梁斯莊，沈建新

(浙江大學電氣工程學院，浙江 杭州310027)

永磁同步電機永磁體渦流損耗的二維有限元估算

梁斯莊，沈建新

(浙江大學電氣工程學院，浙江 杭州310027)

二維有限元方法具有計算速度快，精度高，結果收斂快并且波動小的優(yōu)點。永磁同步電機，特別是高速和大功率電機的永磁體渦流損耗不可忽略，而永磁體允許溫升有限，高溫容易引起退磁。在電機設計時考慮永磁體的溫升十分重要。本文采用二維有限元方法來估算三維條件下的永磁體渦流損耗，并提出一種估算的方法。以普瑞斯04電動汽車電機為例，仿真結果表明此方法實用有效。

渦流損耗;二維有限元;永磁體;幾何尺寸比

1 引言

1.1 三維有限元分析的計算量問題

三維有限元仿真計算量很大，稍微復雜的模型，為了得到比較合理的結果，常常需要求解幾十萬乃至上百萬階的矩陣方程。二維有限元仿真具有計算量小的優(yōu)點。例如求解Prius 04電動汽車的永磁同步電機，使用二維有限元仿真只需要5000左右的剖分單元就能得到滿意的結果，而采用三維有限元仿真，則大約需要80萬左右的剖分單元才能得到類似的精度。

1.2 永磁體渦流損耗的特點

永磁同步電機(PMSM)的轉子與定子磁場同步旋轉，但是定子電流的時間諧波、定子磁動勢的空間諧波以及定子齒槽造成的磁導變化均會在轉子中引起變化的磁通［1］，從而引起感應電勢，這個感應電勢可以在導體中產生渦流。傳統(tǒng)的鐵氧體永磁體的導電性差，渦流很小，而釹鐵硼永磁體導電性比較好，容易形成渦流［2］。雖然永磁體中的渦流損耗相比電機的總損耗不大，但是轉子的散熱條件本身較差，而且有些電機的永磁體外部包有一層保護層，加劇了永磁體的散熱問題，而釹鐵硼永磁體的最大允許工作溫度一般都比較低，過熱時會退磁，文獻［4］中就存在一個實例。永磁體的溫升問題是永磁同步電機設計中需要考慮的一個重要問題。

1.3 永磁體渦流損耗的計算

目前已經有許多關于永磁同步電機永磁體渦流損耗計算的文獻。文獻［2］提出的渦流損耗解析計算方法相當于簡化情況下的二維有限元方法，文中提出的端部系數修正法并不一定是普適的。文獻［3］建立了一個二維的永磁體渦流損耗計算模型，但文章著重考慮了飽和對渦流損耗的影響，以及渦流損耗的分解，并沒有對計算本身的準確性進行分析。文獻［4］采用三維有限元分析求解渦流損耗，從其給出的損耗波形圖來看，存在計算異常之處。文獻［5］同時采用二維和三維有限元法計算，方法準確，考慮周到，并且指出兩種情況下計算結果的差異，但沒有對此差異進行進一步分析。文獻［7］中提出一種計算渦流損耗密度的公式，但是依然需要依靠三維有限元仿真方法才能得到結果?？v觀以上文獻，對永磁體渦流損耗的二維與三維有限元仿真結果之間的關系鮮有深入研究。如果能夠找到這個關系，就有可能更多地采用二維有限元仿真來計算永磁體渦流損耗，這樣，就可以很方便地用較少的計算資源得到較好的計算結果，具有十分重要的實際意義。

2 二維有限元的特點

2.1 無限長模型

自然界的實體一般都是三維的，二維有限元仿真其實是對兩類特殊模型進行仿真，一類是無限長旋轉對稱模型，一類是無限長軸向對稱模型。在永磁電機有限元分析中，一般是采用無限長軸向對稱模型，即沿著某一個方向(軸向，本文中記為z向)模型的截面完全相同，這時就用這個截面來代表這個模型。圖1給出了一個二維有限元模型及其對應的三維有限元模型的例子，需要注意的是這里只畫出了三維模型的一段，而不是全部，實際上它是沿軸向無限延伸的。

