郭莉琴,邵海琴

(天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅天水 741001)

【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)研究】

f-semiclean環(huán)上的Morita系統(tǒng)環(huán)

郭莉琴,邵海琴

(天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅天水 741001)

對clean環(huán)和semiclean環(huán)做了推廣,給出了f-semiclean環(huán)的概念.討論了f-semiclean環(huán)上的Morita系統(tǒng)環(huán)和三角矩陣環(huán)的f-semiclean性質(zhì).

滿元素;f-semiclean環(huán);Morita系統(tǒng)環(huán);三角矩陣環(huán)

文中除特別聲明之外,總假定R是有單位元的環(huán).U(R)和Id(R)分別表示環(huán)R的單位群和由R的冪等元構(gòu)成的集合,T表示Morita系統(tǒng)環(huán).

對clean環(huán)的研究起源于模的消去問題,最早是由Nicholson在文獻(xiàn)[1]中提出的.從此,clean環(huán)就成為環(huán)領(lǐng)域中一個比較熱門的課題,并逐步成為環(huán)論的一個重要研究分支.文獻(xiàn)[2]和[3]中給出了clean環(huán)的一些例子.文獻(xiàn)[4]對clean環(huán)做了推廣,給出了semiclean環(huán)的定義,研究了它的一些性質(zhì).文獻(xiàn)[5]給出了f-clean環(huán)的概念,并給出了一些結(jié)果.

受以上文獻(xiàn)中結(jié)果的啟發(fā),本文給出f-semiclean環(huán)的定義,并討論了f-semiclean環(huán)上的Morita系統(tǒng)環(huán)和三角矩陣環(huán)的f-semiclean性質(zhì).

定義1[1]稱環(huán)R的元素r是clean元,是指r=e+u,其中:e∈Id(R),u∈U(R).如果R的每個元素都是clean元,則稱R是clean環(huán).

定義2[4]稱環(huán)R的元素r是semiclean元,是指r=a+u,其中:a是R的周期元(即am=an;m,n∈Z+,且m≠n),u∈U(R).如果R的每個元素都是semiclean元,則稱R是semiclean環(huán).

定義3[5]稱環(huán)R的元素w是滿元素,是指存在s,t∈R,使得swt=1.環(huán)R的所有滿元素做成的集合記為K(R).

定義4[5]稱環(huán)R的元素r是f-clean元,是指r=e+w,其中:e∈Id(R),w∈K(R).稱R是f-clean 環(huán),是指R的每個元素都是f-clean元.

定義5稱環(huán)R的元素r是f-semiclean元,是指r=a+w,其中:a是R的周期元(即am=an;m,n∈Z+, 且m≠n),w∈K(R).稱環(huán)R是f-semiclean環(huán),是指R的每個元素都是f-semiclean元.

P.Ara,K.R.Goodearl和E.Pardo在文獻(xiàn)[6]中研究了純有限單環(huán).如果R是非除環(huán)的純有限單環(huán),則對R的每個非零元x,存在s,t∈R,使得sxt=1.對純有限單環(huán)R的元素x來說,要么x=0,要么x∈K(R).因此,純有限單環(huán)是f-semiclean環(huán),但它不是semiclean環(huán).所以f-semiclean環(huán)是semiclean環(huán)的真推廣.

引理1f-semiclean環(huán)的同態(tài)像是f-semiclean環(huán).

定義6[5]設(shè)(A,B,W,V,ψ,φ)表示Morita系統(tǒng)環(huán),其中:A,B是環(huán);BWA,AVB是雙模;ψ:VW→A, φ:WV→B是雙模同態(tài)對子,且滿足:

作成環(huán),稱為Morita系統(tǒng)環(huán).

下面討論f-semiclean環(huán)上的Morita系統(tǒng)環(huán)的性質(zhì).

定理2 設(shè)R是環(huán),如果矩陣環(huán)Mn(R)和Mm(R)都是f-semiclean環(huán),則三角矩陣環(huán)Tn+m(R)也是f-semiclean環(huán).

因?yàn)镸n(R)和Mm(R)都是f-semiclean環(huán),則存在A11的周期元P1和A22的周期元P2,A11的滿元素W1和A22的滿元素W2,使得

推論6設(shè)R是環(huán),則R是f-semiclean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)三角矩陣環(huán)Tn(R)是f-semiclean環(huán).

[1]Nicholson W K.Lifting idempotents and exchange rings[J].Trans.Amer.Math.Soc,1977,(2):269-278.

[2]Camillo V P,Yu H P.Exchange rings,units and idempotents[J].Comm.Algebra,1994,22(12):4737-4749.

[3]Camillo V P,Khurana D.A characterization of unit regular ring[J].Comm.Algebra,2001,29(5):2293-2295.

[4]Ye Y Q.Semiclean Rings[J].Comm.Algebra,2003,31(11):5609-5625.

[5]Li B J,Feng L G.f-clean rings and rings having many full elements[J].J.Korean Math.Soc,2010,47(2):247-261.

[6]Ara P,Goodearl K R,Pardo E.K0of purely infinite simple regular rings[J].K Theory,2002,26(1):69-100.

【責(zé)任編輯 牛懷崗】

Morita Context Ring over f-semiclean Ring

GUO Li-qin,SHAO Hai-qin
(School of Mathematics and Statistics,Tianshui Normal University,Tianshui 741001,China)

In this paper,clean rings and semiclean rings are generalized.The conception of f-semiclean ring is introduced. The properties of Morita context ring and fomal triangular matrix ring over f-semiclean ring are investigated.

full element;f-semiclean ring;Morita context ring;triangular matrix ring

O153.3

A

1009-5128(2014)07-0005-03

2013-11-13

天水師范學(xué)院中青年教師科研資助項(xiàng)目:特殊環(huán)與半環(huán)的分次和導(dǎo)子的研究(TSA1312)

郭莉琴(1977—),女,甘肅天水人,天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師,理學(xué)碩士,主要從事環(huán)與代數(shù)研究.