高金龍，蔣義偉，韓曙光，張 婷

（浙江理工大學(xué)，a.理學(xué)院；b.服裝學(xué)院，杭州310018）

帶提前期的供應(yīng)鏈訂貨與運(yùn)輸最優(yōu)決策問(wèn)題

高金龍a，蔣義偉a，韓曙光a，張 婷b

（浙江理工大學(xué)，a.理學(xué)院；b.服裝學(xué)院，杭州310018）

為研究供應(yīng)鏈的訂貨與運(yùn)輸?shù)淖顑?yōu)決策問(wèn)題，分別討論供應(yīng)商與零售商之間合作與非合作兩種情形下的最優(yōu)決策。假定交貨提前期與運(yùn)輸工具有關(guān)，其滿足均勻分布，且在提前期內(nèi)允許缺貨，所造成的缺貨損失由零售商承擔(dān)。目標(biāo)是最小化供應(yīng)鏈的費(fèi)用，根據(jù)具體的費(fèi)用函數(shù)建立供應(yīng)商、零售商模型，并提出分析方法來(lái)決定最優(yōu)的決策變量值。經(jīng)過(guò)計(jì)算得出了非合作與合作兩種情形下的最優(yōu)決策值，并通過(guò)算例對(duì)最優(yōu)決策進(jìn)行驗(yàn)證分析，表明合作情形下的總費(fèi)用比非合作情形下的總費(fèi)用少，供需雙方更要加強(qiáng)合作。

供應(yīng)鏈；提前期；訂貨；運(yùn)輸；最優(yōu)決策

0 引 言

如今消費(fèi)者越來(lái)越注重企業(yè)的服務(wù)水平，企業(yè)在確保產(chǎn)品質(zhì)量的前提下，如何保持消費(fèi)者對(duì)企業(yè)的信賴，是當(dāng)今企業(yè)所關(guān)注的問(wèn)題。合理的服務(wù)水平能有效平衡消費(fèi)者對(duì)于企業(yè)的滿意程度以及企業(yè)的成本，適當(dāng)?shù)奶崆捌诓粌H能有效降低安全庫(kù)存量，減少缺貨風(fēng)險(xiǎn)，而且能提高客戶服務(wù)水平［1］。此外，產(chǎn)品的供給是否及時(shí)，貨源是否充足將很大程度上影響企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力，因此企業(yè)需要合理優(yōu)化訂貨、運(yùn)輸?shù)拳h(huán)節(jié)。

Goyal［2］首先引進(jìn)了兩階段的單一供應(yīng)商與單一零售商的聯(lián)合模型。Banerjee［3］提出了Lot-forlot決策，該模型是對(duì)文獻(xiàn)［2］中提出的模型進(jìn)行了一般化的處理，即假設(shè)生產(chǎn)商批量生產(chǎn)的產(chǎn)品一次性全部運(yùn)給零售商的特殊情形。Goyal［4］提出E-qual-sized shipments決策，供應(yīng)商將產(chǎn)品分批進(jìn)行運(yùn)輸，每批次的產(chǎn)品都是等量的，并通過(guò)建立模型確定了最優(yōu)運(yùn)輸量。Goyal［5］根據(jù)運(yùn)輸量增長(zhǎng)率λ是按照生產(chǎn)率P與需求率D的比值提出了新的運(yùn)輸模型，即Geometric-shipments決策。Hill［6］在文獻(xiàn)［5］的基礎(chǔ)上提出了先幾何運(yùn)輸后等量運(yùn)輸?shù)哪Ｐ?，即Geometric-then-equal-shipments決策。Ben-Daya等［7］對(duì)于JELP（joint economic lot sizing problem）作了比較詳細(xì)的概括，并對(duì)這類問(wèn)題作了一些拓展和延伸。

