邊夢(mèng)柯，樊太和

（浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州310018）

模糊集收斂的等價(jià)性

邊夢(mèng)柯，樊太和

（浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州310018）

基于前人在對(duì)特殊模糊集上關(guān)于確界收斂，L-收斂，Endograph-收斂，Sendograph-收斂之間的等價(jià)性的分析，證明了一般模糊數(shù)序列上確界度量收斂等價(jià)于同時(shí)層次收斂和強(qiáng)截集收斂，并對(duì)關(guān)于截集連續(xù)的模糊數(shù)集合上的收斂的等價(jià)性給出了一種簡(jiǎn)潔的幾何證明方法。

模糊數(shù)；上確界度量；截集收斂；強(qiáng)截集收斂

1 引 言

自模糊數(shù)的概念于20世紀(jì)70年代引入以來，已被人們從不同角度進(jìn)行了深入研究。Kaleva，Greco等許多學(xué)者在模糊集的收斂方面做了大量的研究［1-2］，Medar M R和Flores H R［3］在文獻(xiàn)中討論并證明了一種特殊的模糊集的上確界收斂、L-收斂、Endograph-收斂、Sendograph-收斂之間的等價(jià)性，但是證明過程繁瑣。本文將討論并證明對(duì)一般模糊數(shù)來說，上確界收斂等價(jià)于同時(shí)L-收斂和強(qiáng)截集收斂，本文還將對(duì)文獻(xiàn)［3］中模糊集收斂的等價(jià)性給出一種簡(jiǎn)潔的幾何證明方法。

1 模糊集收斂

設(shè)（X，d）是一個(gè)度量空間，A1，A2是X的兩個(gè)非空緊子集，則A1，A2之間的Hausdorff度量H定義如下：

其中B（A，ε）=｛x∈X｜d（x，A）＜ε｝，d（x，A）=（x，a）。

用PK（X）表示所有X的非空緊子集構(gòu)成的集合。眾所周知，H是PK（X）上的一個(gè)度量，如果X是可分（完備）的，則PK（X）也是可分（完備）的。

上述度量H可等價(jià)定義為：

其中H*（A，B）=sup｛d（a，B）｜a∈A｝。

設(shè)C，Cp（p=1，2，…）?X，稱｛Cp｝Kuratowski收斂于C，如果

其中

＜pi+1，i=1，2，…｝=。

以下是Kuratowski收斂與Hausdorff收斂之間的關(guān)系及Hausdorff收斂的性質(zhì)。

設(shè)｛Cp｝是一緊集序列，則｛Cp｝在Kuratowski意義下收斂于緊集C等價(jià)于｛Cp｝在Hausdorff度量下收斂于C。由于Kuratowski極限一定是閉集，因此有以下關(guān)系：

設(shè)｛Cp｝（p=1，2，…）是PK（X）中的一非降（增）序列，若存在｛Cp｝的一個(gè)子列在Hausdorff度量下收斂于C（∈PK（X）），則｛Cp｝在Hausdorff度量下收斂于C，即H（Cp，C）→0（p→+∞）。

設(shè)En=｛u：Rn→I｜對(duì)所有α∈I，Lαu是非空緊集｝，其中

為u的α-截集，而

任取α∈［0，1），令Lα+u=（Lα+u稱為u的α強(qiáng)截集）。則強(qiáng)截集有如下性質(zhì)：若｛αn｝是I中任一單調(diào)遞減收斂于α的子列，有→Lα+u（n→ +∞）。再令J（u）=｛α∈（0，1）｜H（Lαu，Lα+u）＞0｝=｛u∈En｜對(duì)任意的α∈［0，1］，Lαu是關(guān)于α連續(xù)的｝（當(dāng)α=0或1時(shí)，Lαu的連續(xù)性分別為右或左連續(xù)）。則有：u∈當(dāng)且僅當(dāng)J（u）=?。

En上的上確界度量d∞定義為d∞（u，v）= supα∈（0，1］H（Lαu，Lαv）。（En，d∞）是完備但不可分的度量空間。

下面是模糊集的幾種收斂定義。

定義0.1 （1）（d∞-收斂［3］）設(shè)up，u∈En，p= 1，2，…。稱up關(guān)于度量d∞收斂于u，如果d∞（up，u）→0（p→∞），簡(jiǎn)記為up→u（d∞）。

