梁迎久

(遼寧大學(xué)數(shù)學(xué)院，沈陽 110036)

一類切換非線性系統(tǒng)的全局有限時間鎮(zhèn)定

梁迎久

(遼寧大學(xué)數(shù)學(xué)院，沈陽 110036)

研究了一類切換非線性系統(tǒng)在任意切換下的全局有限時間鎮(zhèn)定問題.通過加冪積分儀技術(shù)，精確地設(shè)計了連續(xù)非光滑的狀態(tài)反饋控制器和共同的李雅普諾夫函數(shù)，實現(xiàn)了系統(tǒng)的有限時間內(nèi)的鎮(zhèn)定;與現(xiàn)有結(jié)果相比，具有加快收斂速度的優(yōu)點;仿真例子表明了所得結(jié)果的有效性.

切換非線性系統(tǒng);全局有限時間鎮(zhèn)定;非光滑的狀態(tài)反饋控制

1 系統(tǒng)描述

考慮如下切換非線性系統(tǒng)的全局有限時間鎮(zhèn)定性問題:

其中:χ∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)，χ-i=［χ1，…，χi］T，σ(t)→M={1，…，m}是用來確定切換律的分段連續(xù)函數(shù);u∈R是控制輸入;ψi，σ(t):i=1，…，n，?σ(t)∈M 是 C1函數(shù);ψi，σ(t)(0，0，t)=0．

切換系統(tǒng)是控制界研究的一個熱點，對切換系統(tǒng)的研究主要集中在性能分析和綜合方面．對于解決切換線性系統(tǒng)在任意切換下的穩(wěn)定和鎮(zhèn)定問題，共同的李雅普諾夫函數(shù)方法是一種很有效的方法．文獻(xiàn)［1，2］利用反步法，研究了一類切換非線性系統(tǒng)在任意切換下的全局鎮(zhèn)定問題．另一方面，在系統(tǒng)的收斂性分析中，有限時間穩(wěn)定性是一個非常重要的概念，它表示系統(tǒng)是李雅普諾夫穩(wěn)定的并且系統(tǒng)的運(yùn)動軌跡在有限時間內(nèi)收斂到系統(tǒng)的平衡點．近年來，研究學(xué)者已對幾類重要系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性及其穩(wěn)定化進(jìn)行了研究．文獻(xiàn)［3］提出了有限時間穩(wěn)定的充分必要條件，利用這個充分必要條件，有限時間穩(wěn)定控制問題得到了研究．例如，通過加冪積分儀技術(shù)，文獻(xiàn)［4］研究了具有下三角結(jié)構(gòu)非線性系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定控制問題;文獻(xiàn)［5］研究了一類不確定非線性系統(tǒng)的輸出反饋全局有限時間穩(wěn)定問題．文獻(xiàn)［6］給出非線性系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定的另一個的充分條件，與文獻(xiàn)［4］相比，加快收斂速度，降低設(shè)定時間．

近來，切換非線性系統(tǒng)全局有限時間問題引起了人們的重視，文獻(xiàn)［7］研究了一類脈沖混雜系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定．然而，有關(guān)切換非線性系統(tǒng)的有限時間鎮(zhèn)定的研究仍未見有報道．此處將針對一類切換非線性系統(tǒng)(1)，研究其全局有限時間鎮(zhèn)定問題．

2 問題的提出

此處的目的是找出狀態(tài)反饋控制器，形如

使得閉環(huán)系統(tǒng)(1)和(2)是在任意的切換序列下全局有限時間穩(wěn)定的．

考慮非線性系統(tǒng)式(3):

其中，f:D→Rn是非Lipschitz連續(xù)的函數(shù)．

定義1 系統(tǒng)(3)的零解是有限時間收斂的，如果存在原點的開領(lǐng)域U?D和函數(shù)使得?χ0∈U{0}的每一個解χ(t，χ0)∈U{0}，t∈［0，Tχ(χ0)］，且稱為設(shè)定時間．系統(tǒng)(3)的零解如果是李雅普諾夫穩(wěn)定和有限時間收斂的，則它是有限時間穩(wěn)定的．如果U=D=Rn，則它是全局有限時間穩(wěn)定的．

定義2 切換系統(tǒng)(1)在任意的切換序列下是全局有限時間鎮(zhèn)定的，如果存在控制規(guī)律，使得閉環(huán)切換系統(tǒng)在任意的切換序列下滿足條件(1)(2):

(1)Lyapunov穩(wěn)定:對于 ?ε＞0，存在δ(ε)＞0，使得χ0∈Bδ(0)，χ(t)∈Bε(0)，t≥0．

(2)有限時間收斂:?χ0∈Rn，t∈［0，Tχ(χ0)］，且

定理1 對于連續(xù)系統(tǒng)(3)，若存在C1正定函數(shù)V:D→R，實數(shù)d，l＞0和α∈(0，1)，滿足

則系統(tǒng)(3)的零解是有限時間穩(wěn)定的．設(shè)定時間T依賴初始狀態(tài)χ0且滿足如果D=Rn，式(4)在Rn{0}上成立，則原點是全局有限時間穩(wěn)定的．下面引入2個引理，這些引理是得出系統(tǒng)(1)全局有限時間鎮(zhèn)定的基礎(chǔ)．