Sajadieh等［8］提出了需求與庫(kù)存有關(guān)的模型，給定了零售商的庫(kù)存微分方程，建立相關(guān)的模型，確定了最優(yōu)的訂貨次數(shù)和最優(yōu)訂貨量。Sajadieh等［9］分析了價(jià)格與需求有關(guān)的運(yùn)輸、訂貨、定價(jià)決策，并通過(guò)算例驗(yàn)證了聯(lián)合模型下的供應(yīng)鏈效益優(yōu)于非聯(lián)合模型下的效益。Qin等［10］分析了價(jià)格敏感需求下的帶有價(jià)格折扣的決策問(wèn)題。李洋等［11］研究市場(chǎng)需求不確定條件下零售商主導(dǎo)的兩級(jí)供應(yīng)鏈博弈均衡問(wèn)題，并分析了供需雙方合作與非合作模式下的決策問(wèn)題。李根道等［12］研究了關(guān)于易逝產(chǎn)品的價(jià)格決策問(wèn)題，其中產(chǎn)品的需求與庫(kù)存、價(jià)格有關(guān)。

隨著科學(xué)技術(shù)的突飛猛進(jìn)，國(guó)內(nèi)高鐵等現(xiàn)代交通運(yùn)輸也得到很快的發(fā)展，可運(yùn)輸成本仍是制約企業(yè)利潤(rùn)增長(zhǎng)的一個(gè)重要因素，因此如何選擇合適的運(yùn)輸方式優(yōu)化成本顯得尤為重要。選擇運(yùn)輸時(shí)間短的快捷運(yùn)輸工具，縮短了提前期，提高了服務(wù)水平，但成本也隨之提高；而選擇運(yùn)輸時(shí)間長(zhǎng)的傳統(tǒng)運(yùn)輸工具，運(yùn)輸成本降低了，但可能出現(xiàn)缺貨情形，不能及時(shí)滿足客戶服務(wù)需求。Sajadieh等［13］提出了含有提前期約束的供需模型，給出了零售商庫(kù)存在部分缺貨和完全缺貨情況下的情形，分別求出了供需雙方合作和非合作兩種模式下的效益函數(shù)。Quyang等［14］根據(jù)模型結(jié)果得出較短的提前期能降低安全庫(kù)量、減少庫(kù)存費(fèi)用、提高顧客服務(wù)水平、增強(qiáng)商業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力。Ben-Daya等［15］建立模型分析了在提前期約束下，得出了最優(yōu)的訂貨模型，確?？偟挠嗀洺杀尽?kù)存成本以及提前期內(nèi)的部分成本最少。因此，如何合理地選擇運(yùn)輸工具，降低運(yùn)輸成本有助于實(shí)現(xiàn)供需雙方的費(fèi)用最小化。

本文在原有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，考慮了提前期的均勻分布函數(shù)。在產(chǎn)品的運(yùn)輸費(fèi)用部分，由之前的固定運(yùn)費(fèi)成本，轉(zhuǎn)變成運(yùn)費(fèi)是不固定的，且關(guān)于訂貨量是線性的，這更加的具有實(shí)際意義。

1 問(wèn)題描述和模型假設(shè)