（2）（L-收斂［3］）設(shè)up，u∈En，p=1，2，…。稱up截集收斂于u，如果對(duì)任意的α∈（0，1］，H（Lαup，Lαu）→0（p→∞），簡(jiǎn)記為up→u（L）。

（3）（L+-收斂）設(shè)up，u∈En，p=1，2，…。稱up強(qiáng)截集收斂于u，如果對(duì)任意的α∈［0，1），H（Lα+ up，Lα+u）→0（p→∞），簡(jiǎn)記為up→u（L+）。

定理0.2［3］設(shè)up∈En，u∈，p=1，2，…，則下面結(jié)論是等價(jià)的：

（i）up→u（d∞）；

（ii）up→u（L）且L0up→L0u（H）。

注：文獻(xiàn)［3］中給出的定理0.2的（ii）?（i）的證明是一種分析方法，這一證明既要用到文獻(xiàn)［4］的結(jié)論，又要用到該文中的預(yù)備工作（引理3.13，3.15），整個(gè)證明篇幅超過3頁，因此證明過程非常復(fù)雜。本文將在下一節(jié)給出（ii）?（i）的一種幾何證明方法，和文獻(xiàn)［3］中的證明過程相比，本文給出的方法要直觀簡(jiǎn)潔得多。

2 模糊集收斂的等價(jià)性證明

定理1.1 設(shè)u，v∈En，則存在α∈I，使得

d∞（u，v）=max｛H（Lαu，Lαv），H（Lα+u，Lα+v）｝，即上確界度量關(guān)于截集或強(qiáng)截集是可達(dá)到的。

證明 因?yàn)閐∞（u，v）=supα∈（0，1］H（Lαu，Lαv），所以對(duì)任意的n∈N，存在αn∈I，使得

不妨設(shè)｛αn｝是I中的一單調(diào)收斂子列，若｛αn｝單調(diào)遞增收斂于α0，則對(duì)式（1）關(guān)于n取極限可得：

若｛αn｝單調(diào)遞減收斂于α1，同樣地，對(duì)式（1）關(guān)于n取極限可得：

因此由上面兩式可得：d∞（u，v）=v）或d∞（u，v）=所以存在α∈I，使得d∞（u，v）=max｛H（Lαu，Lαv），H（Lα+u，Lα+v）｝。

命題1.2 設(shè)up，u∈En，p=1，2，…。則up→u（d∞）?up→u（L）且up→u（L+）。

證明 必要性：由d∞-收斂和L-收斂的定義可知：up→u（d∞）?up→u（L），因此只需證明up→u（L+）即可。

對(duì)任意的α∈［0，1），取I中的收斂于α的一個(gè)單調(diào)遞降列｛αn｝，由上確界度量d∞的定義可知：對(duì)上述所有的αn，有d∞（up，u）≥H。再令n→∞可得：d∞（up，u）≥H（Lα+up，Lα+u）。又因?yàn)閡p→u（d∞），即d∞（up，u）→0（p→∞），所以H（Lα+up，Lα+u）→0。再由α的任意性可得：up→u（L+）。

充分性：假設(shè)up→/u（d∞），則存在ε0＞0，對(duì)任意的p0∈N，存在p≥p0，使得d∞（up，u）≥2ε0，即存在αp∈I，使

于是滿足式（2）的αp有無限個(gè)，且不是無限重復(fù)的，否則與假設(shè)矛盾。因此｛αp｝有收斂子列設(shè)收斂于α0，進(jìn)一步可假設(shè)單調(diào)收斂于α0。為書寫方便，用｛αp｝代替其子列，即｛αp｝單調(diào)收斂于α0。

若｛αp｝單調(diào)遞增收斂于α0，則由式（2）和截集函數(shù)的左連續(xù)性可得：≥ε0，與up→u（L）矛盾，因此｛αp｝單調(diào)遞減收斂于α0。

下面所舉的兩個(gè)例子說明命題1.2中的up→u（L）和up→u（L+）兩個(gè)條件是必不可少的，且兩者之間沒有必然聯(lián)系。

例1 設(shè)up，u∈E1，p=3，4，…，且

顯然up→u（L），+up=［1，2］，+u=｛2｝，但，d∞（up，u）=1。

例2 設(shè)up，u∈E1，p=3，4，…，且

顯然up→u（L+）=｛2｝，=［1，2］，但=1，d∞（up，u）=1。

下面的定理是截集收斂的一個(gè)重要性質(zhì)，由此定理得到的推論即是文獻(xiàn)［3］中的引理3.15。

定理1.3 設(shè)up，u∈En，p=1，2，…，且up→u（L），L0up→L0u（H）。設(shè)α，αp∈［0，1］（p=1，2，…）且α?J（u），若αp→α，則=0。

