宋 雪，冉 慧

(重慶大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，重慶 401331)

近年來，對四元數(shù)體上代數(shù)問題的研究越來越深入，而四元數(shù)本身在眾多的應(yīng)用問題中也存在廣泛的聯(lián)系(如四元數(shù)在量子力學、剛體力學方面的應(yīng)用)，四元數(shù)在計算機圖形圖像處理、識別和空間定位方面的應(yīng)用，引起了國內(nèi)外許多學者對四元數(shù)體的研究與關(guān)注.此處將一些數(shù)學中經(jīng)典的初等不等式推廣到了四元數(shù)矩陣上.

1 定義和引理

定義1 設(shè)A∈Hn×n，如果A*=A，則稱A是H上的一個n階自共軛矩陣，其全體記為H(n，*).

定義2 設(shè)A∈Hn×n，如果A*A=AA*=In，則稱A是H上的一個n階酉矩陣，其全體記為H(n，u).

定義5 設(shè)A∈Hn×n，如果A*A=AA*，則稱A是正規(guī)矩陣.

定義6 設(shè)A1，A2，…，Am(m≥2)為可交換的n階四元數(shù)正規(guī)矩陣，它們的平方平均、算術(shù)平均、幾何平均和調(diào)和平均分別定義為

引理1［1］設(shè)A∈H(n，*)，則A酉相似于實對角矩陣，即存在U∈H(n，u)，使得U*AU=diag(λ1，λ2，…，λn)，其中 λ1，λ2，…，λn∈R 為A的n個特征值.

引理4［3］設(shè)A∈H(n，*)，則存在實數(shù)a＞0，使得A+aIn正定.

2 主要結(jié)果

2.1 Wielandt-Hoffman定理在四元數(shù)矩陣上的推廣

證明 (i)若A＞0，由于A∈H(n，*)，C∈H(n，*)，B=C-A，可知B∈H(n，*).則由引理 1，存在酉矩陣U1，U2，U3，使得

由于A＞0，則 αi＞0(i=1，2，…，n).顯然有

(ii)若A不正定，則由引理4，存在實數(shù)a＞0，使得A+aIn正定.由證明(i)可得

推論1 在定理1的條件下，設(shè)B=(Bij)∈H(n，*)，則式(4)成立.

證明 由定理1和引理5，可知結(jié)論成立.

證明 定理2證明過程與定理1類似，此處略去.

推論3 在定理2的條件下，設(shè)B=(Bij)∈H(n，*)，式(5)成立.

證明 由定理2和引理5，可知結(jié)論成立.

2.2 均值不等式在四元數(shù)矩陣上的推廣

定理3 設(shè)A1，A2，…，Am(m≥2)為可交換的n階四元數(shù)自共軛矩陣，則有Q(A)≥M(A)≥G(A)≥H(A).

證明 因為A1，A2，…，Am(m≥2)為可交換的n階四元數(shù)自共軛矩陣，由引理1知存在n階酉矩陣U，使得

由實數(shù)的均值-算術(shù)-幾何-調(diào)和平均不等式，有

由此可知結(jié)論成立.

推論5 設(shè)A1，A2，…，Am(m≥2)為可交換的n階四元數(shù)自共軛矩陣，則

推論6 設(shè)A1，A2，…，Am(m≥2)為可交換的n階四元數(shù)自共軛矩陣，則

2.3 H?lder不等式、Young不等式和Minkowski不等式在四元數(shù)矩陣上的推廣

證明 由引理1和H?lder不等式可得，存在n階酉矩陣U，使得

結(jié)論得證.

證明 由Young不等式和定理4的證明方法可得.

證明 由Minkowski不等式和定理4的證明方法可得.

［1］莊瓦金.體上矩陣理論導引［M］.北京:科學出版社，2006

［2］陳香萍，伍俊良，李聲杰.關(guān)于四元數(shù)矩陣跡的幾個不等式［J］.重慶工學院學報:自然科學版，2009，23(3):79-82

［3］WU J L，ZOU L M，CHEN X P，et al.The Estimation of Eigenvalues of Sum，Difference，and Tensor Product of Matrices Over Quaternion Division Algebra［J］.Linear algebra and its applications，2008，428:3023-3033

［4］謝清明.四元數(shù)矩陣的范數(shù)與跡不等式［J］.數(shù)學理論與應(yīng)用，1999，119(2):38-39

［5］王松桂，吳密霞，賈忠貞.矩陣不等式［M］.2版.北京:科學出版社，2006

［6］伍俊良，陳香萍，鄒黎敏.2個四元數(shù)矩陣的同時對角化問題［J］.云南大學學報:自然科學版，2009，31(3):222-226

［7］伍俊良，劉飛.實對稱矩陣和與差的一些特征值與F-范數(shù)不等式［J］.高等學校計算數(shù)學學報，2004，26(4):365-370

［8］劉靜，耿宏瑞.一些數(shù)值不等式的矩陣形式推廣［J］.西南師范大學學報:自然科學版，2012，37(6):5-8