圖1 二維有限元模型及其對應三維有限元模型Fig．1 2D finite element model and its corresponding 3D finite element model

二維模型的求解結果就是對應三維模型求解結果沿z向截取一定長度得到的結果。這個長度可以指定，在商用軟件中通常默認單位長度為1m。

2.2 感應電勢特性

無限長模型對于感應電勢的求解影響不大。如圖2所示，假定磁場沿z向一致(用任何垂直于z向的平面截磁場，得到的磁場分布都一致)，并且只分布在短線圈的 L1之間，或長線圈的 L2之間。若短線圈感應電勢為u1，長線圈感應電勢為u2，那么有

從式(1)可以看到，單位長度的感應電勢與長度無關。在無限長情況下，式(1)也成立。此結論是用二維有限元法精確分析感應電勢的理論基礎。

2.3 零電流約束

無限長模型還會產生非零電流問題。如圖 2 (b)中線圈外的變化磁場 B，引發(fā)感應電場 Ei。感應電場Ei除了能夠在線圈內引起環(huán)流以外，還能在線圈上下端面之間引起電荷積累。當模型變?yōu)闊o限長時，不存在上下端面，沒有電荷積累，但是會引起一個不從線圈另一邊返回的電流。在二維場仿真時，表現為線圈兩個截面電流之和不等于0。在用二維有限元分析永磁體內渦流時，這個非零電流可能很大。為了解決這個問題，在二維模型中需要施加零電流約束條件。仿真證明，施加零電流約束條件能夠讓二維仿真結果很接近三維仿真結果沿軸向中部截面上的結果。

圖2 短線圈與長線圈Fig．2 Short winding and long winding

2.4 鐵芯損耗的計算

電機硅鋼片中也有渦流損耗，同時還存在磁滯損耗等其他損耗，這些損耗合稱鐵芯損耗。硅鋼片中的渦流損耗分布是很復雜的，需要很大的計算量才能求得。工程實際中，為了避免這個問題，經常采用損耗系數的方法來求取鐵芯損耗，它實際上是一種統(tǒng)計估計方法。損耗系數通常根據實驗數據確定。

2.5 永磁體渦流損耗比

現在試圖尋找永磁體二維有限元渦流損耗和三維有限元渦流損耗的關系。

本文中永磁體均為長方形永磁體，建立如圖3 (a)所示坐標系，y軸垂直紙面向里，z為軸向。記永磁體沿x軸方向邊長為a，沿y軸方向邊長為b，沿z軸方向邊長為c。磁場沿z向一致，只分布于永磁體上下表面之間。圖3(b)為相應的二維無限長模型在z向取長度等于c的一段。除非特別說明，本文中的永磁體模型均作出上述假設。定義三維模型計算出來的渦流損耗與二維模型計算出來的渦流損耗之比為渦流損耗比。

假定渦流在永磁體內近似按照環(huán)型路徑流動，把渦流回路簡單分成四段，每段用一個等效電阻代替，如圖3中電阻所示。在二維場仿真中，渦流只能沿z向流動，根據前面關于無限長模型的討論，可以認為渦流沿z軸流動是沒有阻礙的，相當于x向電阻為0。根據前面關于感應電勢特性的結論，可以認為在圖中兩個回路里感應電勢相等，于是三維模型的損耗為

