陳國(guó)志，張 健，叢 贇，盧志飛，汪 洋

(國(guó)網(wǎng)舟山供電公司，浙江 舟山316021)

基于最優(yōu)加權(quán)Burg譜估計(jì)的間諧波智能分析方法

陳國(guó)志，張 健，叢 贇，盧志飛，汪 洋

(國(guó)網(wǎng)舟山供電公司，浙江 舟山316021)

為改善Burg算法的頻率分辨率和譜線分裂現(xiàn)象，提出一種最優(yōu)加權(quán)Burg譜估計(jì)的間諧波智能分析方法。首先在平均頻率誤差方差最小意義下獲得最優(yōu)權(quán)函數(shù)，通過(guò)使加權(quán)的二階前后向預(yù)測(cè)誤差平均功率最小化來(lái)獲得二階濾波器系數(shù)，然后采用Levinson遞推獲得一階反射系數(shù)，進(jìn)而得到諧波和間諧波的個(gè)數(shù)及頻率初值。同時(shí)，提出各間諧波頻率學(xué)習(xí)率的自適應(yīng)調(diào)整算法，最后應(yīng)用改進(jìn)的Adaline神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)精確分析諧波和間諧波的頻率、幅值和相位。仿真結(jié)果表明所提算法的譜估計(jì)性能優(yōu)于傳統(tǒng)的Burg算法，計(jì)算復(fù)雜度遠(yuǎn)低于特征空間法，具有分辨率高、精度高、魯棒性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)。

間諧波;最優(yōu)加權(quán);Burg算法;神經(jīng)網(wǎng)絡(luò);電力系統(tǒng)

1 引言

現(xiàn)代電網(wǎng)中不僅存在整數(shù)次諧波，而且還存在著大量的非整數(shù)次諧波［1］，即間諧波。由于間諧波頻譜具有隨機(jī)性，使間諧波的準(zhǔn)確測(cè)量要比整數(shù)次諧波困難得多。

提出的間諧波分析方法主要有傅里葉變換法［2］、小波分析法［3］等非參數(shù)化方法，以及 Prony法［4］、ESPRIT法［5］、MUSIC法［6］、AR譜估計(jì)法［7，8］等參數(shù)化方法。空間譜估計(jì)方法［5，6］頻率分辨率高，但需要估計(jì)數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣，計(jì)算復(fù)雜度高。Burg譜估計(jì)法利用前、后向預(yù)測(cè)誤差平均功率最小準(zhǔn)則先估計(jì)反射系數(shù)，降低了計(jì)算復(fù)雜度，同時(shí)具有較高的頻率分辨率。但 Burg算法存在譜峰偏移和譜線分裂現(xiàn)象，同時(shí)也不能確定間諧波的幅值和相位［9］。將Adaline神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于間諧波分析［8］，要求間諧波個(gè)數(shù)和頻率的準(zhǔn)確估計(jì)。

提出最優(yōu)加權(quán) Burg(wBurg)算法和改進(jìn) Adaline神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的間諧波分析方法。同 Burg算法相比，wBurg算法消除了譜線分裂現(xiàn)象，提高了頻率分辨率。將頻率作為 Adaline神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值參與調(diào)整，并提出一種間諧波頻率學(xué)習(xí)率自適應(yīng)調(diào)整算法，提高了參數(shù)估計(jì)精度，增強(qiáng)了算法的魯棒性。

2 最優(yōu)加權(quán)Burg算法

設(shè)電力諧波和間諧波信號(hào)為:

式中，M為諧波和間諧波的個(gè)數(shù)，n=0，1，…，N－1; ωm=2πfm/fs;fs為采樣頻率;Am、fm、φm分別為第m個(gè)諧波或間諧波的幅值、頻率和初相角;η(n)為高斯白噪聲。

諧波過(guò)程的AR模型可表示為:

式中，p為AR模型的階數(shù)。

根據(jù)隨機(jī)信號(hào)功率譜密度的定義，可得y(n)的功率譜密度為:

式中，σ2為高斯白噪聲的方差。

Burg算法是以前、后向預(yù)測(cè)誤差功率最小化為準(zhǔn)則估計(jì)反射系數(shù)，然后利用 Levinson遞推公式計(jì)算AR模型系數(shù)。前、后向預(yù)測(cè)誤差分別定義為:

定義p階加權(quán)的前、后向預(yù)測(cè)均方誤差為［10］:

式中，wp(n)為權(quán)函數(shù)。

權(quán)函數(shù)的使用可降低譜峰偏移程度、消除譜線分裂和改善頻率分辨率。Kaveh M等人基于平均頻率誤差方差最小化的原則得出了最優(yōu)權(quán)函數(shù)［11］。

使前、后向預(yù)測(cè)均方誤差最小化，可得反射系數(shù)kp的估計(jì)公式為:

當(dāng)分析實(shí)正弦信號(hào)時(shí)，一階反射系數(shù)對(duì)頻率偏移問(wèn)題起著至關(guān)重要的作用，Ibrahim在加權(quán)二階前后向預(yù)測(cè)誤差平均功率最小化準(zhǔn)則下得到二階濾波器系數(shù)，然后采用Levinson遞推獲得一階反射系數(shù)，進(jìn)一步改進(jìn)了 Burg算法的性能。基于最優(yōu)權(quán)函數(shù)Burg算法的一階反射系數(shù)為［10］:

得到反射系數(shù)后，根據(jù)Levinson遞推公式可以計(jì)算出AR模型的參數(shù)，進(jìn)而得到信號(hào)的功率譜密度估計(jì)。由于采用了 Levinson遞推公式，因而計(jì)算復(fù)雜度明顯低于子空間類算法。

3 改進(jìn)的Adaline神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

由三角函數(shù)公式，式(1)可表示為:

式中，am=Amsinφm;bm=Amcosφm。

將Adaline神經(jīng)元應(yīng)用于間諧波分析時(shí)，實(shí)質(zhì)是將其

作為自適應(yīng)濾波器使用，其原理如圖1虛線部分右側(cè)所示。令輸入模式向量和權(quán)向量分別為:

［x1n，x2n，…，xkn］T=［cos(ω1n)，sin(ω1n)，…，sin(ωMn)］T［w1n，w2n，…，wkn］T=［a1，b1，…，bM］T

圖1 Adaline神經(jīng)元諧波分析模型Fig．1 Model of Adaline neuron harmonic analysis

將采樣數(shù)據(jù)yn作為期望輸出信號(hào)與 Adaline神經(jīng)元的輸出進(jìn)行比較，根據(jù)差值en按最小均方誤差算法對(duì)權(quán)值進(jìn)行學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)結(jié)束后，Adaline神經(jīng)元輸出逼近采樣信號(hào) yn，由權(quán)值 am和 bm就可得到諧波和間諧波的幅值和相位。

為校正Adaline神經(jīng)元輸入的頻率偏差，文獻(xiàn)［7，8］提出了改進(jìn)的Adaline神經(jīng)元模型，如圖1所示。在改進(jìn)模型中，頻率作為權(quán)值參與調(diào)整。以下稱am和bm為幅值相位權(quán)值，ωm為頻率權(quán)值。

Adaline神經(jīng)元的輸出為:

誤差函數(shù)和性能指標(biāo)分別為:

Adaline神經(jīng)元采用最小均方誤差學(xué)習(xí)算法。幅值相位權(quán)值的調(diào)整量為:

式中，α為幅值相位權(quán)值的學(xué)習(xí)率。

頻率權(quán)值的調(diào)整量為:

式中，αω為頻率權(quán)值的學(xué)習(xí)率。

頻率學(xué)習(xí)率應(yīng)針對(duì)各個(gè)諧波和間諧波分別設(shè)置。文獻(xiàn)［7］指出第k次諧波和間諧波的頻率學(xué)習(xí)率按αωk=100kαω1計(jì)算，但該方法受基波頻率學(xué)習(xí)率的限制，并不具有自適應(yīng)性。

提出一種間諧波頻率學(xué)習(xí)率的自適應(yīng)調(diào)整方法。根據(jù)式(16)，頻率學(xué)習(xí)率的選擇應(yīng)保證足夠小，經(jīng)大量仿真分析，當(dāng)10－6時(shí)，Adaline神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有較好的參數(shù)估計(jì)精度和收斂性。頻率學(xué)習(xí)率自適應(yīng)調(diào)整方法如下:

①設(shè)定各次諧波和間諧波的頻率學(xué)習(xí)率初值αωm，令m=1，n=0，的閾值為 δ=4×10－6。

②計(jì)算Adaline神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出誤差en。

④令m=m+1，轉(zhuǎn)至步驟③，直到m=M。將此時(shí)的αωm作為頻率學(xué)習(xí)率對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行調(diào)整。

