鞏長忠，蔡曉東

（中國民航大學理學院，天津 300300）

時變時延混沌系統(tǒng)的廣義函數(shù)投影同步

鞏長忠＊，蔡曉東

（中國民航大學理學院，天津 300300）

研究兩個帶有時變時延混沌系統(tǒng)的廣義函數(shù)投影同步（GFPS）問題，其中驅(qū)動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)是基于一個變換矩陣漸近同步的.基于LaSalle不變原理和Lyapunov穩(wěn)定性理論，得到使這兩個系統(tǒng)同步的充分條件，并用Matlab軟件進行數(shù)據(jù)仿真，驗證了方法的有效性.

廣義函數(shù)投影同步；混沌系統(tǒng)；時變時延；自適應控制

自從混沌同步問題提出以來，許多研究涉及到混沌同步現(xiàn)象，例如完全同步（CS）［1］、廣義同步（GS）［2］、延遲同步（LS）［3］、投影同步（PS）［4－6］等.在一系列混沌同步現(xiàn)象中，投影同步由于其更快的反饋速度特征而得到廣泛關注，Li Zhenbo［7］，Li Chunlai［8］，Wu Xiangjun［9］等對超混沌系統(tǒng)的廣義函數(shù)投影同步問題進行了進一步探討.而在實際問題中，系統(tǒng)中一般存在著不可忽視的時間延遲，時延會徹底改變系統(tǒng)中動力學行為之間的相互作用，因此，為了更好地模擬現(xiàn)實情況，須把時延條件加入到系統(tǒng)模型中.Wu Xiangjun等［10］曾對兩個帶有時延混沌系統(tǒng)的廣義函數(shù)投影同步（GFPS）問題進行分析，并用合適的自適應控制器實現(xiàn)了兩系統(tǒng)的同步，但其考慮的時延為定值.在本文中，筆者擬基于LaShall不變原理和Lyapunov穩(wěn)定性理論，探討兩個帶有時變時延混沌系統(tǒng)的廣義函數(shù)投影同步問題，通過構造自適應控制器實現(xiàn)兩系統(tǒng)的同步.

1 問題描述

假設把一個時變時延的混沌系統(tǒng)作為驅(qū)動系統(tǒng)，其模型可表示為

響應系統(tǒng)模型為

其中x（t）＝（x1，x2，…，x n）T，y（t）＝（y1，y2，…，y n）T∈Rn是相應于系統(tǒng)（1）和（2）的靜態(tài)變量，A和B是維數(shù)適當?shù)某?shù)矩陣，f，g：Rn→Rn是兩個非線性連續(xù)函數(shù)，時變時延τ（t）為非負函數(shù)，且滿足0≤˙τ（t）≤ε＜1，ε是一常數(shù)，u（t）是控制器.

定義1（GFPS） 假設對于系統(tǒng)（1）和（2）中相應的變量為x（t）和y（t），存在一合適的控制器使得limt→∞‖y（t）－P（t）x（t）‖＝0成立，那么稱系統(tǒng)（1）和（2）達到廣義函數(shù)投影同步，其中P（t）＝diag（α1（t），α2（t），…，αn（t））為變換矩陣，αi（t）≠0（i＝1，2，…，n）是有界的連續(xù)可微函數(shù).

2 主要結果

引理1 對于任意向量x，y∈Rn和可逆正定矩陣Q∈Rn×n，以下矩陣不等式成立：2xTy≤xTQx＋yTQ－1y.

定義系統(tǒng)（1）和（2）之間的同步軌道誤差向量為

為了使系統(tǒng)（1）和（2）達到同步，須構造一個合適的控制器u（t），使得limt→∞‖e（t）‖＝0.

定理1 由已知的非零變換函數(shù)αi（t）（≠0）和時變時延函數(shù)τ（t），系統(tǒng)（1）和（2）在控制器

下可以達到廣義函數(shù)投影同步，其中˙k＝μeT（t）e（t），μ是任意正常數(shù).證明 對誤差向量e（t）求導得

將式（1），（2），（4）代入式（5），得

構造Lyapunov函數(shù)