圖3 導體塊渦流回路二維與三維模型Fig．3 2D and 3D models of eddy current circuit

式(4)是在極其簡化的情況下得到的結論，下面采用有限元方法來分析一下渦流損耗比的特性。

3 正弦激勵渦流損耗比特性

首先考察正弦磁場激勵下渦流損耗比的特性。使用Ansoft Maxwell V15.0.0進行仿真，仿真模型如圖4所示。為清晰起見，圖中沒有畫出空氣域和外磁路，實際上這兩部分都是必須的。圖中鐵芯為線性高磁導率材料，外部斷面連接到低磁阻物體以形成低磁阻回路。永磁體a=16mm，b=2mm和 c= 40mm，相對磁導率為1.05，剩磁為1.19T，無退磁效應，電導率為714000S/m。采用兩個線寬1mm的單匝方形繞組勵磁，均通以幅值為 Imax的正弦電流。三維模型和二維模型中分別設置了一個截面和一個線段(Flux Surface)，在其上分別對磁感應強度B的y軸分量積分，二維結果再乘以c，最終得到的結果分別記為 Φ3D和 Φ2D。

需要注意，能引起渦流的是磁通的交流分量，本文中的磁通值均是指磁通交流分量的幅值。

3.1 幅值特性

表1是在200Hz條件下，改變勵磁電流幅值得到的結果。表中 RI=P3D/P2D;而 RS=(P3D/P2D)/ (Φ3D/Φ2D)，這相當于用磁通交流分量幅值進行修正。在后面的計算中會發(fā)現兩個磁通有可能不同。永磁體上下側有漏磁，二維模型忽略了這個漏磁，有可能使Φ2D＞Φ3D。渦流有去磁效應，使磁通交流分量聚集在永磁體邊緣，二維模型忽略了上下處的磁通，有可能使 Φ2D＜Φ3D。通常兩個磁通差別不大。實際估算損耗時，使用 RS更加合理。此外，可以用前面簡單關系特性式(4)計算此時的 R值，為0.714，與0.748相差5%。

圖4 正弦激勵下研究模型Fig．4 Investigation models with sinusoidal excitation

表1 200Hz勵磁電流變幅值的分析結果Tab．1 Results with various Imaxat 200Hz

在更多頻率下的分析表明，RI和RS均與勵磁電流幅值、磁通交流分量幅值幾乎無關。

3.2 頻率特性

表2是在 Imax=500A條件下，改變勵磁電流頻率得到的分析結果。從表2中可以看出，隨著頻率的升高，比值也在升高。在更高頻率下，這個比值可以超過0.9，但不會超過1。

表2 500A勵磁電流變頻率的分析結果Tab．2 Results with various frequency at 500A

如圖5(只畫了上半部)所示，渦流在xz面內以環(huán)形路徑在永磁體內流動，中心處無電流，渦流從邊緣到中心近似線性遞減的。當頻率很高時，出現明顯集膚效應，渦流大量聚集在邊緣上，向內部以指數速度衰減。永磁體上下邊緣附近損耗增大，二維模型不存在上下邊緣，從而導致渦流損耗比增大。此時的強渦流還削弱了磁密的變化，導致磁通交流分量聚集在永磁體邊緣上，上下邊緣附近磁密增大，從而三維模型的磁通量在高頻下會超過二維模型的磁通量。

圖5 渦流分布圖Fig．5 Eddy current distribution

在800Hz時，三維模型中渦流電流強度是二維模型的 0.962倍;在 32kHz時，比值提高到 1.003倍，此時RI=1.167＞1，但 RS=0.955＜1。三維模型的渦流強度超過二維模型，這一超出預期的結果是由于三維模型的磁通更大，能激發(fā)更大的感應電勢。需要注意的是，在等磁通的條件下，因為三維模型的渦流回路電阻較大，其電流仍然小于二維模型的電流，此時還有RS＜1。

3.3 厚度特性

若不計漏磁，理論上，渦流損耗比與永磁體的厚度b無關。表 3是500A，200Hz條件下的分析結果。b變大時，永磁體上下表面處漏磁增多，從而RS變大，這與表中結果相符。