1.1 問(wèn)題描述

假定供應(yīng)鏈系統(tǒng)由單一供應(yīng)商和單一零售商構(gòu)成，銷售單一產(chǎn)品。產(chǎn)品總需求一定，且每批次從供應(yīng)商到零售商的產(chǎn)品都是等量運(yùn)送。零售商按照（Q，r）策略訂貨，即采取定量訂貨，當(dāng)其庫(kù)存量達(dá)到安全庫(kù)存點(diǎn)r時(shí)，零售商將向供應(yīng)商訂貨，每次訂貨量為Q，且運(yùn)輸工具可以自由選擇，對(duì)應(yīng)地每種運(yùn)輸方式的費(fèi)用函數(shù)是關(guān)于運(yùn)輸量Q的線性函數(shù)。供應(yīng)商根據(jù)零售商的總需求進(jìn)行生產(chǎn)，其生產(chǎn)率為P，總生產(chǎn)量為Q的整數(shù)倍。整個(gè)供應(yīng)鏈系統(tǒng)中包含的費(fèi)用有供應(yīng)商產(chǎn)品生產(chǎn)前的準(zhǔn)備費(fèi)用，零售商的訂貨費(fèi)用、缺貨損失費(fèi)用、提前期內(nèi)的準(zhǔn)備費(fèi)用和運(yùn)輸費(fèi)用，以及供需雙方的庫(kù)存費(fèi)用。本文目標(biāo)是選擇合適的運(yùn)輸方式?jīng)Q定運(yùn)輸?shù)拇螖?shù)n、訂貨點(diǎn)r以及訂貨量Q，以實(shí)現(xiàn)供應(yīng)鏈的費(fèi)用最小化。

文中用到的符號(hào)如下：

D 零售商的需求率；

P 供應(yīng)商的生產(chǎn)率；

Q 零售商的單次訂貨量；

r 零售商的再訂貨點(diǎn)；

Ab零售商的訂貨費(fèi)；

hv供應(yīng)商單位時(shí)間單位產(chǎn)品的庫(kù)存費(fèi)；

hb零售商單位時(shí)間單位產(chǎn)品的庫(kù)存費(fèi)；

π 零售商單位時(shí)間單位產(chǎn)品的缺貨損失費(fèi)；

n 零售商從供應(yīng)商運(yùn)輸產(chǎn)品的總次數(shù)；

T 循環(huán)時(shí)間（零售商訂貨時(shí)間間隔）；

L 提前期（零售商補(bǔ)充產(chǎn)品所需的時(shí)間）；

TCb（r，Q） 零售商單位時(shí)間的總費(fèi)用；

tcb（r，Q，L） 零售商在一個(gè)循環(huán)期內(nèi)關(guān)于L的庫(kù)存費(fèi)和缺貨損失費(fèi)；

tcb（r，Q） 零售商在一個(gè)循環(huán)期內(nèi)關(guān)于給定的r，Q的庫(kù)存費(fèi)和缺貨損失費(fèi)；

AIv供應(yīng)商的平均庫(kù)存量；

TCv（n） 供應(yīng)商的平均費(fèi)用；

TCS（r，Q，n） 非合作下供需雙方的平均費(fèi)用；

TCJ（r，Q，n） 合作下供需雙方的平均費(fèi)用。

1.2 模型假設(shè)

（1）供應(yīng)商的產(chǎn)品生產(chǎn)率為P；

（2）產(chǎn)品的需求率D一定，且P＞D；

（3）零售商當(dāng)其庫(kù)存達(dá)到安全庫(kù)存點(diǎn)r時(shí)，向供應(yīng)商訂貨，每批次訂量為Q；

（4）供應(yīng)商一次性生產(chǎn)nQ的產(chǎn)品，分n次運(yùn)送給零售商；

（5）允許缺貨且缺貨損失由零售商承擔(dān)；

（6）提前期內(nèi)產(chǎn)品從供應(yīng)商運(yùn)送到零售商的時(shí)間滿足均勻分布，其概率密度函數(shù)記作L～U［a，b］，其中a，b表示提前期的區(qū)間端點(diǎn)；

（7）提前期內(nèi)零售商的準(zhǔn)備成本為S，運(yùn)輸費(fèi)用FCi（Q）=ai+biQ，ai≥0，bi≥0是關(guān)于Q的線性函數(shù)，ai表示對(duì)應(yīng)的運(yùn)輸方式的固定費(fèi)用，bi表示對(duì)應(yīng)的單位產(chǎn)品運(yùn)輸費(fèi)用，其中i=1，2，…，m，有m種運(yùn)輸工具可供選擇；