引理1 設(shè)a和b是兩個正實數(shù)，α(χ，y)＞0是任意的實值函數(shù)，有

引理2 設(shè) χi，i=1，2，…，n是負(fù)實數(shù)，r≤1，有(|χ1|+ +|χn|)r≤|χ1|r+ +|χn|r成立．如果0＜r＜1是奇整數(shù)，有|χr-yr|≤21-r|χ-y|r成立．

3 全局有限時間鎮(zhèn)定

為了使系統(tǒng)(1)鎮(zhèn)定，給出適當(dāng)假設(shè)限定．

假設(shè)1 對于i=1，…，n，?k∈M，有

定理2 在假設(shè)1下，切換系統(tǒng)(1)可以通過連續(xù)的狀態(tài)反饋實現(xiàn)在任意的切換序列下全局有限時間鎮(zhèn)定，設(shè)定時間滿足

證明 當(dāng)n=1，考慮子系統(tǒng)(6):

把χ2看成虛擬控制，則存在

其中φ1，l(χ1)＞0是C1函數(shù)．把式(8)代入式(7)可得

當(dāng)n=i-1時，假設(shè)對于切換系統(tǒng)(10):

存在一個 C1正定李雅普諾夫函數(shù) Vi-1，l(χ1，…，χi-1)滿足不等式(11)(12):

其中一些參數(shù)和C0的虛擬控制定義如下:

φ1，l(χ1)＞0，…，φi-1，l(χ1，…，χi-1)＞0是 C1函數(shù)．

當(dāng)n=i時，目標(biāo)是構(gòu)建Vi(χ1，…，χi)和一個虛擬控制 χi+1，l使得結(jié)果在 i時成立．

定義

其中，

為了下面的證明，引進(jìn)4個性質(zhì):

性質(zhì)1 Mi，l(χ1，…，χi)是 C1函數(shù)，

性質(zhì)2 Vi，l(χ1，…，χi)是正定C1函數(shù)而且滿足不等式(16):

性質(zhì)3 存在C1函數(shù)μ～i(χ1，…，χi)≥0，滿足不等式(17):

性質(zhì)4 存在 C1函數(shù) Ψi，l，τ(χ1，…，χi)，滿足不等式(18):

從文獻(xiàn)［4］知，性質(zhì)1-4的證明是顯然的．

由性質(zhì)1可得不等式(19)成立:

下面將分別的估算不等式(19)右面的每一項，根據(jù)引理1和ρi=ρi-1-2/(2n+1)可得

其中 εi＞0是一個固定的常數(shù)．

根據(jù)引理1和性質(zhì)3可得

其中C1函數(shù)

應(yīng)用性質(zhì)1和4可得

把不等式(20)-(22)代入式(19)可得

選擇式(24)的C0虛擬控制:

其中 φi，l(χi)＞0是 C1函數(shù)，0＜ρi+1:ρi-2/(2n+1)＜ρi．容易得到

由前面的推理過程可以知道，系統(tǒng)(1)存在連續(xù)非光滑的函數(shù)．

其中φn(χ)＞0是C1函數(shù)和一個正定的C1李雅普諾夫函數(shù):

由定理2可得，切換系統(tǒng)(1)可以通過連續(xù)的狀態(tài)反饋實現(xiàn)在任意的切換序列全局有限時間鎮(zhèn)定，設(shè)定時間滿足

4 數(shù)值實驗

考慮如下切換系統(tǒng):

其中σ(t)→M={1，2}，ψ1，1(χ1)=0．5χ1，ψ1，2(χ1)=2χ1．

利用設(shè)計方法，當(dāng)l=2時，得到控制器式(32):

其中，

仿真結(jié)果見圖1所示．

設(shè)初始值為χ1(0)=-2．5，χ2(0)=3．8，文獻(xiàn)［2］給出了控制器式(34):

仿真結(jié)果見圖2所示．圖3為任意的一個切換信號．

5 總 結(jié)

研究了一類切換非線性系統(tǒng)在任意切換序列下的有限時間鎮(zhèn)定，通過加冪積分儀技術(shù)，給出了系統(tǒng)有限時間控制器的設(shè)計，仿真實驗驗證方案的有效性．

圖1 控制器(32)得到系統(tǒng)狀態(tài)軌跡圖

圖2 控制器(34)得到系統(tǒng)狀態(tài)軌跡圖

圖3 任意的一個切換信號

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Global Finite-Time Stabilization of a Class of Switched Nonlinear Systems

LIANG Ying-jiu
(School of Mathematics，Liaoning University，Shenyang 110036，China)

This paper studies the global finite-time stabilization problem for a class of switched non-linear systems under arbitrary switching，by the adding a power integrator technique，accurately designs both continuous but non-smooth state feedback controller and a common Lyapunov function(CLF)and realizes the global stabilization of this system in finite time.Compared with previous results，the new method may accelerate convergent speed.A simulation example shows the effectiveness of the theoretical results.

switched nonlinear systems;global finite-time stabilization;non-smooth state feedback controller

O231

A

1672-058X(2014)01-0008-06

責(zé)任編輯:李翠薇

2013-08-29;

2013-09-23.

梁迎久(1987-)，男，河北張家口人，碩士研究生，從事非線性系統(tǒng)、切換系統(tǒng)研究.