表3 變永磁體厚度的分析結果Tab．3 Results with various thickness of magnet

3.4 比率特性

假設b很小，磁場頻率較低，從而RA≈RS，根據渦流形狀容易推知，改變a與c但保持a與c比值不變，則RI與RS不變。定義c/a為幾何尺寸比(Geometric Aspect Ratio)，記為 RA。當 b很小且低頻時，RA與RS的關系特性稱為比率特性。

圖6是RA與RS的關系曲線。限于篇幅，表4只列出部分分析結果。表中 RA=c/a，其中 a恒等于16mm，厚度b恒等于2mm，頻率200Hz。

圖6 比率特性曲線Fig．6 Diagram of RSwith various RA

表4 比率特性部分分析結果Tab．4 Part of results with various RA

3.5 偏移特性

如果只在永磁體局部施加磁場，求出渦流損耗比，就可以得到渦流損耗比的偏移特性。

圖7(a)是偏移特性的仿真模型圖，鐵芯寬度由16mm改為2mm，二維模型也做相應修改。由于磁場不對稱，二維模型需要施加零電流條件。讓該鐵芯由邊緣向中心逐漸移動，移動距離為x，分析結果如表5所示。

表5 偏移特性分析結果Tab．5 Results with various offset

可見，鐵芯在中心處渦流損耗比最小，在邊緣處渦流損耗比最大，而且在中心處的渦流損耗比大于鐵芯與永磁體等寬情況下的渦流損耗比。渦流損耗比變大的原因是電流局部集中，上下處電流變窄，更多損耗集中于上下端面附近，而二維模型不存在上下端面。圖7(b)顯示了鐵芯在邊緣處時，永磁體內渦流分布情況(只畫了上半部)。

圖7 偏移特性仿真模型Fig．7 Model of offsetting and eddy current distribution

4 渦流損耗的估算及驗證

4.1 渦流損耗估算

前面分析了正弦激勵下渦流損耗比特性，且磁場施加于永磁體 y向。實際的激勵不一定是正弦的，而且永磁體不僅y向受磁而且x向也受磁。

假設沿z向一致的非正弦磁場施加于永磁體y向，此時RA記為RAx且RAx=c/a，通過圖6求出 RS，記為RSx，記二維和三維損耗分別為P2D和P3D。沿x向用垂直于x軸的平面把磁場分成很多份，每一份足夠細，從而每份可以看作空間均勻磁場。對每份磁場，將其對時間進行傅里葉分解，得到一系列不同幅度和頻率的正弦磁場，記 φij為第 i份磁場的第 j個時間分量。φij單獨作用于永磁體時，設二維和三維損耗分別為 P2Dij和 P3Dij。根據正弦激勵幅值特性、頻率特性、厚度特性和偏移特性可以知道P2Dij＞P3Dij≥RSxP2Dij。由于永磁體本身磁路和電路均線性，從而有 P3D=∑P3Dij，P2D=∑P2Dij，于是 P2D＞P3D≥RSxP2D。也就是說，總渦流損耗比大于等于RSx且小于1。

假設沿z向一致的非正弦磁場施加于永磁體x向，此時RA記為RAy且RAy=c/b，通過圖6求出 RS，記為 RSy。同理可知，總渦流損耗比大于等于 RSy且小于1。

當磁場高頻成分不多且分布比較均勻時，根據正弦激勵的各種特性可知上述兩種情況下的總渦流損耗比分別近似等于 RSx和 RSy。

當永磁體x向和y向都存在磁場時，由于永磁體本身磁路和電路均線性，容易推知總渦流損耗比介于上述兩種情況的渦流損耗比之間，即有

在磁場低頻且近似均勻條件下有

4.2 仿真驗證

以Prius 04電動汽車的驅動電機為實例來考察上述理論的正確性。仿真模型如圖8所示。此電機為4對極，繞組為9匝，施加250A正弦電流，轉速3000rpm，電流相量與轉子保持轉矩最大的相對角度。模型采用1/8模型，采用半周期主從邊界條件。二維模型對永磁體施加零電流條件。三維模型對永磁體施加表面絕緣條件，上下表面施加磁通平行邊界條件。由于計算機能力限制，無法較精確地對原模型求解，這里縮短電機軸向長度，記為c。永磁體b=6.48mm，c為可變量，其余所有屬性與圖6中的永磁體相同。

