陳六一

（陽山實驗小學(xué)校 江蘇 蘇州 215151）

一、引言

2013年12月3日，PISA2012在全球65個國家和地區(qū)同步揭曉評比結(jié)果，第二次參加該項目測評的上海學(xué)生再次登上“世界第一”。接著2014年上半年，英國教育大臣、芬蘭教育代表團相繼來上?！叭〗?jīng)”。這激起了筆者對小學(xué)生數(shù)學(xué)成就的研究興趣，于是翻閱TIMSS的研究成果，并結(jié)合自己數(shù)次親歷的美國小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，發(fā)現(xiàn)中國，乃至受中國文化影響的新加坡、日本、韓國等國家和中國臺灣地區(qū)的小學(xué)生，數(shù)學(xué)成績一直遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過美國。IEA研究者們認(rèn)為產(chǎn)生這種差距的原因主要有以下幾種：文化背景的差異，比如家長的期望，“數(shù)·詞”體系；小學(xué)體制，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時間；數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容及其安排。[1]可是，通過觀察美國的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，以及與美國同行的交流，發(fā)現(xiàn)“學(xué)習(xí)差距”不僅僅局限于學(xué)生。換句話說，也就是教師對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識，直接影響著數(shù)學(xué)的教與學(xué)。

訪談以退位減法為例，請看這幾個題目：

你會怎樣教學(xué)生做這樣的題目？你覺得學(xué)生在學(xué)習(xí)退位減法之前，需要具備怎樣的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)技能？

二、美國小學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)認(rèn)識

1.知識理解——注重計算程序

A教師：42-7，學(xué)生要知道不能從2中直接減去7，那么就要從十位上借一個10來，所借的1，它等于10，如果把4劃掉，把它變成30，現(xiàn)在就是12-7=5，那么左邊就剩下3，把它挪下來。

B教師：不能從較小的數(shù)中減去較大的數(shù)，學(xué)生必須從鄰位中借，因為鄰位中有更多。打個比方就是，如果你沒有足夠的個位數(shù)，你可以到朋友那里去借，朋友那兒有許多。

32位美國教師的問卷，有26位（81.25%）關(guān)注計算程序。這些小學(xué)數(shù)學(xué)教師希望他們的學(xué)生學(xué)會如何執(zhí)行兩個特別的步驟：從十位上拿1個10來，然后把它換成10個1；并把“拿”這個步驟稱之為“借數(shù)”。根據(jù)“所借的1等于10”的現(xiàn)實，他們解釋第二個步驟為“變”。從這里可以看出他們對教學(xué)法的理解：一旦學(xué)生能夠正確執(zhí)行這兩個關(guān)鍵步驟，就能正確地完成整個計算。

有5位（15.63%）教師如C、D老師所述，則期望他們的學(xué)生不僅僅學(xué)會計算過程，也要學(xué)會運算法則蘊含的數(shù)學(xué)基本原理。這些方法強調(diào)：在“拿”的背后是重組，在“變”的背后是轉(zhuǎn)換。

C教師：學(xué)生必須理解42的意思……我會出示數(shù)字42，以及3個十和12個一，等于42。我會在兩者之間進(jìn)行比較，因為在你重組時知道的不是那么多，必須理解的是重組部分。一開始就是這個重組。

D教師：學(xué)生必須理解如何進(jìn)行轉(zhuǎn)換?？衫?0進(jìn)制的積木玩具，得到一個具體的數(shù)：10，例如按十進(jìn)制，在個位上，10個1和1個10是相等的。學(xué)生要習(xí)慣于在位值內(nèi)部進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即實際的值不發(fā)生變化，但是進(jìn)行了轉(zhuǎn)換。

教師期望學(xué)生所知道的，其實與教師自己的知識理解相關(guān)。一如前文的26位教師，僅僅希望學(xué)生學(xué)會計算過程，這樣學(xué)生收獲的往往也就只是過程性的理解。何況“不能從較小的數(shù)中減去較大的數(shù)”是一個錯誤的斷論。盡管低年級的學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)如何從較小的數(shù)中減去較大的數(shù)，但這并不意味著數(shù)學(xué)上沒有這個事實。這個高級的技能不要求在低年級教學(xué)，可也不能因為強調(diào)了錯誤觀念而引起學(xué)生將來學(xué)習(xí)的混亂。

把被減數(shù)中的兩個阿拉伯?dāng)?shù)字比作鄰居或朋友，是另一種數(shù)學(xué)上的誤導(dǎo)，這暗示了被減數(shù)中的兩個阿拉伯?dāng)?shù)字是獨立的兩個數(shù)，而不是一個數(shù)的兩個部分。

