豐關(guān)堂?沈瑜

在數(shù)學(xué)新課教學(xué)過(guò)程中，前后內(nèi)容聯(lián)系往往是承上啟下具有邏輯關(guān)系的。因此，在新知授課時(shí)設(shè)計(jì)幾個(gè)彼此關(guān)聯(lián)的、具有啟發(fā)性的系列問(wèn)題來(lái)激發(fā)學(xué)生的“探究欲”，逐步達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。在激發(fā)了學(xué)生的探究欲后，我們還應(yīng)該尊重學(xué)生的探究成果，站在學(xué)生的角度分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。這種基于尊重學(xué)生探究的課堂引入往往比直接傳授效果好得多。

下面，以“兩角差的余弦公式”（必修4第三章3.1）的第一節(jié)課作為課堂教學(xué)引入案例，闡述筆者的教育理念和操作辦法。

課堂引入的過(guò)程實(shí)錄

教師：cos（α-β）=cosα-cosβ 嗎？cos（600-300）=cos600-cos300 嗎？為什么？

學(xué)生：不成立。

左邊cos（600-300）=cos300= ，右邊cos600-cos300=，顯然左邊≠右邊。

教師：如何用α、β的正弦、余弦來(lái)表示cos（α-β）呢？

教師：先對(duì)簡(jiǎn)單的進(jìn)行討論，以 x軸非負(fù)半軸為始邊分別作角α、β交單位圓于A、B兩點(diǎn)。

不妨設(shè)00<β<α<900 。則∠AOB=α-β ，則cos（α-β）=OC。

用兩種方法表示同一個(gè)量從而建立等量關(guān)系式，是我們數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到的技巧?，F(xiàn)在的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段OC有其他的表示嗎？可不可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指钅兀?/p>

過(guò)D點(diǎn)作AO的垂線(xiàn)，垂足為E，在Rt△EOD中，OE=OD·COSα=COSβ·COSα 。

學(xué)生：如果角α在第二象限，β 在第一象限呢？

教師：自己動(dòng)筆試一試。

學(xué)生：動(dòng)筆推導(dǎo)。

教師：上面的推導(dǎo)過(guò)程很麻煩，你還有其他好的推導(dǎo)方法不？（學(xué)生思考討論）

學(xué)生：α-β與OA、OB的夾角有關(guān)。

教師：夾角的余弦值可以怎么處理？

學(xué)生：兩個(gè)向量的數(shù)量積。

教師：兩個(gè)向量是哪兩個(gè)呢？

學(xué)生： 、 。

教師：接下來(lái)我們從平面向量的數(shù)量積的角度給出cos（α-β）的一個(gè)推導(dǎo)。

一方面：根據(jù)數(shù)量積的定義：·=||·||·COS﹤，﹥=COSθ，（與的夾角為θ）。那么θ與α-β有什么關(guān)系呢？

學(xué)生：θ=α-β+2Kπ 。

教師：我們有了·=cos（α-β），一樣的思想，兩種方法表示同一個(gè)量，· 還能怎么表示？

學(xué)生：坐標(biāo)表示。=（cosα，sinα） ，=（cosβ，sinβ） ，·=cosα·cosβ+sinα·sinβ 。

從而有：cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ。

以往同樣內(nèi)容的課堂引入用時(shí)很短，直接進(jìn)行公式推導(dǎo)，目的就是讓課堂留有較多時(shí)間進(jìn)行公式應(yīng)用舉例與練習(xí)，以提高公式應(yīng)用能力。顯然，本節(jié)課的引入與以往的明顯不同了，一改老師一味給予，學(xué)生就公式進(jìn)行應(yīng)用練習(xí)的沉悶課堂，二改單向的教學(xué)活動(dòng)為雙向的教學(xué)互動(dòng)，師生情感交融，課堂氛圍活躍了。從問(wèn)題意識(shí)滲透到解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)，新課改的數(shù)學(xué)教育理念得到了充分體現(xiàn)，收到了比較好的教學(xué)效果。

當(dāng)然，本節(jié)課還存在著諸多不足。

第一，因?yàn)榕R時(shí)改變備課計(jì)劃，所以備課不夠充分。當(dāng)時(shí)備課只考慮將角特殊化到銳角的情況其余不加以推廣，但課上有學(xué)生主動(dòng)提出一個(gè)是第二象限角另一個(gè)是第一象限角的情況，所以才有了上述推導(dǎo)。第一種推導(dǎo)方法是聯(lián)系三角函數(shù)線(xiàn)，數(shù)形結(jié)合的思想，平面幾何的套路，推導(dǎo)過(guò)程較為繁瑣。因時(shí)間方面的限制，第二種向量的推導(dǎo)方法講的過(guò)快。事實(shí)上，該方法較簡(jiǎn)單，且與高中知識(shí)銜接更為緊密。而在課后交流中也可以發(fā)現(xiàn)：學(xué)生自己對(duì)比操作后，更能記住向量的推導(dǎo)方法。

第二，細(xì)節(jié)方面的處理不夠到位。一方面，角特殊化過(guò)程中忽略了直角的教學(xué)，也就導(dǎo)致推廣后未提及軸線(xiàn)角。另一方面，在角α在第二象限，β在第一象限的推導(dǎo)過(guò)程中忽略了兩角終邊互相垂直的情況。

第三，大部分學(xué)生在給出一個(gè)結(jié)論后是有能力模仿推導(dǎo)的，但在公式推導(dǎo)嚴(yán)謹(jǐn)性上的追問(wèn)是比較少同學(xué)可以注意到的。

第四，由特殊到一般的思想方法很有層次性，難度較大。就本節(jié)課而言，在α、β位置關(guān)系討論時(shí)，學(xué)生不假思索的將角特殊化到兩銳角，好一點(diǎn)的學(xué)生可以注意到鈍角，只有個(gè)別同學(xué)會(huì)推廣到象限角，更別說(shuō)是任意角。

第五，學(xué)生在兩角差余弦公式的推導(dǎo)過(guò)程中，純粹是將三角函數(shù)直接轉(zhuǎn)化為平面幾何中線(xiàn)段的分割問(wèn)題，三角函數(shù)的符號(hào)問(wèn)題是容易被忽略的。

每位學(xué)生都是一個(gè)個(gè)獨(dú)立的個(gè)體，在探索問(wèn)題時(shí)必然有多種方式，不可能每位學(xué)生都沿著老師預(yù)設(shè)的正確的道路走。在備課時(shí)，我們還應(yīng)該想學(xué)生所想，設(shè)想各種可能出現(xiàn)的情況，做好多個(gè)預(yù)案。這樣才能從容的面對(duì)學(xué)生，站穩(wěn)講臺(tái)。

用好教材不是照本宣科，照搬它的方法或問(wèn)題解法，而是在理解教材的基礎(chǔ)上深挖數(shù)學(xué)教育思想，突出學(xué)生主體地位，尊重學(xué)生的思維選擇。在教學(xué)活動(dòng)中，我們應(yīng)該耐心地幫助學(xué)生完成他們的探究，在他們的路上試著走一走也許會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)、新的突破，產(chǎn)生心靈共鳴，進(jìn)入高一層面的數(shù)學(xué)思維。因此，在基于尊重學(xué)生探究的課堂引入方面多作研究，多加實(shí)踐，我們的數(shù)學(xué)課堂會(huì)更加精彩、更加有效。