2 模型建立與求解

考慮供應(yīng)鏈成員間非合作與合作兩種情形，首先建立非合作時(shí)的供應(yīng)商與零售商的最小費(fèi)用模型，分別得到最優(yōu)決策。然后再對(duì)供需雙方合作情形進(jìn)行分析，得出供應(yīng)鏈整體費(fèi)用模型及最優(yōu)策略，使得總費(fèi)用最小。

2.1 供需雙方非合作最優(yōu)模型

2.1.1 零售商決策模型

當(dāng)供需雙方非合作時(shí)，零售商處于主導(dǎo)地位，根據(jù)市場(chǎng)需求確定訂貨量向供應(yīng)商下訂單。圖1給出了零售商在一個(gè)循環(huán)期內(nèi)根據(jù)不同的交貨時(shí)間而產(chǎn)生的可能情況。產(chǎn)品的需求率為D，而在零售商補(bǔ)貨的時(shí)間L內(nèi)，產(chǎn)品的到貨時(shí)間與選擇的運(yùn)輸工具有關(guān)，所以零售商的庫(kù)存量關(guān)于時(shí)間的函數(shù)就有三種可能：情形1說(shuō)明零售商的庫(kù)存量在消耗完之前，產(chǎn)品就及時(shí)地補(bǔ)充到倉(cāng)庫(kù)，這種情形下不存在缺貨（L≤r/D）；情形2說(shuō)明產(chǎn)品部分缺貨，產(chǎn)生缺貨損失，且在時(shí)間點(diǎn)Q/D之前補(bǔ)充到倉(cāng)庫(kù)；情形3說(shuō)明提前期超過(guò)Q/D，下次的產(chǎn)品補(bǔ)充到倉(cāng)庫(kù)達(dá)不到安全庫(kù)存點(diǎn)r。

圖1 零售商的庫(kù)存隨時(shí)間的變化

零售商在一個(gè)循環(huán)期內(nèi)關(guān)于提前期L的庫(kù)存費(fèi)用tcb（r，Q，L）表示如下：零售商在一個(gè)循環(huán)期內(nèi)對(duì)于給定的r和Q的庫(kù)存費(fèi)用，tcb（r，Q）表示如下：

零售商的總費(fèi)用=訂貨費(fèi)+庫(kù)存費(fèi)+缺貨損失費(fèi)+提前期內(nèi)的準(zhǔn)備費(fèi)+運(yùn)輸費(fèi)，即

對(duì)于給定的運(yùn)輸量Q，令

根據(jù)（3）得出零售商的最優(yōu)安全庫(kù)存為：

由（6）可知TCb（r，Q）是關(guān)于Q的嚴(yán)格凸函數(shù)。令=0，得出

2.1.2 供應(yīng)商決策模型

零售商確定訂貨量Q后，供應(yīng)商按照額定的生產(chǎn)率P進(jìn)行生產(chǎn)，并確定運(yùn)輸次數(shù)n。

圖2 供應(yīng)商的庫(kù)存隨時(shí)間的變化

由圖2可以得出其平均庫(kù)存量為：供應(yīng)商的總費(fèi)用=供應(yīng)商的準(zhǔn)備費(fèi)用+庫(kù)存費(fèi)用，用TCv（n）表示，即

在非合作模型下，供需雙方分別根據(jù)最小化各自的費(fèi)用來(lái)制定訂貨決策，即零售商在占據(jù)主導(dǎo)地位時(shí)確定其最優(yōu)的決策變量（Q，r）；同樣的供應(yīng)商按照其生產(chǎn)能力來(lái)確定最優(yōu)的運(yùn)輸次數(shù)n，故非合作模型下供需雙方的單位時(shí)間總費(fèi)用為。

2.2 供需雙方合作最優(yōu)模型

2.2.1 供應(yīng)商與零售商整體決策模型

假設(shè)供應(yīng)商與零售商雙方互相合作，遵循供應(yīng)鏈整體利益最優(yōu)的原則。此時(shí)，供需雙方整體平均費(fèi)用TCJ（r，Q，n）滿足：

