王惠平，韓 華，李 艷

(武漢理工大學(xué) 理學(xué)院，湖北 武漢430070)

證券投資組合，是由投資者對(duì)各種證券資產(chǎn)的選擇而形成的，它的意義在于以多種證券作為投資對(duì)象，采取適當(dāng)?shù)姆椒ǎ谶_(dá)到預(yù)期收益的前提下使投資的風(fēng)險(xiǎn)最小，或者在控制風(fēng)險(xiǎn)的前提下使收益最大。MARKOWITZ［1］的均值-方差模型對(duì)于投資組合領(lǐng)域的研究具有開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，但由于其在實(shí)際應(yīng)用中的計(jì)算量大并且非常復(fù)雜，至今在解決大規(guī)模證券投資組合問題中尚未得到廣泛應(yīng)用。近年來有一些學(xué)者探討了投資組合樣本的選擇問題，一般選取市場代表性好，流動(dòng)性高，具有代表性的行業(yè)的證券作為投資組合的樣本。劉紅明［2］認(rèn)為滬深300 指數(shù)覆蓋了大部分流通市值，能夠反映市場主流投資的收益情況，因此選取滬深300 指數(shù)中數(shù)據(jù)相對(duì)比較完整的200只股票的日收益率作為投資組合的樣本。蔡冰晶［3］認(rèn)為股票在選擇的時(shí)間段內(nèi)(1995—2010年)的交易數(shù)據(jù)相對(duì)比較完整，更符合均值-方差模型的市場假設(shè)，因此在A 股市場中隨機(jī)選取10 只屬于不同行業(yè)的股票作為投資組合的樣本。王貞［4］認(rèn)為滬深300 指數(shù)可以近似反映中國股市的漲跌情況，因此選擇滬深300 指數(shù)下的300 只股票的周收益率作為投資組合的研究對(duì)象。徐緒松等［5］選取在各行業(yè)中具有代表性的15 只股票作為投資組合的樣本。郭海峰等［6］為了使投資者具有更多的投資選擇，選取不同行業(yè)的20 只股票的100 個(gè)周收盤價(jià)數(shù)據(jù)作為樣本。TOLA［7］運(yùn)用紐約交易所的大多數(shù)被資本化的150 只股票數(shù)據(jù)構(gòu)建投資組合。RUPAK 等［8］選取孟買證券交易所能代表12 個(gè)主要行業(yè)的30 只股票作為投資組合的樣本。

金融市場是一個(gè)具有相互作用單元的復(fù)雜系統(tǒng)，在金融研究中，相關(guān)系數(shù)矩陣在構(gòu)建金融網(wǎng)絡(luò)中起著很關(guān)鍵的作用，在研究投資組合優(yōu)化中也是非常重要的。但在實(shí)證的相關(guān)系數(shù)矩陣中會(huì)包含大量的噪聲信息，這將對(duì)研究網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和投資組合優(yōu)化造成一定的影響。因此基于隨機(jī)矩陣?yán)碚撊コW(wǎng)絡(luò)中的“噪聲”信息是必要的。

在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究中，網(wǎng)絡(luò)中的社團(tuán)可以看作大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)的一種降維方式，社團(tuán)對(duì)應(yīng)著金融系統(tǒng)中擁有共同角色或者特征的團(tuán)體。通過尋找和研究網(wǎng)絡(luò)中的社團(tuán)結(jié)構(gòu)，可以幫助人們更容易地對(duì)網(wǎng)絡(luò)的整體與各個(gè)區(qū)塊間的聯(lián)系進(jìn)行理解，進(jìn)而對(duì)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì)進(jìn)行研究。筆者首先基于隨機(jī)矩陣?yán)碚搶?duì)相關(guān)系數(shù)矩陣進(jìn)行改進(jìn)，構(gòu)建金融網(wǎng)絡(luò)，再利用GN 算法劃出網(wǎng)絡(luò)的社團(tuán)，尋找出網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵社團(tuán)，最后以關(guān)鍵社團(tuán)為研究對(duì)象，運(yùn)用原始矩陣和隨機(jī)矩陣“去噪”后的相關(guān)系數(shù)矩陣分別構(gòu)建投資組合的均值-方差模型，對(duì)“去噪”前后投資組合的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行比較。

1 金融網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建

1.1 相關(guān)系數(shù)

網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)代表股票，邊代表股票之間的相關(guān)性。Pi(t)為第i只股票在時(shí)間t時(shí)的收盤價(jià)格，股票i的對(duì)數(shù)收益率的定義如下：