WHO調(diào)查了近年來29個發(fā)展中國家的普通孕婦中子癇前期發(fā)病率0.02%～7.67%，平均發(fā)病率為2.16%。針對正常孕婦的子癇前期試驗，發(fā)病率不高。Valio等[15]研究了妊娠35～37周的3 953例單胎普通孕婦，最終只有65例發(fā)展為子癇前期。一些針對高危孕婦進行的研究中，子癇前期的發(fā)病率明顯上升[11]。本研究中的研究對象為子癇前期高危孕婦，271例病人中有11例發(fā)病，明顯提高了sFlt-1、PLGF對于子癇前期的預測價值。早期診斷子癇前期，盡早對于高危孕婦進行干預及監(jiān)管，減少不良圍產(chǎn)期母嬰結局的發(fā)生具有重要意義。

對Lyapunov函數(shù)求導，并將誤差系統(tǒng)（6）代入其中，由引理1可得

顯然存在一個足夠大的正常數(shù)k＊，即k＊＝λmax（2－1BBT）＋2－1（1－ε）－1＋1，使得˙V（t）≤－eT（t）e（t），即˙V（t）≤0.包含于E＝｛˙V（t）＝0｝＝｛e（t）＝0｝的最大不變集為M＝｛e（t）＝0，k＝k＊｝.由誤差系統(tǒng)（6）可知，當t→∞時，e（t）→0，k→k＊，即兩個不同的混沌系統(tǒng)（1）和（2）達到了廣義函數(shù)投影同步.定理證畢.

由定理1可以很容易得到以下推論.

推論1 假如驅(qū)動系統(tǒng)（1）和響應系統(tǒng)（2）具有相同的動態(tài)，即A＝B，f＝g，由已知的非零變換函數(shù)αi（t）（≠0）和時變時延函數(shù)τ（t），兩系統(tǒng)可在以下控制器作用下達到廣義函數(shù)投影同步：

其中μ是任意正常數(shù).

3 數(shù)據(jù)仿真

本文采用Matlab軟件進行數(shù)據(jù)仿真來驗證方法的有效性，混沌系統(tǒng)選用有時延的Lü系統(tǒng)，模型如下：

驅(qū)動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)的模型分別為

其中ui（t）（i＝1，2，3）是兩時變時延混沌系統(tǒng)實現(xiàn)廣義函數(shù)投影同步的控制器.定義GFPS誤差向量為

其中αi（t）（i＝1，2，3）為非零縮放函數(shù).

由推論1中的公式（8）可以得到控制器為

為了保證混沌行為的存在，Lü系統(tǒng)中a＝36，b＝20，c＝3；驅(qū)動系統(tǒng)（10）和響應系統(tǒng)（11）的初值設為0到1之間的隨機值；k的初值設為k（0）＝0.01，μ的 取 值 為 2；縮 放 函 數(shù) 選 取α1（t）＝1.5＋sin（0.5t），α2（t）＝2－0.5cost，α3（t）＝ －2＋sin（5t）；時變時延函數(shù)設為τ（t）＝0.01t.

采用Matlab軟件進行數(shù)據(jù)仿真，由圖1可以看出，兩系統(tǒng)的誤差向量e1（t），e2（t），e3（t）迅速收斂到0，也就是說兩系統(tǒng)達到了廣義函數(shù)投影同步.

圖1 Lü系統(tǒng)（10）和（11）的誤差曲線Fig.1 Errors between Lüsystem （10）and（11）

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Generalized function projective synchronization of a class of chaotic systems with time－varying delays

GONG Changzhong＊，CAI Xiaodong

（Coll of Sci，Civ Aviat Univ of China，Tianjin 300300，China）

Generalized function projective synchronization（GFPS）of a class of chaotic systems with time－varying delays is studied in this paper，where the drive and response systems are asymptotically synchronized up to a scaling function matrix.Based on LaSalle theory and Lyapunov stability theory，the sufficient condition is obtained to achieve GFPS between two different chaotic systems.Numerical simulations using Matlab are presented to verify the effectiveness of the proposed scheme.

generalized function projective synchronization；chaotic systems；time－varying delay；adaptive control

TP 273.2

A

1007－824X（2014）01－0056－04

2013－10－14.＊ 聯(lián)系人，E－mail：g－chzh＠163.com.

中央高?；究蒲袠I(yè)務費資助項目（ZXH2012B003，ZXH2012K002）；天津市自然科學基金青年項目（13JCQNJC－04400）.

鞏長忠，蔡曉東.時變時延混沌系統(tǒng)的廣義函數(shù)投影同步 ［J］.揚州大學學報：自然科學版，2014，17（1）：56－59.

（責任編輯 時 光）