再者，“借數(shù)”的解釋暗含著又一個錯誤：在計算中數(shù)的值不一定要保持不變，而是可以任意改變——如果一個數(shù)太小了，由于某種原因需要增大一些，就可以從另一個數(shù)那里“借”一定的值來。

E教師：你們認(rèn)為，從42中，能否拿出一個數(shù)字27？如果可以，那么用2減去7，我們做得到嗎？這兒是2，我直觀地表示出 1，拿走 7，1，2。不夠。那么我們能做什么呢？我們可以到這個數(shù)的另一個部分，拿我們能用的東西，即從另一邊取來，拿到我們需要幫助的個位，讓2變成12。

而E教師則排除了上面說的那些錯誤理解，在E教師的闡釋中，42-27不是獨立的兩個過程：2-7，40-20。計算是一個有機的整體：“從四十幾中，拿走二十幾?！辈皇恰安荒軓妮^小的數(shù)中減去較大的數(shù)”，而是低年級學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實理解：“可以到這個數(shù)的另一個部分，拿我們能用的東西。”注意：“這個數(shù)的另一個部分”和“另一個數(shù)”，所表達(dá)的數(shù)學(xué)意義有著質(zhì)的區(qū)別。但是，這樣的數(shù)學(xué)知識理解，只占了問卷總數(shù)的3.12%。

2.教學(xué)策略：為操作而操作

教學(xué)42－27=？[2]

學(xué)生操作1：

（1）擺4鏈（每鏈10個回形針）和2個回形針在桌上，把其中一鏈拆開，成3鏈與12個。

（2）取走2鏈與7個回形針。

（3）數(shù)一數(shù)，剩下多少個，并且決定剩下的要排成一鏈加5個或是15個。

學(xué)生操作2：

（1）擺4鏈和2個回形針在桌上。

（2）再擺2鏈與7個回形針在桌上。

（3）為了使42個與27能互相配合計算，42里面要有一鏈被拆散。

（4）拆散42中的一鏈，回形針成為3鏈與12個。

（5）兩組對齊后，各取走7個單獨的回形針。

（6）兩組對齊后，各取走2鏈回形針。

（7）數(shù)一數(shù)，羅拉比金吉多了一鏈加5個即15個回形針。

學(xué)生操作3：

（1）擺4鏈和2個回形針在桌上。

（2）擺2鏈和7個回形針在桌上。

（3）為了使42能與27個配合，42里面的一鏈必須拆散。

（4）拆散42中的一鏈，成3鏈12個。

（5）將兩組中的鏈和單個的回形針配對。

（6）數(shù)一數(shù)，克拉蒂還需要一鏈加5個或單獨15個回形針。

很明顯，美國教學(xué)案例中學(xué)生通過具體的學(xué)具操作，既獲得了運算的意義，輔以大量的時間，又保證兒童尋找到自己的解，并在學(xué)具操作中完成計算。如同美國同行們的解讀：“通過參與性的經(jīng)驗活動，操作性工具會比僅僅講述能更好地促進(jìn)學(xué)習(xí)。”然而，好的交通工具不一定能保證到達(dá)正確的目的地。因為學(xué)者們已經(jīng)注意到，為了促進(jìn)對數(shù)學(xué)的理解，教師有必要幫助學(xué)生把操作性工具和數(shù)學(xué)思想之間的聯(lián)系清晰地表達(dá)出來。

所以教師要適當(dāng)組織教學(xué)：“如果把1個鏈子打開，將會發(fā)生什么？我們會有多少個1？用哪種方式可以進(jìn)行減法？”乃至追問：“你們現(xiàn)在告訴我，你有沒有在42上填什么或者去掉什么？4個10和2個1，與3個10、12個1是相同的，那么當(dāng)你從中取走27個時會發(fā)生什么？”

三、中國小學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)認(rèn)識

1.知識分析——退一法

趙老師：我會告訴學(xué)生，當(dāng)你在計算42-27這樣的問題時，首先要把數(shù)字排列起來，從個位開始減起。因為要從2中減去7不夠減，應(yīng)該從十位退1個10來把它變成10個1。再把這1個10加到個位就得12；用12-7=5；然后轉(zhuǎn)到十位，由于十位上的4已經(jīng)借走1個10給個位，所以只剩下3個10，用3-2=1，把它放在十位上。

趙老師的解釋和美國的A、B教師相似，注重的是運算法則的具體步驟，沒有顯示出對原理的關(guān)注。但中國教師持有這種計算程序性取向的比率，比美國要小得多，如圖1所示。不過，中國教師都會運用一個做減法重組的特定詞語：“退一”。

