（長春理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，吉林 長春 130022）

二維數(shù)控精密轉(zhuǎn)臺精度計算與分析

周銳琦 史國權(quán) 胡明亮

（長春理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，吉林 長春 130022）

根據(jù)二維轉(zhuǎn)鼓的生產(chǎn)要求和提出的技術(shù)指標(biāo)，對二維數(shù)控精密轉(zhuǎn)臺進(jìn)行了精度計算和分析。介紹了對轉(zhuǎn)臺精度起主要影響作用的各項誤差，得到二維數(shù)控精密轉(zhuǎn)臺的指向誤差，并對指向誤差進(jìn)行分配，得出二維數(shù)控精密轉(zhuǎn)臺三類誤差指標(biāo)。

二維數(shù)控；轉(zhuǎn)臺精度；指向誤差

1 概述

針對非規(guī)則（二維）光學(xué)轉(zhuǎn)鼓在掃描探測器中的廣泛應(yīng)用和產(chǎn)量需求，自主研發(fā)能夠和Ultraform250超精密切削機(jī)床配套使用的二維數(shù)控精密轉(zhuǎn)臺夾具。

由于二維數(shù)控精密轉(zhuǎn)臺是針對非規(guī)則光學(xué)轉(zhuǎn)鼓的高效、高質(zhì)量飛切加工的，在加工過程中，產(chǎn)生加工誤差的因素很多。如果對轉(zhuǎn)鼓規(guī)定一系列技術(shù)指標(biāo)，那么轉(zhuǎn)臺的有關(guān)誤差對轉(zhuǎn)鼓的技術(shù)指標(biāo)的影響是很大的。因此，要盡可能設(shè)法減少這些誤差，所占的比重越大，留給補(bǔ)償其他各類誤差的空間就越小。其結(jié)果不是降低零件的加工精度，就是增加加工難度。根據(jù)所生產(chǎn)轉(zhuǎn)鼓的技術(shù)指標(biāo)：平行度誤差15角秒，傾角誤差20角秒，轉(zhuǎn)角誤差20角秒，對轉(zhuǎn)臺結(jié)構(gòu)的精度進(jìn)行逆推，經(jīng)過計算得出轉(zhuǎn)臺各主要誤差指標(biāo)。

2 轉(zhuǎn)臺的系統(tǒng)誤差

由于轉(zhuǎn)臺的結(jié)構(gòu)是二維數(shù)控工藝裝置夾具結(jié)構(gòu)，對靜態(tài)條件下的轉(zhuǎn)臺性能指標(biāo)要求比較高，下面對轉(zhuǎn)臺精度起主要影響作用的各項誤差給出定義 ：

回轉(zhuǎn)誤差是指各軸在進(jìn)行轉(zhuǎn)動時，軸端的運(yùn)動軌跡所形成的包絡(luò)線擺動范圍的最小圓錐角度。它能夠直接影響軸的空間指向。

垂直度誤差是指轉(zhuǎn)臺空間直角坐標(biāo)系中兩軸軸線之間的實(shí)際空間夾角與90°角的差值。

位置誤差是指在靜止?fàn)顟B(tài)下，轉(zhuǎn)臺的實(shí)際位置和理想位置的差值。

圖1 二維數(shù)控精密轉(zhuǎn)臺指向誤差示意圖

3 二維數(shù)控精密轉(zhuǎn)臺的指向誤差

3.1 指向誤差的定義（見圖1）

轉(zhuǎn)臺的指向誤差指的是在橫滾軸上確定一個單位向量λ0，當(dāng)轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動一定的角度后，轉(zhuǎn)臺的理想指向λ1與實(shí)際指向λ2之間的角度偏差指向誤差實(shí)際上是一種空間角度誤差，能夠直接反應(yīng)出轉(zhuǎn)臺的定位精度。在三維空間坐標(biāo)中的單位向量的指向誤差如圖1所示。

指向誤差的空間幾何意義可以這樣描述：設(shè)與橫滾軸軸線重合的一個單位向量λ0，按照歐拉變換的順序，將橫滾軸和方位軸依次旋轉(zhuǎn)一定角度，則單位向量λ0回轉(zhuǎn)到一個新的位置，在新的方向上得到新的單位向量λ1，則有：

式中，R0（Ω）為歐拉變換矩陣。

可是，二維數(shù)控精密轉(zhuǎn)臺在做回轉(zhuǎn)運(yùn)動時，會存在一系列的誤差E，這會導(dǎo)致單位向量λ0經(jīng)過兩軸回轉(zhuǎn)后，達(dá)不到預(yù)期的位置，也就得不到新的單位向量λ1，而是得到了單位向量λ2，正因為這些誤差的存在，可推出公式：