圖8 普瑞斯04電機模型Fig．8 Prius 04 motor model

分析結果如表6所示。限于篇幅，有些量沒有列出來。RAx=c/(16mm)，RAy=c/(6.48mm)，RSx與RSy分別由 RAx和 RAy通過圖 6得到。由于 c較小，從而 RAx與 RAy均較小。此時，電機磁場基波頻率為200Hz，頻率較低，觀察永磁體內磁通交變量分布狀況，基本滿足近似均勻條件。此時可以分別用RSyP2D和 RSxP2D作為渦流損耗估算的上界和下界。由表6可見，這個估算是正確的。

這里，由于 RAx和 RAy均較小且相差較大，從而RSx與RSy相差較大，估計范圍較寬。當 c比較大時，RAx和RAy都會較大，根據圖6可知，即使此時 RAx和RAy相差較大，RSx與 RSy依然相差較小，此時就能比較準確地估計渦流損耗的值。

表6 普瑞斯04電機損耗比分析結果Tab．6 Prius 04 loss ratio simulation results

需要指出的是，若不滿足磁場低頻和近似均勻條件，就不能認為 P2Dmin(RSx，RSy)≤P3D≤P2Dmax(RSx，RSy)，此時依然有 P2Dmin(RSx，RSy)≤P3D＜P2D。當 RAx和 RAy比較大時，RSx與 RSy本身就很大，用 P2Dmin(RSx，RSy)≤P3D＜P2D就已經能很好地估計P3D。

5 結論

通常有 P2Dmin(RSx，RSy)≤P3D＜P2D，若滿足磁場低頻和近似均勻條件，則進一步有 P2Dmin (RSx，RSy)≤P3D≤P2Dmax(RSx，RSy)。

在工程中，RAx和 RAy往往較大，此時由于計算機的內存限制，很難直接計算三維場的渦流損耗，而用 P2Dmin(RSx，RSy)≤P3D＜P2D就能夠很好地確定P3D的范圍，所得結果可以進一步用于溫度和效率的估算。

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2D-FEM estimation of eddy current loss in permanent magnets of PMSM

LIANG Si-zhuang，SHEN Jian-xin
(Zhejiang University，College of Electric Engineering，Hangzhou 310027，China)

2 dimensional finite element methods(2D FEM)have a lot of advantages，such as fast computation，high accuracy，quick convergence and little fluctuation．In order to achieve the same accuracy，3D FEM requires a(，cont．on p．75)(，cont．from p．57)mesh which contains much more elements than 2D FEM，and this is a huge challenge for most computers．However，3D FEM can directly compute eddy current loss accurately while 2D FEM cannot．Eddy current loss in permanent magnets in a permanent magnet synchronous motor(PMSM)，especially a high speed or a large power motor，can’t be neglected，and the temperature rise of the magnets should be strictly limited，otherwise demagnetization will be caused．Therefore the temperature rise must be considered when designing a PMSM．This paper aims at estimating the eddy current loss in permanent magnets by 2D FEM，with the 3D condition taken into account．An estimation method is proposed in the paper and verified by the simulation for a Prius 04 EV motor．

eddy current loss;2 dimensional finite element method;permanent magnets;geometric aspect ratio

TM351

:A

:1003-3076(2014)01-0052-06

2013-05-07

國家大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃第7期

梁斯莊 (1990-)，男，湖南籍，碩士研究生，主要研究永磁電機本體設計;沈建新 (1969-)，男，浙江籍，教授，主要研究電機及其控制。