任意兩只股票i和j的皮爾遜相關(guān)系數(shù)為：

其中：＜… ＞為統(tǒng)計(jì)平均;ρij的取值范圍為［-1，1］。若兩只股票完全負(fù)相關(guān)，則ρij= -1;若兩只股票完全正相關(guān)，則ρij=1;若兩只股票不相關(guān)，則ρij=0。利用式(1)和式(2)可以得到股票市場的股票相關(guān)系數(shù)矩陣C，其大小為N×N，其中的元素是由ρij組成的。

1.2 基于隨機(jī)矩陣對(duì)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行改進(jìn)

運(yùn)用隨機(jī)矩陣?yán)碚?，?jì)算得到隨機(jī)矩陣的預(yù)測最大特征值和最小特征值為：

由上述分析可知，金融相關(guān)系數(shù)矩陣全部特征值中屬于［λ-，λ+］的部分代表噪聲。

對(duì)相關(guān)系數(shù)矩陣C進(jìn)行譜分解有：C=PΛPT，其中P為正交矩陣滿足條件(PPT=1 )，而Λ 為對(duì)角矩陣，PT為矩陣的轉(zhuǎn)置，特征值矩陣Λ=diag{λ1，…，λK}，對(duì)特征值λ 可以按照從小到大的順序進(jìn)行重新排列，即λ1，…，λt，λt+1，…，λk，λk+1，…，λK，令λk+1＞λmax，且λt＜λ-，令：

RMT 過濾相關(guān)矩陣的基本方法是將相關(guān)系數(shù)矩陣在隨機(jī)矩陣?yán)碚擃A(yù)測范圍內(nèi)的特征值替換為0。同樣特征值矩陣也只留下了相應(yīng)的特征向量，則新的相關(guān)系數(shù)矩陣為：

其中PNew為新的特征向量矩陣，此外令對(duì)角元素

1.3 社團(tuán)劃分

社團(tuán)結(jié)構(gòu)定義為內(nèi)部節(jié)點(diǎn)之間的連邊數(shù)目比節(jié)點(diǎn)與外部連邊數(shù)目大的網(wǎng)絡(luò)子圖，它是網(wǎng)絡(luò)的中觀結(jié)構(gòu)，也是網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和網(wǎng)絡(luò)組成研究的重要特征［9-10］。

NEWMAN 等首先提出模塊度評(píng)價(jià)函數(shù)的概念［11］，它是用來衡量社團(tuán)結(jié)構(gòu)劃分好壞的重要測度。模塊度的定義如下：

筆者選擇道瓊斯中國88 指數(shù)2011 年11 月1日到2013 年5 月31 日的日收盤價(jià)格數(shù)據(jù)，基于“去噪”方法對(duì)相關(guān)系數(shù)矩陣進(jìn)行改進(jìn)，采用邊相關(guān)系數(shù)閾值法［13］，構(gòu)建金融網(wǎng)絡(luò)模型。

根據(jù)GN 算法對(duì)構(gòu)建的道瓊斯中國88 指數(shù)股票網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行社團(tuán)劃分，劃分的Q值如表1 所示，當(dāng)社團(tuán)個(gè)數(shù)為11 時(shí)，Q=0.004，Q值最大，因此將道瓊斯中國88 指數(shù)股票網(wǎng)絡(luò)劃分為11 個(gè)社團(tuán)，可以得到如圖1 所示的社團(tuán)結(jié)構(gòu)。在圖1 中可以看到該網(wǎng)絡(luò)有一個(gè)關(guān)鍵的社團(tuán)，它的節(jié)點(diǎn)數(shù)在整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的比例為85%，在道瓊斯中國88指數(shù)股票網(wǎng)絡(luò)中具有影響力的行業(yè)都在該關(guān)鍵社團(tuán)內(nèi)，因此，對(duì)該關(guān)鍵社團(tuán)進(jìn)行研究是有意義的。

表1 道瓊斯股票網(wǎng)絡(luò)的Q 值

圖1 道瓊斯88 中國指數(shù)股票的社團(tuán)結(jié)構(gòu)

筆者以這個(gè)關(guān)鍵社團(tuán)為研究對(duì)象，用關(guān)鍵社團(tuán)的75 只股票作為構(gòu)建投資組合的樣本。

2 馬科維茨均值-方差模型構(gòu)建

2.1 馬科維茨均值-方差模型

假設(shè)投資者可選擇的投資資產(chǎn)有n種，第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益率為Ri，期望收益率用R =(R1，R2，…，Rn)T表示;n種資產(chǎn)收益率的協(xié)方差矩陣為S =(δij)n×n;w =(w1，w2，…，wn)T表示一個(gè)投資組合，其中wi表示資產(chǎn)在第i種證券上的分配比例，且∑wi =1;n維列向量In =(1，1，…，1)T；為投資組合收益率的方差，用于衡量投資組合的風(fēng)險(xiǎn);Rp為投資者的目標(biāo)收益水平。因此Markowitz 模型可表示為：

