石睿

（福州市第一中學(xué) 福建福州 350108）

由逐差法得到的答案是唯一的嗎
——2014年高考福建理綜卷一道實(shí)驗(yàn)題的答案值得商榷

石睿

（福州市第一中學(xué) 福建福州 350108）

圍繞2014年高考福建理綜卷一道實(shí)驗(yàn)題展開(kāi)，用幾種逐差法和Origin 8．0軟件求解其中第（3）小題答案，得到不同結(jié)果，通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)對(duì)半分組順序逐差產(chǎn)生誤差最小．但關(guān)于逐差法產(chǎn)生誤差的分析已超過(guò)了高中生能力范圍，故該題答案的唯一性設(shè)置值得商榷．

逐差法 Origin 8．0 高考

1 原題與解析

【原題】［2014年高考福建理綜卷第19題（2）］某研究性學(xué)習(xí)小組利用伏安法測(cè)定某一電池組的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻，實(shí)驗(yàn)原理如圖1所示．

圖1

圖中，虛線框內(nèi)為用靈敏電流計(jì)G改裝的電流表A，V為標(biāo)準(zhǔn)電壓表，E為待測(cè)電池組，S為開(kāi)關(guān)，R為滑動(dòng)變阻器，R0是標(biāo)稱值為4．0Ω的定值電阻．

（1）已知靈敏電流計(jì)G的滿偏電流Ig＝100 μA，內(nèi)阻rg＝2．0 kΩ，若要改裝后的電流表滿偏電流為200 m A，應(yīng)并聯(lián)一只______Ω（保留一位小數(shù)）的定值電阻R1．

（2）根據(jù)圖1，用筆畫(huà)線代替導(dǎo)線將圖2連接成完整電路．

圖2

（3）某次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)如表1所示．該小組借鑒“研究勻變速直線運(yùn)動(dòng)”實(shí)驗(yàn)中計(jì)算加速度的方法（逐差法），計(jì)算出電池組的內(nèi)阻r＝______Ω（保留兩位小數(shù)）．為減小偶然誤差，逐差法在數(shù)據(jù)處理方面體現(xiàn)出的主要優(yōu)點(diǎn)是______．

表1 某次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

（4）略．

答案：（1）、（2）略；（3）1．66Ω；充分利用測(cè)得的數(shù)據(jù)；（4）略．

解析：（3）由閉合電路歐姆定律U＝E-Ir′可知，內(nèi)阻r′為U- I圖線斜率的絕對(duì)值，本題中等效內(nèi)阻r′＝r＋R0，則

由式（1）、（2）、（3），并代入數(shù)據(jù)得

保留兩位小數(shù)，得

2 逐差法的不同數(shù)據(jù)組合方式

2．1 常用對(duì)半分組順序逐差

逐差法常用于求一系列測(cè)量量的差值的平均值，使用逐差法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)一般來(lái)說(shuō)要求滿足兩個(gè)條件：

（1）函數(shù)具有線性y＝kx＋b或者有多項(xiàng)形式；

（2）自變量是等間距變化［1］．

使用逐差法時(shí)，將所有測(cè)量量分成兩組，兩組中的數(shù)據(jù)對(duì)減，這樣每個(gè)數(shù)據(jù)只使用一次，可以避免求平均值時(shí)數(shù)據(jù)相消，充分利用了所有數(shù)據(jù)．

圖3

高中物理教學(xué)在“研究勻變速直線運(yùn)動(dòng)”實(shí)驗(yàn)中引入了逐差法．學(xué)生分析紙帶記錄下的小車的運(yùn)動(dòng)，并使用逐差法求小車的加速度．由于紙帶的特殊性，在該實(shí)驗(yàn)中運(yùn)用的逐差法，往往演變?yōu)椤皟啥畏ā备雍?jiǎn)便，即將數(shù)據(jù)對(duì)半分成兩組，以圖3中紙帶為例，將數(shù)據(jù)分為（s1，s2，s3）與（s4，s5，s6）兩組，再將兩組中的數(shù)據(jù)按順序分別相減，最終可把紙帶的后一半與前一半看成兩大段相鄰且相等的時(shí)間間隔（3T），求出加速度．

顯而易見(jiàn)，上面所附的本題解析中使用的數(shù)據(jù)處理方法也是對(duì)半分組順序逐差．

2．2 用其他組合方式求解本題

本題不像紙帶有前半段后半段之分，單從充分利用數(shù)據(jù)的角度，完全可以采用其他的數(shù)據(jù)組合方式進(jìn)行逐差法，下面試用其他組合方式的逐差法求解此題．

2．2．1 奇偶分組順序逐差

把測(cè)量次數(shù)為奇數(shù)的數(shù)據(jù)作為一組，測(cè)量次數(shù)為偶數(shù)的作為另一組．

由式（1）、（2）、（4）得

保留兩位小數(shù)，得r＝1．63Ω．

2．2．2 對(duì)半分組頭尾逐差

仍把數(shù)據(jù)對(duì)半分組，但第二組的最后一個(gè)數(shù)據(jù)減第一組的第一個(gè)數(shù)據(jù)，以此類推．

由（1）、（2）、（5）式得

保留兩位小數(shù)，得r＝1．60Ω．

由此可見(jiàn)，同樣是逐差法，利用了所有數(shù)據(jù)，選擇不同的數(shù)據(jù)組合方式，會(huì)求出不同的答案．但是本題給出的答案是唯一的，即對(duì)半分組順序逐差求出的結(jié)果．