錢老師：我會從一個直截了當(dāng)?shù)臏p法開始，如42-21=？在學(xué)生解決這個問題后，我把問題變成42-27=？這個問題與第一個問題的不同點在哪里？在計算新問題時會發(fā)生什么？學(xué)生很快會發(fā)現(xiàn)7比2大，沒有足夠的個位數(shù)去減。見機我會說好，但有時我們個位數(shù)太多了，你們應(yīng)該記得上周我們利用進(jìn)位做加法，那時我們做了什么？學(xué)生會說“滿十進(jìn)一”。我接著說，那么當(dāng)我們沒有足夠的個位數(shù)去減時怎么辦？可以從十位退一。如果把40中的一個十退位了，會發(fā)生什么？用這種方式我就會引入“退1成為低位上的10”。

孫老師：要在42中減去7，沒有足夠的個位數(shù)怎么辦？42顯然大于7。42中的個位數(shù)在哪里？學(xué)生會說42中的其他個位數(shù)被組合成十位數(shù)了。然后我會問我們可以做些什么，得到足夠的個位數(shù)字來減去7。通過回憶，學(xué)生會有分解一個10的想法。

圖1 教師對于利用重組做退位減法的理解

把“拿”的步驟描述為“退一”，比“重組”的解釋更全面。因為在使用“退一”的概念時，減法過程是以一種表明了它與加法運算的關(guān)聯(lián)方式來闡述的，這不僅為減法學(xué)習(xí)提供更多的表征支持，而且強化了學(xué)生之前的學(xué)習(xí)。而且，中國教師除了像美國教師注重“重組”那樣強調(diào)1個10由10個1組成，近一半的中國教師還提到了一個重組數(shù)字前的一個概念：進(jìn)率。這些教師主張：學(xué)生應(yīng)該清楚“1個10里有多少個1”和“百位與十位、十位與個位的進(jìn)率是多少”的答案一致。

形如把42拆成30和12，是所有美國教師的標(biāo)準(zhǔn)方式，無人超越這個方式。但是，不乏有中國教師指出，這不是進(jìn)行減法計算的唯一正確途徑，圍繞著“退一”原理，教師們討論了各種各樣的重組方式。

李老師：42-27=30+10+2-20-7=（10-7+2）+（30-20）=15。這種方式的好處在于從10中減去7比從12中減去7容易些，而且這個程序中所包含的加法不涉及進(jìn)位，所以非常簡單。

周老師：42-27=42-2-5-20=40-5-20=35-20=15。這樣把27拆成20、2、5三個數(shù)值，那么42-2不用退位，40-5和35-10與學(xué)生思維都是很簡單。

2.教學(xué)策略：系列水平動作

教學(xué)42-27=？

[教師出示4捆小棒（每捆10根）和2根小棒]

師：這些小棒表示幾？

生：42。

師：要從42里去掉27，就是42減27（板書：42－27=？），個位上夠減嗎？

生：不夠減。

師：個位上不夠減，怎么辦？請小朋友拿出小棒，動動腦筋，想想辦法，個位上怎么減去7呢？

（學(xué)生操作，教師巡視。）

師：現(xiàn)在老師請小朋友來匯報一下，你想出了什么好辦法？

（在學(xué)生回答的同時教師示范操作。）

師：個位不夠減7，從4捆小棒中取出1捆，也就是從十位退1。十位上的1退到個位上是幾？為什么？

生：是10，因為1個10是10個1。

師：個位上的2不夠減7，從十位退1，在個位上加10再減。個位上10加2等于12，12減7等于5，個位上寫5，十位上4退1還有3，3-2=1。所以42減27等于15。

（教師小結(jié)并板書：個位不夠減，從十位退1，在個位上加10再減。）

其實，中國小學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)“42-27”之前，已經(jīng)把“20以內(nèi)的減法”的教學(xué)，當(dāng)作“退一”需要的減法重組概念過程基礎(chǔ)。所以教學(xué)中，教師提出：“個位上不夠減，怎么辦？請小朋友拿出小棒，動動腦筋，想想辦法，個位上怎么減去7呢？”學(xué)生的思維能快速聚焦“個位上的2不夠減7，從十位退1，在個位上加10再減?！?/p>

也就是說，減法中的重組思想，把高位退一到低一位當(dāng)十，是通過一系列的水平動作完成的。此案例教學(xué)之后就是被減數(shù)是三位數(shù)和更多位數(shù)，且新的水平動作又是連續(xù)的分解，比如208-15，203-18，1000-18。