這里誤差E代表各個誤差，它主要由三類誤差組成:軸之間的垂直度誤差

α，軸的回轉(zhuǎn)誤差β，以及軸的位置誤差γ，則有：

那么指向誤差則可表示為由單位向量λ1和單位向量λ2兩個向量差的模長△Φ：

3.2 指向誤差的算法

下面通過矩陣形式，把指向誤差的公式求解出來。

轉(zhuǎn)臺兩軸依次繞X，Z軸轉(zhuǎn)動X1，X2角度，在沒有誤差的情況下，單位向量λ0將變成λ1：λ1= R0（Ω）λ0，其中

由于存在誤差因素E，單位向量λ0會變成λ2。設(shè)垂直度誤差α1；回轉(zhuǎn)誤差β1， β2；位置誤差γ1，γ2。在轉(zhuǎn)動兩軸時，根據(jù)軸的三類誤差，得到指向轉(zhuǎn)換所產(chǎn)生的中間變量的歐拉變換矩陣：

X軸轉(zhuǎn)動X1角度時，產(chǎn)生位置誤差γ1和回轉(zhuǎn)誤差β1:

Z軸轉(zhuǎn)動x2角度時，產(chǎn)生位置誤差γ2和回轉(zhuǎn)誤差β2：

兩軸之間垂直度誤差α1:

于是，得到含有三類誤差的變換矩陣為

進(jìn)而可以用公式（4），求出指向誤差△Φ。

4 轉(zhuǎn)臺的指向誤差分配

由于指向誤差受正交性誤差α，回轉(zhuǎn)誤差β和定位誤差γ三類誤差的影響，但三類誤差對指向誤差的影響程度不同。所以要對指向誤差進(jìn)行分配。

根據(jù)控制變量法，可計算出三類誤差對指向誤差的影響程度。當(dāng)垂直度誤差變化時，分別取值0″，1″，2″，3″，4″，5″得到各自的實(shí)際指向，再計算相鄰兩個實(shí)際指向的余弦值，從而得到相鄰兩個實(shí)際指向的夾角。

根據(jù)公式:

得到相鄰兩個實(shí)際指向的夾角：

＜0″，1″＞=0.9999″；

＜1″，2″＞=0.9999″；

＜2″，3″＞=1.1339″；

＜3″，4″＞=0.8720″；

＜4″，5″＞=0.9999″

同理，當(dāng)回轉(zhuǎn)誤差和定位誤差變化時，利用同樣的方法，觀察實(shí)際指向的變化情況。則計算得出以下結(jié)論：

回轉(zhuǎn)誤差每增加1角秒，指向誤差大約增加1.4角秒；而垂直度誤差和定位誤差每增加1角秒，指向誤差均大約增加1角秒左右。

根據(jù)三類誤差對指向誤差的影響，采用加權(quán)方法對三類誤差進(jìn)行誤差分配，設(shè)

其中，M、N、L為加權(quán)系數(shù)。

為了讓產(chǎn)生指向誤差的三類誤差對指向誤差的影響具有相同的程度，則可確定加權(quán)系數(shù)為M=1，N=0.71，L=1。

由于三類誤差均對轉(zhuǎn)角誤差、傾角誤差有影響，那么就可以把加權(quán)系數(shù)代入，從而計算出三類誤差。因為要保證轉(zhuǎn)鼓相鄰的兩個加工面的轉(zhuǎn)角誤差不大于20角秒，需要把各個面的加工誤差控制在10角秒以內(nèi)。計算得到橫滾軸和方位軸的三類誤差指標(biāo)分別為：回轉(zhuǎn)誤差2.6角秒，定位誤差3.7角秒，垂直度誤差3.7角秒。同樣，方位軸在轉(zhuǎn)動過程中，也要保證每次回轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的傾角誤差在10角秒以內(nèi)，則前面計算得到的三類誤差滿足要求。根據(jù)加工轉(zhuǎn)鼓的加工工序可知道，加工完一個面后，需要轉(zhuǎn)動橫滾軸180°，所以影響轉(zhuǎn)鼓平行度誤差的是橫滾軸的回轉(zhuǎn)誤差和定位誤差。由于橫滾軸每次轉(zhuǎn)動時產(chǎn)生的誤差要控制在7.5角秒以內(nèi)，而前面計算出來的回轉(zhuǎn)誤差和定位誤差之和小于這一數(shù)值，則滿足轉(zhuǎn)鼓的加工要求。

結(jié)語

本文通過對二維數(shù)控精密轉(zhuǎn)臺的精度計算和分析，確定了對轉(zhuǎn)臺精度起主要影響作用的三類誤差指標(biāo)。計算結(jié)果表明：三類誤差對指向誤差的影響程度不同。根據(jù)這一結(jié)論，對誤差進(jìn)行分配。本文的結(jié)論可作為轉(zhuǎn)臺精度的技術(shù)要求，為轉(zhuǎn)臺的設(shè)計提供依據(jù)，因此對轉(zhuǎn)臺的制造具有重要的指導(dǎo)意義。

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V216 < class="emphasis_bold"> 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

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