可以簡(jiǎn)單證明對(duì)于給定的n，

TCJ（r，Q，n）關(guān)于r，Q是嚴(yán)格的凸函數(shù)。在供需雙方以供應(yīng)鏈整體利益最優(yōu)為前提下，確定最優(yōu)的訂貨量和安全庫(kù)存點(diǎn)，即

由于運(yùn)輸次數(shù)n為正整數(shù)，所以必存在n*J，使得

2.2.2 算法步驟

2）根據(jù)給定的n，可由（12），（13）式解出最優(yōu)值r，Q使得TCJ（r，Q，n）最??；

3）若Q，n滿足（10）式，則繼續(xù)步驟4），否則步驟6）；

4）若TCJ（r，Q，n）＜，則令i=1，=r，=Q，=n，=TCJ（r，Q，n）；

5）n=n+1，繼續(xù)步驟2）；

6）若i=0，則繼續(xù)步驟4）；否則，當(dāng)前為最優(yōu)值。

3 數(shù)值算例

為了對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證分析，本文基于具體的參數(shù)值并利用上文中的模型進(jìn)行計(jì)算得到一些有價(jià)值的結(jié)果。

假定有關(guān)參數(shù)的取值為：生產(chǎn)率P=5 000件，需求D=1 000件，供應(yīng)商準(zhǔn)備成本Av=2 000元，單位庫(kù)存成本hv=20元；零售商每批次的訂貨成本Ab=125元，單位庫(kù)存成本hb=25元，最長(zhǎng)缺貨時(shí)間不超過(guò)，即k=1，單位缺貨損失費(fèi)用π=45元。提前期內(nèi)零售商準(zhǔn)備成本為S=200元，運(yùn)輸費(fèi)參數(shù)滿足ai∈［30，50，70，90，110］，bi∈［4，5，6，7，8］，其中i取值為1，2，…，5。用PS表示雙方合作下相比較于非合作下所節(jié)省的費(fèi)用的百分，即

雙方合作情況下零售商與供應(yīng)商的費(fèi)用可以分別用TCbJ，TCvJ表示：

模型計(jì)算結(jié)果如表1，表2：

表1 雙方非合作最優(yōu)決策值

表1雙方非合作情形下，零售商在供應(yīng)鏈中占據(jù)主導(dǎo)地位，確定訂貨量Q，供應(yīng)商根據(jù)確定的Q決定零售商運(yùn)輸?shù)拇螖?shù)n；一般情況下，運(yùn)輸費(fèi)用越高，運(yùn)輸就越快捷。從表1中可以看出，隨著ai，bi的增加，零售商總費(fèi)用呈遞增的關(guān)系，供應(yīng)商總費(fèi)用卻呈現(xiàn)遞減的趨勢(shì)。

表2 雙方合作最優(yōu)決策值

表2雙方合作情形下，以供應(yīng)鏈整體最優(yōu)為前提下，整個(gè)供應(yīng)鏈的費(fèi)用相比較與非合作情形下有所減少，且雙方各自的費(fèi)用也相對(duì)減少。在一定程度上，選擇快捷的運(yùn)輸工具，可以降低運(yùn)輸次數(shù)，對(duì)于零售商來(lái)說(shuō)更加方便。此外當(dāng)運(yùn)費(fèi)占整個(gè)供應(yīng)鏈總費(fèi)用的比例越來(lái)越大時(shí)，雙方合作下相比較于非合作下所節(jié)省的費(fèi)用的百分比將越來(lái)越大。

給定不同的合理的參數(shù)進(jìn)行分析，對(duì)于文章的結(jié)論沒(méi)有影響，因?yàn)楦鶕?jù)求出的最優(yōu)決策值就能判定合作與非合作兩種情形下的相關(guān)結(jié)果，而給出的算例只是通過(guò)相關(guān)數(shù)據(jù)更加形象地來(lái)反映這一結(jié)論。

