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        也談洛倫茲變換過渡為伽利略變換的條件

        2014-05-18 11:42:20堅(jiān)
        物理教師 2014年2期
        關(guān)鍵詞:常量洛倫茲伽利略

        趙 堅(jiān) 李 力

        (1.五華區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校,云南 昆明 650031;2.重慶清華中學(xué),重慶 400054)

        關(guān)于洛倫茲變換過渡為伽利略變換的條件,各種大學(xué)教材上有好幾種說法,相互并不一致.爭議的焦點(diǎn)在最后一式,即洛倫茲變換的t′=γ(t-vx/c2)是如何回到伽利略變換t′=t的[1]?常見的疑問是:作為被觀測事件的坐標(biāo)x和t原則上可各取任何值,如果x很大而t很小,此式右邊第2項(xiàng)與第1項(xiàng)相比,還能忽略去掉嗎[2]?

        文獻(xiàn)[1]提出兩個(gè)結(jié)論:(1)v/c→0僅僅是洛倫茲變換過渡為伽利略變換的必要條件而非充分條件.(2)過渡的充要條件是,當(dāng)且僅當(dāng)同時(shí)滿足v?c和x?ct.

        文獻(xiàn)[2]則持不同看法,為方便討論起見,以下摘抄一段[2]:“洛倫茲變換在v?c時(shí)近似回到伽利略變換”這一提法總是對的,其準(zhǔn)確含義如下:“在約定的允許誤差范圍內(nèi),對任一被觀測事件而言,只要v與c相比足夠小,洛倫茲變換都能近似回到伽利略變換.”理由很簡單,這一提法要求你首先給定被觀測事件,然后才告訴你v要比c小多少(這個(gè)先后順序極其重要).設(shè)此事件的x與t的關(guān)系為x=Mct,其中M是個(gè)很大的(無量綱)數(shù),如102,1 03…….代入洛倫茲變換式便得t′≈t-vMct/c2=t(1-vM/c),故t-t′=t-t(1-vM/c)=tvM/c,因而t′與t的相對差別(t′-t)/t=vM/c,假定事先約好的允許相對誤差為δ(如δ=1 0-2或10-3),則為使(t-t′)/t<δ,只須v/c<δ/M.如設(shè)M=103,δ=10-2,則v/c<10-5.就是說,只要v<10-5c,對該事件而言就可在允許誤差范圍內(nèi)使用伽利略變換.

        筆者贊同文獻(xiàn)[2]的看法.由于它的推導(dǎo)用到γ≈1,所以只是在近似條件下的證明.下面在事先不忽略γ的一般情況時(shí)嚴(yán)格地推導(dǎo),可以發(fā)現(xiàn)原結(jié)論不變.

        這里的邏輯鏈條是:給定M、δ,那么有v/c<δ/M,可得1-δ<(1-vM/c),可得1-δ<γ(1-vM/c),可得(t-t′)/t<δ,所以只要v/c<δ/M,對該事件而言就可以在允許的誤差范圍內(nèi)使用伽利略變換.

        我們還可以從通常極限運(yùn)算的角度來看這個(gè)問題.眾所周知,作極限運(yùn)算時(shí)必須區(qū)分常量和變量,因?yàn)闃O限運(yùn)算是對變量而作.在本問題中,盡管作為被觀測事件的坐標(biāo)x和t原則上可各取任何值,甚至可以x很大而t很小,但對于給定的觀測事件而言,x和t都是確定的常量,并不是對之做極限運(yùn)算的變量.這里的變量應(yīng)該是v/c,故有

        綜上所述,洛倫茲變換過渡為伽利略變換的條件應(yīng)該是v?c(即v/c→0),而不是 “v?c且x?ct”.

        1 蔡志東.關(guān)于洛倫茲變換過渡到伽利略變換的條件問題[J].物理通報(bào),2011(9):90-93.

        2 梁燦彬,曹周鍵.從零學(xué)相對論(連載2)[J].大學(xué)物理,2012,31(8):64,65.

        3 龔昇.簡明微積分(第4版)[M].北京:高等教育出版社,2006:370.

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