2.2 模型構(gòu)建

用關(guān)鍵社團(tuán)的75 只股票作為投資組合的研究對(duì)象。將道瓊斯中國88 指數(shù)2011 年11 月1日到2013 年5 月31 日的數(shù)據(jù)等分為前后兩個(gè)時(shí)期，首先利用前期數(shù)據(jù)對(duì)后期的風(fēng)險(xiǎn)和收益進(jìn)行預(yù)測，然后將預(yù)測結(jié)果與后期計(jì)算出的實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)和收益進(jìn)行比較，在這個(gè)過程中，假設(shè)投資者可以對(duì)未來的平均收益進(jìn)行準(zhǔn)確的預(yù)測。具體步驟為：①將投資組合的樣本數(shù)據(jù)分為兩個(gè)等長記錄計(jì)算相關(guān)矩陣。②應(yīng)用隨機(jī)矩陣?yán)碚搶?duì)原始收益數(shù)據(jù)進(jìn)行“去噪”。③分別使用“去噪”前后的樣本收益數(shù)據(jù)構(gòu)建投資組合，并求出最優(yōu)投資組合。④對(duì)“去噪”前后風(fēng)險(xiǎn)分散能力進(jìn)行比較。

3 投資效果分析

3.1 風(fēng)險(xiǎn)的比較

在比較投資組合優(yōu)劣時(shí)，需要注意風(fēng)險(xiǎn)和收益兩個(gè)方面。在投資組合收益相同的情況下，最優(yōu)投資組合決策對(duì)應(yīng)的方差(風(fēng)險(xiǎn))越小，說明這種方法對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的分散效果越好，這種方法也就越優(yōu)。相反，這種方法對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的分散效果越差，該方法也就越劣。

將風(fēng)險(xiǎn)作為收益Rp的函數(shù)，風(fēng)險(xiǎn)大小會(huì)隨著收益的大小發(fā)生變化。收益風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)可表示為：

實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)收益曲線和預(yù)測風(fēng)險(xiǎn)收益曲線如圖2 和圖3 所示。從圖2 和圖3 中可以看出，與“去噪”前相比，“去噪”后相關(guān)矩陣構(gòu)建的投資組合在預(yù)測風(fēng)險(xiǎn)和實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)方面都有明顯降低。在相同的收益下，“去噪”后相關(guān)矩陣構(gòu)建的最優(yōu)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)要小于“去噪”前構(gòu)建的最優(yōu)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)。而在相同的風(fēng)險(xiǎn)下，“去噪”后相關(guān)矩陣構(gòu)建的最優(yōu)投資組合的收益要大于“去噪”前構(gòu)建的最優(yōu)投資組合的收益。與“去噪”前所作的投資決策方案相比，“去噪”后的投資組合最優(yōu)決策風(fēng)險(xiǎn)(方差)有了顯著降低，由此可見，對(duì)價(jià)格收益數(shù)據(jù)進(jìn)行“去噪”處理更有利于在投資決策中分散風(fēng)險(xiǎn)。

圖2 實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)收益曲線

圖3 預(yù)測的風(fēng)險(xiǎn)收益曲線

3.2 可靠性比較

從表2 中明顯可以看出，用隨機(jī)矩陣“去噪”后的差異系數(shù)的均值是0.059 6，而用原始矩陣得到的差異系數(shù)的均值是0. 084 8。用隨機(jī)矩陣“去噪”后的投資組合的差異系數(shù)要比原始矩陣的投資組合的差異系數(shù)小，說明用隨機(jī)矩陣“去噪”后構(gòu)建的投資組合模型的風(fēng)險(xiǎn)小，更有利于在投資決策中分散風(fēng)險(xiǎn)。

4 結(jié)論

筆者將股票視為節(jié)點(diǎn)，股票間的相關(guān)性視為連邊，基于“去噪”方法對(duì)相關(guān)系數(shù)矩陣進(jìn)行改進(jìn)，構(gòu)建金融網(wǎng)絡(luò)模型，尋找到關(guān)鍵社團(tuán)，然后以關(guān)鍵社團(tuán)為研究對(duì)象構(gòu)建投資組合，通過對(duì)“去噪”前后構(gòu)建的投資組合模型對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)，基于“去噪”后相關(guān)矩陣構(gòu)建的投資組合模型比原始相關(guān)矩陣構(gòu)建的投資組合模型更能有效地分散風(fēng)險(xiǎn)，分散效果比較好，從而能對(duì)我國股票投資組合風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行有效地控制。

表2 實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)與預(yù)測風(fēng)險(xiǎn)的差異系數(shù)

［1］MARKOWITZ H. Portfolio selection［J］.The Journal of Finance，1952，7(1)：77 -91.

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