Functions[J]. Designs, Codes and Cryptography, 1993, 3(2): 135-145.

[4] Zheng Yuliang, Zhang Xianmo. On Plateaued Functions[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2001, 47(5): 1215-1223.

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[12] 卓澤朋. 密碼學(xué)中布爾函數(shù)的性質(zhì)和構(gòu)造[D]. 西安: 西安電子科技大學(xué), 2012.

[13] Sun Guanghong, Wu Chuankun. The Lower Bounds on the Second Order Nonlinearity of Three Classes of Boolean Functions with High Nonlinearity[J]. Information Sciences, 2009, 179(3): 267-278.

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編輯 陸燕菲

Research on Correlation Function for Three Classes of Boolean Functions

ZHUO Ze-peng, CHONG Jin-feng, WANG Hui

(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei 235000, China)

Boolean function; Bent function; auto-correlation function; degree of nonlinearity; Global Avalanche Criterion(GAC);absolute value indicator

1000-3428(2014)03-0180-04

A

TN918.1

安徽省自然科學(xué)基金資助項目(1208085QF119)；安徽高校省級自然科學(xué)研究基金資助項目(KJ2012Z353, KJ2013Z286)。

卓澤朋(1978－)，男，副教授、博士，主研方向：密碼學(xué)，信息安全；崇金鳳，副教授、碩士；王 慧，講師、碩士。

2013-01-14

2013-03-18 E-mail：zepengzhu@chnu.edu.cn

10.3969/j.issn.1000-3428.2014.03.037