楊甲山

（梧州學院數(shù)理系，廣西梧州 543002）

時間測度鏈上多時滯變系數(shù)的二階中立型非線性的動態(tài)方程

楊甲山

（梧州學院數(shù)理系，廣西梧州 543002）

研究了時間測度鏈上的一類具有多時滯變系數(shù)的二階中立型非線性的泛函動態(tài)方程的振蕩性質(zhì)，借助時間測度鏈上的有關(guān)理論和一些分析技巧，得到了該類方程所有解振蕩的新準則，并同時得到了該方程所有解的△-導數(shù)振蕩的充分條件，推廣和改進了現(xiàn)有文獻中的一些已知結(jié)果。

振蕩性；時間測度鏈；泛函動態(tài)方程；△-導數(shù)；可變時滯

1 前言

討論時間測度鏈T上如下形式的具有多時滯變系數(shù)的二階非線性中立型動態(tài)方程

這里T是任意時間測度鏈，且supT＝＋∞.有關(guān)時間測度鏈上的分析理論和時間測度鏈上動態(tài)方程的基本

理論可參考文獻[1]。方程（1）的解是指定義在間測度鏈T上的且滿足方程（1）的非平凡實值函數(shù)x(t)，t∈T.方程（1）的解x(t)稱為振蕩的，如果x(t)既不最終為正,也不最終為負。否則，稱為非振蕩的。方程(1)稱為振蕩的，如果它的所有解都是振蕩的。我們僅關(guān)注方程（1）的不最終恒為零的解。

近幾年來，時間測度鏈上動態(tài)方程的振蕩和非振蕩理論引起了人們的極大興趣和高度重視，見[2-30]。許多文獻對方程（1）的特殊情形有過研究，參見[5-16]。為了方便，本文所涉及的不等式（如無特別說明的）均指最終成立，并總假設下列條件成立：

（H1）：a(t)＞0，bi(t)≥0，Pj(t)≥0均為定義在時間測度鏈區(qū)間[a0,+∞)T＝[a0,+∞)∩T上的實值rd連續(xù)函數(shù)，且函數(shù)Pj(t)中至少有一個不最終恒為0，i=1，2，…，r；j=1，2，…，s（下同，略），r，s均為給定的自然數(shù)。

我們看到，當T＝R時，則σ(t)＝t，μ(t)＝0且f△(t)＝f'(t)，這是通常的導數(shù)，于是，方程（1）就變成具可變時滯的二階微分方程

當T＝N時，則σ(t)＝t+1，μ(t)＝1且f△(t)＝△f(t)＝f(t+1)-f(t)，這是通常的向前差分，于是，方程（1）就變成具可變時滯的二階差分方程

本文的目的是研究動態(tài)方程（2）的振蕩性，得到了該方程的所有解x(t)及其△導數(shù)x△(t)振蕩的充分條件，統(tǒng)一了相應的微分方程（E1）和差分方程（E2）振蕩的有關(guān)結(jié)論，推廣并改進了現(xiàn)有文獻中的某些已知結(jié)果。

2 主要結(jié)果和證明

則方程（1）是振蕩的。

證明設方程（1）有一個非振蕩解x(t)，不妨設其最終為正(最終為負時類似可證)，則存在t1≥a0，當t≥t1時，x(t)＞0，x(t-mi)＞0，x(t-kj(t))＞0.記

則由（H1）知

所以y△(t)是單調(diào)遞減的且最終定號，我們可以斷定

注2推論4就是文獻[10]中的定理2的結(jié)論。

由此可見，本文定理完善和發(fā)展了時間測度鏈上動力方程的振蕩理論，統(tǒng)一了相應的泛函微分方程（E1）和泛函差分方程（E2）振蕩的有關(guān)結(jié)果，推廣了現(xiàn)有文獻的結(jié)論，從而使得本文定理1和定理2的結(jié)果更具有普遍意義。

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（責任編輯：覃華巧）

Certain Second-order Neutral Nonlinear Dynamic Equation with Variable Coeficients and Multi-time Delay on Time Scales

Yang Jiashan
(Department of Mathematics and Physics,Wuzhou University,Wuzhou 543002,China)

Oscillation for a class of second order neutral nonlinear functional dynamic equation with variable coeficients and multi-time delay on time scales is studied in this paper.Using the time scales theory and some necessary analytic techniques,a new oscillation criterion for all solutions of the equation is established.In addition,a sufficient condition of oscillation for all solutions’delta derivative of the equation is proposed.Some existed results in the literatures have been further improved and extended.

Oscillation;Time scales;Functional dynamic equations;△-derivative;Variable delay

O175.7

A

1673-8535(2014)03-0036-06

2014-01-20

湖南省科技廳基金項目(2012FJ3107)；廣西教育廳科研項目(2013YB223)