⑤令n=n+1，轉(zhuǎn)至步驟②，直到n=N－1。

4 間諧波智能分析方法

提出的基于最優(yōu)加權(quán)Burg譜估計(jì)和改進(jìn)Adaline神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的間諧波智能分析方法(簡(jiǎn)稱 wBurg-Adaline算法)具體步驟如下。

(1)應(yīng)用最優(yōu)加權(quán) Burg算法確定信號(hào)中諧波和間諧波的個(gè)數(shù)及頻率初值。

(2)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)初始化。設(shè)定學(xué)習(xí)誤差準(zhǔn)則ε和最大學(xué)習(xí)次數(shù)。幅值相位權(quán)值am和bm取隨機(jī)數(shù)，頻率權(quán)值ωm取頻率初值。設(shè)定幅值相位權(quán)值學(xué)習(xí)率。

(3)根據(jù)式(11)計(jì)算神經(jīng)元輸出，根據(jù)式(12)計(jì)算誤差函數(shù)。由提出的自適應(yīng)算法確定頻率學(xué)習(xí)率。

(4)根據(jù)式(14) ～式(16)對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行學(xué)習(xí)。

(5)計(jì)算總性能指標(biāo)?？傮w的誤差函數(shù)為:

若滿足JN＜ε或達(dá)到最大學(xué)習(xí)次數(shù)，則學(xué)習(xí)結(jié)束;否則返回步驟(3)。

(6)根據(jù)得到的權(quán)值計(jì)算間諧波參數(shù)。第m個(gè)諧波或間諧波的參數(shù)為:

5 仿真結(jié)果

利用Matlab進(jìn)行仿真驗(yàn)證。設(shè)信號(hào)表達(dá)式為:

式中，η(t)為高斯白噪聲，信噪比為60dB。各個(gè)諧波和間諧波的參數(shù)如表1所示。

表1 wBurg-Adaline算法的仿真結(jié)果Tab．1 Simulation results of wBurg-Adaline algorithm

采樣頻率為4kHz，采樣點(diǎn)數(shù)240點(diǎn)，約3個(gè)基波周期。采用 Burg算法無(wú)法分辨出45Hz的間諧波，并產(chǎn)生了譜線分裂現(xiàn)象，而采用wBurg算法能正確估計(jì)諧波和間諧波個(gè)數(shù)，消除了譜線分裂，其頻率估計(jì)值見表2。

根據(jù)wBurg算法的分析結(jié)果設(shè)定 Adaline神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的頻率初值，頻率學(xué)習(xí)率初值見表2，幅值相位學(xué)習(xí)率取0.016。學(xué)習(xí)結(jié)束后得到諧波和間諧波參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表1所示。與Burg-Adaline間諧波分析算法［7］相比，提出的wBurg-Adaline間諧波分析算法具有更高的頻率分辨率、更好的參數(shù)估計(jì)精度和更強(qiáng)的魯棒性。

表2 Adaline神經(jīng)元頻率初值及頻率學(xué)習(xí)率初值設(shè)置Tab．2 Settings of frequency initials and frequency learning rates initials for Adaline neuron

6 結(jié)論

(1)最優(yōu)加權(quán) Burg算法能在短數(shù)據(jù)條件下正確分辨信號(hào)中所含諧波和間諧波的個(gè)數(shù)，消除了Burg算法的譜線分裂現(xiàn)象，提高了頻率分辨率。同子空間類算法相比，降低了計(jì)算復(fù)雜度。

(2)提出各個(gè)諧波和間諧波的頻率學(xué)習(xí)率自適應(yīng)調(diào)整方法，使 Adaline神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有更高的參數(shù)估計(jì)精度和更強(qiáng)的魯棒性。

(3)提出的 wBurg-Adaline間諧波分析算法具有分辨率高、精度高、魯棒性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)。

［1］Testa A，Akram M F，Burch R，et al．Interharmonics: theory and modeling［J］．IEEE Transactions on Power Delivery，2007，22(4):2335-2348．

［2］Qian H，Zhao R，Chen T．Interharmonics analysis based on interpolating windowed FFT algorithm ［J］．IEEE Transactions on Power Delivery，2007，22(2):1064-1069．

［3］薛蕙，楊仁剛 (Xue Hui，Yang Rengang)．基于連續(xù)小波變換的非整數(shù)次諧波測(cè)量方法 (A novel method for non-integer harmonics measurement using continuous wavelet transform)［J］．電力系統(tǒng)自動(dòng)化 (Automation of Electric Power Systems)，2003，27(5):49-53．