為什么使用逐差法時(shí)都默認(rèn)使用對(duì)半分組順序逐差呢？上述3種組合方式從充分利用數(shù)據(jù)的角度，應(yīng)都是可行的．判斷它們優(yōu)劣應(yīng)看哪一種分組的逐差法計(jì)算結(jié)果更接近真實(shí)值．

3 使用Origin 8．0處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

Origin是美國(guó)Microcal公司推出的數(shù)據(jù)分析和繪圖軟件，具有數(shù)據(jù)的排序、調(diào)整、計(jì)算、統(tǒng)計(jì)、頻譜變換、曲線擬合等各種完善的數(shù)學(xué)分析功能，在教學(xué)、科研、工程技術(shù)領(lǐng)域有非常廣泛的應(yīng)用．該軟件在擬合直線時(shí)，采用最小二乘法作為計(jì)算內(nèi)核，得到的結(jié)果相對(duì)比較精確．下面筆者使用Origin 8．0軟件，處理題中數(shù)據(jù)，描繪U- I圖線，擬合直線，并求該直線斜率的絕對(duì)值，進(jìn)而求出內(nèi)阻，以此作為參考值．

3．1 操作步驟

（1）打開(kāi)軟件，輸入實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（采用國(guó)際單位制），如圖4所示．

圖4 數(shù)據(jù)輸入窗口

（2）點(diǎn)擊右下方散點(diǎn)圖快捷鍵，選擇橫縱軸描繪散點(diǎn)圖，如圖5，6所示．

圖5U- I散點(diǎn)圖

圖6 橫縱軸選擇窗口

（3）擬合直線與參數(shù)分析

選擇Analysis菜單中的Fit Linear，對(duì)圖5進(jìn)行線性擬合，原圖中新增一條擬合出來(lái)的直線，同時(shí)直線旁出現(xiàn)擬合參數(shù)窗口．

圖7 擬合直線與擬合參數(shù)

由圖7擬合參數(shù)窗口中可看到，擬合直線的截距（intercept）為a＝5．385 36，其標(biāo)準(zhǔn)差為0．008 51，斜率（slope）為b＝-5．684 52，標(biāo)準(zhǔn)差為0．084 25，線性擬合相關(guān)系數(shù)R＝0．998 46，說(shuō)明所測(cè)量的數(shù)據(jù)其擬合直線幾乎全部通過(guò)數(shù)據(jù)點(diǎn)（對(duì)于一被擬合的直線來(lái)說(shuō)，相關(guān)系數(shù)越趨近于1，則說(shuō)明x與y間的線性關(guān)系擬合得越好［2］）．

3．2 結(jié)果

由上可知，r′＝5．684 52Ω，可得

4 幾種數(shù)據(jù)處理方式的結(jié)果比較

幾種數(shù)據(jù)處理方式的結(jié)果如表2所示．

表2 幾種數(shù)據(jù)處理方式的結(jié)果

對(duì)比之前幾種逐差法的結(jié)果，可以看出，對(duì)半分組順序逐差得到的結(jié)果最接近由Origin 8．0得到的參考值，可見(jiàn)，用逐差法處理這組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，采取對(duì)半分組順序逐差最合理．

但僅從一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析上我們不能說(shuō)這個(gè)結(jié)論是普遍適用的，還應(yīng)從測(cè)量結(jié)果傳遞誤差是否最小的角度驗(yàn)證．

借鑒文獻(xiàn)［3］的研究結(jié)果，在只考慮儀器誤差的情況下，對(duì)半逐差順序逐差是求測(cè)量值差值的平均值的最優(yōu)分組，它使得在數(shù)據(jù)處理的過(guò)程中，測(cè)量結(jié)果的誤差最小．這個(gè)結(jié)論與我們上面的計(jì)算結(jié)果相符．

5 結(jié)論

在高中教學(xué)中講授逐差法是在求紙帶加速度的背景下進(jìn)行的，由于紙帶的特殊性，逐差法均采用對(duì)半分組且順序逐差．而2014年高考福建理綜卷的這道題中，不涉及紙帶，利用逐差法，就應(yīng)該有多種分組可能，對(duì)應(yīng)得到多個(gè)答案．

雖然對(duì)半分組順序逐差產(chǎn)生誤差最小，是最優(yōu)方法，但關(guān)于逐差法產(chǎn)生誤差的分析已超過(guò)了高中生能力范圍，使用哪一種分組方式不應(yīng)該是在本題的考查范圍之內(nèi)．而這道題的標(biāo)準(zhǔn)答案設(shè)置為唯一值，即只能采用對(duì)半分組順序逐差的方式，筆者認(rèn)為這道題答案是否唯一值得商榷．

1 唐春紅，唐曙光，劉揚(yáng)正．逐差法和Origin8．0軟件在牛頓環(huán)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中的比較．物理通報(bào)，2013（9）：98～100

2 曾貽偉，龔德純，王書(shū)穎，汪順義．普通物理實(shí)驗(yàn)教程．北京：北京師范大學(xué)出版，1989．40～41

3 黃曙江．逐差法的較優(yōu)分組．物理通報(bào)，1998（4）：7～8

2014- 06- 28）