在美國，諸如“9+3”“16-7”這樣的問題，被認(rèn)為是“基本的算術(shù)事實”，僅僅需要記憶即可。而在中國，概念的“種子”，早在第一個水平——“20以內(nèi)的減法”就出現(xiàn)了。

同時觀察課堂，盡管發(fā)現(xiàn)中國教師用到教具、學(xué)具的頻率比美國教師少，但他們認(rèn)為操作了，就要像課例中就活動操作要進(jìn)行必要的討論、報告、展示、辯論，如上文中所述，“現(xiàn)在老師請小朋友來匯報一下，你想出了什么好辦法？”再例如吳老師談了他在開學(xué)之初的一次教學(xué)討論，又在學(xué)期結(jié)束進(jìn)行了思辨。

吳老師：計算42-27，利用教學(xué)具的時候，學(xué)生是從高位開始的，先從42中拿去20，再拿去7。這如同日常生活，付10元錢買了3元6角的東西，我們先減3元，再減6角。從學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實經(jīng)驗來看，學(xué)校里的正式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)似乎更加復(fù)雜，而且意義更少。當(dāng)我們在本子上演算就會發(fā)現(xiàn)，從十位開始的話，我們在十位上先得到一個差2，然后轉(zhuǎn)到個位上，我們就又要改變剛剛所得到的差。如果我們一開始從個位開始計算，這個麻煩就可以避免了。然而這種解釋只能解決一半的問題——用豎式計算為什么從個位算起。由于學(xué)生還沒有看出這種標(biāo)準(zhǔn)算法的明顯好處，我建議他們保留疑惑。期末，再次討論時，學(xué)生們很快發(fā)現(xiàn)，在遇到更大的數(shù)的時候，標(biāo)準(zhǔn)方式對絕大多數(shù)問題而言，優(yōu)勢更加突出。

如果吳老師的數(shù)學(xué)認(rèn)識與教學(xué)策略，僅是停留在為操作而操作階段，那么很難想象他會引導(dǎo)學(xué)生達(dá)到這樣的數(shù)學(xué)理解。

四、結(jié)論及討論

問卷、訪談與課堂觀察的結(jié)果，揭示了教師們對于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容所擁有的知識不夠充足，美國教師為甚。以退位減法為例，81.25%的美國小學(xué)數(shù)學(xué)教師和17.50%的中國小學(xué)教師，只擁有計算程序性知識，他們的理解僅僅局限于運算法則的表面——拿和換的步驟。正是這種數(shù)學(xué)認(rèn)識的局限性，限制了他們在課堂中促進(jìn)學(xué)生概念性學(xué)習(xí)的能力。

雖然操作教學(xué)具，是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一種重要手段，但決定學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量，還是要依賴于教師認(rèn)為學(xué)生應(yīng)該學(xué)會的概念。與美國教師形成鮮明對照的是，絕大多數(shù)中國教師在活動操作之后，會進(jìn)行班級討論，這個教學(xué)策略使得學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能得以同化與順應(yīng)，使得新舊知識得以平衡，不是為了操作而操作。

通過退位減法的問卷與訪談，教師所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)認(rèn)識模型，有一元單項表述，也有多元系列水平動作。結(jié)合課堂教學(xué)觀察，系列水平動作的教學(xué)更符合布魯納的研究：“掌握某一學(xué)科的結(jié)構(gòu)以理解這個學(xué)科，可以使許多其他事物與該學(xué)科有意義地聯(lián)系起來。簡而言之，學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是如何關(guān)聯(lián)的。”[3]誠如布翁所言，教師若能夠把數(shù)學(xué)系列水平的概念種子放入到階段教學(xué)中，不僅能促進(jìn)現(xiàn)在的數(shù)學(xué)知識表征，而且“大量的遷移是可以實現(xiàn)的，甚至可以達(dá)到如此程度，即在適宜條件下恰當(dāng)?shù)貙W(xué)習(xí)可以使人‘學(xué)會怎樣學(xué)習(xí)’，這確實是事實?！盵4]▲

[1]馬立平.小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握和教學(xué)[M].李士锜，吳穎康,等，譯.上海:華東師范大學(xué)出版社，2013:19.

[2]Marjorie J W.創(chuàng)意教學(xué)策略[M].呂金燮，譯.臺北:洪葉文化事業(yè)有限公司，1998:207-230.

[3][4]Jerome Bruner.布魯納教育文化觀[M].宋文里，黃小鵬，譯.北京:首都師范大學(xué)出版社，北京：2011:24,25.