4 結(jié) 論

當(dāng)前國(guó)內(nèi)運(yùn)輸費(fèi)用居高不下，如何合理的選擇運(yùn)輸方式，是當(dāng)前供應(yīng)鏈里的重要的問(wèn)題。本文考慮了供需雙方在合作與非合作兩種情形下的訂貨模型，結(jié)合運(yùn)輸問(wèn)題，得出了最優(yōu)決策值。文中具體考慮了運(yùn)輸費(fèi)用的情況，并在數(shù)值分析中重點(diǎn)考慮了幾組數(shù)據(jù)，通過(guò)運(yùn)輸費(fèi)用的變化來(lái)分析最優(yōu)決策的變化，可以看出運(yùn)輸費(fèi)用在零售商的整體費(fèi)用中占據(jù)的比例比較高。

雙方非合作情形下，零售商占據(jù)主導(dǎo)地位，其根據(jù)市場(chǎng)需求確定最優(yōu)訂貨量，在交貨提前期內(nèi)，由于不同的運(yùn)輸方式，其運(yùn)輸時(shí)間不同。假如零售商對(duì)于客戶水平有很高的要求，其更傾向于快捷的運(yùn)輸方式；相反，如果要求不高，則可以選擇相對(duì)傳統(tǒng)的運(yùn)輸方式。雙方合作情形下，主要以供應(yīng)鏈整體最優(yōu)為前提，相比較于非合作情形下，雙方合作情形對(duì)于雙方來(lái)說(shuō)，利大于弊。分析表明：越方便快捷的運(yùn)輸方式，零售商總費(fèi)用越高，供應(yīng)商總費(fèi)用卻越來(lái)越少，這勢(shì)必會(huì)造成零售商的不滿，因此如何權(quán)衡雙方在整個(gè)供應(yīng)鏈中的利益，是我們不得不考慮的問(wèn)題。

此外，可以繼續(xù)研究的相關(guān)問(wèn)題有：運(yùn)輸費(fèi)用供需雙方共同承擔(dān)，具體承擔(dān)比例雙方可以進(jìn)行博弈；帶服務(wù)水平約束的訂貨模型，通過(guò)服務(wù)水平的限制，再結(jié)合運(yùn)輸方式的選擇，是接下來(lái)重點(diǎn)研究的問(wèn)題。

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Problem of Optimal Decision of Ordering and Shipment in Supply Chain with Lead Time

GAO Jin-longa，JIANGYi-weia，HAN Shu-guanga，ZHANG Tingb
（a.School of Sciences，b.School of Fashion Design and Engineering，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou 310018，China）

To study the problem of optimal decision of ordering and shipment in supply chain，this paper respectively discusses the optimal decision under two situations-cooperation and non-cooperation between supplier and retailer.Assume that delivery lead time is related to the means of transport，it meets uniform distribution and stockout is allowed within the lead time，stockout losses caused are undertaken by retailer.The objective is to minimize expenses of supply chain.This paper establishes supplier and retail model according to specific cost function，puts forward an analysis method to determine the optimal decision variable value，obtains the optimal decision value under cooperation and non-cooperation situations through calculation and conducts verification analysis on optimal decision through examples.It shows that total expenses under cooperation situation are lower than total expenses under non-cooperation situation and supplier and demander should enhance cooperation.

supply chain；lead time；ordering；shipment；optimal decision

O022

A

（責(zé)任編輯：許惠兒）

1673-3851（2014）01-0088-06

2013-05-21

國(guó)家自然科學(xué)基金（11071220，11201428，11001242）；浙江省自然科學(xué)基金（Y6110091）

高金龍（1988-），男，江蘇南通人，碩士研究生，主要從事運(yùn)籌與優(yōu)化的研究。