證明 因?yàn)棣?J（u），所以對(duì)任意的ε＞0，存在δ＞0，使

因?yàn)棣羛→α，所以對(duì)上述的δ＞0，存在p1∈N，當(dāng)p≥p1時(shí)，有α-δ＜αp＜α+δ。又因?yàn)閡p→u（L），所以對(duì)上述的ε＞0，存在p2∈N，當(dāng)p≥p2時(shí)，有

令p0=max｛p1，p2｝，則對(duì)上述的ε＞0，當(dāng)p≥p0時(shí)，有

且

因此對(duì)任意的ε＞0，存在p0∈N，當(dāng)p≥p0時(shí)，有

證畢。

推論1.4［3］定理1.3中的條件“α?J（u）”換成“u∈”后，結(jié)論恒成立。

下面筆者給出定理0.2中（ii）?（i）的一種幾何證明。

設(shè)up，u滿足定理0.2中的假設(shè)及條件（ii）。對(duì)任意p∈N，令fp（α）=H（Lαup，Lαu），則對(duì)任意的α∈（0，1］，fp（α）→0（p→∞）。

又因?yàn)閡p→u（L），所以對(duì)上述的ε＞0，存在p0∈N，使當(dāng)p≥p0時(shí)，有

令B（α0，δα0）是α0的δα0開鄰域（當(dāng)α0為0或1時(shí)，同理分別可得0與1的半閉半開和半開半閉鄰域），則｛B（α0，δα0）：α0∈I｝構(gòu)成I的一個(gè)開覆蓋。由I的緊致性可知：有有限個(gè)B（α0，δα0）構(gòu)成I的一個(gè)有限覆蓋。因此要證明fp（α）在I上一致收斂于0，只需證明對(duì)任意的α∈（0，1），fp（α）在某一個(gè)開鄰域B（α0，δα0）上一致收斂于0且fp（0）、fp（1）分別在［0，δ0），（δ1，1］上一致收斂于0即可。這里僅證明α0∈（0，1）的情形，α0=0，1的情形可類似證明。

對(duì)任意的α∈B（α0，δα0），對(duì)上述的ε＞0，當(dāng)p≥p0時(shí)，有

所以fp（α）在B（α0，δα0）上一致收斂于0，這就證明了fp（α）在I上一致收斂于0。

因此對(duì)任意的ε＞0，存在p0∈N，使當(dāng)p≥p0時(shí)，｜fp（α）｜＜ε。從而

即d∞（up，u）→0（p→∞），證畢。

［1］Kaleva O.On the convergence of fuzzy sets［J］.FuzzySets and Systems，1985，17：53-65.

［2］Greco G H，Moschen M P，Rezenda E Q F.On the variational convergence of fuzzy sets in metric spaces［J］. Ann Univ Ferrara-Sez VII-Sc Mat，1998，44：27-39.

［3］Medar M R，F(xiàn)lores H R.On the equivalence of convergence of fuzzy sets［J］.J Fuzzy Sets and Systems，1996， 80：217-224.

［4］Kuratowski K.Introducción a la Theoria de Conjuntos y a la Topologia［M］.Barcelona：Vicens-Vives，1966.

［5］Diamond P，Kloeden P.Metric Spaces of Fuzzy Sets：Theory and Applications［M］.Singapore：World Scientific，1994.

Equivalence Property of Convergence of Fuzzy Sets

BIAN Meng-ke，F(xiàn)AN Tai-he
（School of Sciences，Zhejiang Sci-Tech university，Hangzhou 310018，China）

Base on the previous analysis of equivalency among clear boundary convergence，L-convergence，Endograph-convergence and Sendograph-convergence in special fuzzy sets，This paper proves that supremum metric convergence is equivalent to simultaneous level convergence and strong cut set convergence for general fuzzy number sequences and meanwhile gives a geometric method to prove the equivalence property of convergence on continuous fuzzy number set about cut set.

fuzzy number；supremum metric；cut set convergence；strong cut set convergence

O189.13

A

（責(zé)任編輯：馬春曉）

1673-3851（2014）01-0079-04

2012-06-01

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11171308）

邊夢(mèng)柯（1987-），女，河南許昌人，碩士研究生，主要從事不確定性的數(shù)學(xué)理論研究。