［4］Leonowicz Z，Lobos T，Rezmer J．Advanced spectrum estimation methods for signal analysis in power electronics［J］．IEEE Transactions on Industrial Electronics，2003，50(3):514-519．

［5］馬秉偉，周莉 (Ma Bingwei，Zhou Li)．基于TLS-ESPRIT算法和支持向量機(jī)的間諧波檢測(cè) (Interharmonics detection based on TLS-ESPRIT and SVM algorithm)［J］．高電壓技術(shù) (High Voltage Engineering)，2009，35(6):1468-1471．

［6］高培生，谷湘文，吳為麟 (Gao Peisheng，Gu Xiangwen，Wu Weilin)．基于求根多重信號(hào)分類和遺傳算法的諧波間諧波頻譜估計(jì) (Harmonic and interharmonic spectrum estimation based on root-MUSIC and GA)［J］．電工技術(shù)學(xué)報(bào) (Transactions of China Electrotechnical Society)，2008，23(6):109-113．

［7］馬秉偉，劉會(huì)金，周莉，等 (Ma Bingwei，Liu Huijin，Zhou Li，et al．)．一種基于自回歸模型的間諧波譜估計(jì)的改進(jìn)算法 (An improved algorithm of interharmonic spectral estimation based on AR model)［J］．中國(guó)電機(jī)工程 學(xué) 報(bào) (Proceedingsof theCSEE)，2005，25 (15):79-83．

［8］蔡忠法，陳隆道 (Cai Zhongfa，Chen Longdao)．基于AR譜估計(jì)和 ADALINE神經(jīng)元的間諧波分析 (Interharmonic analysis based on AR spectral estimation and ADALINE neural network)［J］．電力系統(tǒng)自動(dòng)化 (Automation of Electric Power Systems)，2007，31(17): 78-82．

［9］李明，王曉茹 (Li Ming，Wang Xiaoru)．基于最優(yōu)窗Burg算法的電力系統(tǒng)間諧波譜估計(jì) (Inter-harmonic spectral estimation in power system based on the optimal window Burg algorithm)［J］．電工技術(shù)學(xué)報(bào) (Transactions of China Electrotechnical Society)，2011，26(1): 177-182．

［10］Campbell W，Swingler D N．Frequency estimation performance of several weighted Burg algorithms［J］．IEEE Transactions on Signal Processing，1993，41(3):1237-1247．

［11］Kaveh M，Lippert G A．An optimum tapered Burg algorithm for linear prediction and spectral analysis［J］．IEEE Transactions on Acoustics，Speech，and Signal Processing，1983，31(2):438-444．

Interharmonic analysis method based on optimal weighted Burg spectral estimation

CHEN Guo-zhi，ZHANG Jian，CONG Yun，LU Zhi-fei，WANG Yang
(State Grid Zhoushan Power Supply Company，Zhoushan 316021，China)

An interharmonic intelligent analysis algorithm based on optimal weighted Burg spectral estimation was(，cont．on p．46)(，cont．from p．29)proposed to improve spectral line splitting and low frequency resolution of Burg algorithm．At first，the optimal weighting function could be obtained by minimizing the average frequency error variance．The first-order reflection coefficient which was based on minimizing the sum of the weighted forward and backward prediction error variance of the second-order prediction error filter was achieved by Levinson recursion．Then the numbers and the pre-estimated frequencies of the harmonics and inter harmonics were obtained．Moreover，an adaptive algorithm for the adjusting frequency learning rate of inter harmonics is presented．Finally，their frequencies，amplitudes and phases were analyzed precisely by applying improved Adaline neural network．The simulation results showed the proposed algorithm which improves spectral estimation performance compared with Burg algorithm and computational complexity with eigenspace method has the characteristics of high resolution，superb precision，and strong robustness．

interharmonic;optimal weighted;Burg algorithm;neural network;power system

TM714

:A

:1003-3076(2014)01-0026-04

2012-06-08

陳國(guó)志 (1977-)，男，遼寧籍，工程師，博士，研究方向?yàn)殡娔苜|(zhì)量分析和數(shù)字信號(hào)處理等;張 健 (1985-)，女，河北籍，工程師，碩士，研究方向?yàn)楹Ｑ筝旊娂夹g(shù)。