楊 瑾，景 麗

（沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，沈陽 110034）

飽和系統(tǒng)是在實(shí)際工程控制問題中普遍存在的一類非線性控制系統(tǒng)。在大多數(shù)的實(shí)際控制系統(tǒng)中，無論是執(zhí)行器或系統(tǒng)狀態(tài)等工作參數(shù)都受到上下界的限制，如機(jī)器零件可承受的工作參數(shù)，鍋爐的爐溫，水位的高度等都要受到上下界限的限制，這就是非線性飽和控制系統(tǒng)所研究的問題。對(duì)飽和系統(tǒng)的研究包括狀態(tài)飽和［1－6］，執(zhí)行器飽和［7－11］等。目前，對(duì)狀態(tài)飽和系統(tǒng)的研究都集中在對(duì)其穩(wěn)定性的研究上。

針對(duì)不確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究引起了眾多學(xué)者的關(guān)注，并取得了一定的研究成果［4－8，12－16］。目前，對(duì)于系統(tǒng)的不確定項(xiàng)有兩種形式的限定，其一是不確定項(xiàng)為已知系統(tǒng)矩陣的線性組合［4，12］，其二是不確定項(xiàng)滿足范數(shù)有界不確定結(jié)構(gòu)［13－16］?？刂葡到y(tǒng)普遍存在滯后現(xiàn)象，若忽略對(duì)滯后現(xiàn)象的考慮，那么系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能將大大改變。滯后現(xiàn)象是影響系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性改變的根本原因，可見，對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)進(jìn)行研究也有其實(shí)際的應(yīng)用價(jià)值［7－9，13－16］。因此，針對(duì)不確定時(shí)滯系統(tǒng)進(jìn)行研究是十分必要的。

本文采用處理狀態(tài)飽和函數(shù)的凸組合方法及控制系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性理論，研究不確定時(shí)滯狀態(tài)飽和系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，給出了系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定的充分條件。通過變量變換和矩陣?yán)碚?，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件化為線性矩陣不等式形式，同時(shí)給出了系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)方法。最后，使用Matlab軟件進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了結(jié)論的有效性和可行性。

1 問題描述

考慮不確定時(shí)滯連續(xù)狀態(tài)飽和系統(tǒng)：

其中：x∈Dn＝｛x｜x＝（x1，x2，…，xn）∈Rn：－1≤xi≤1，i＝1，2，…，n｝?Rn是狀態(tài)向量；A＝（aij）∈Rn×n是已知的實(shí)矩陣；ΔA＝HF（t）E＝（Δaij（t））∈Rn×n具有范數(shù)有界不確定結(jié)構(gòu)，這里，H、E是已知的適維實(shí)矩陣，F(xiàn)（t）是Lebesgue可測(cè)不確定矩陣，且滿足不等式FT（t）F（t）≤I；h（·）為狀態(tài)飽和函數(shù)，具有式（2）的形式：

在系統(tǒng)（1）中，狀態(tài)變量被定義在單位矩形域Dn中，當(dāng)且僅當(dāng)狀態(tài)變量＝1，并且滿足＋Δaij）xj（t）＋aτijxj（t－τ））xi＞0時(shí)，狀態(tài)飽和限制才發(fā)生作用。

引理1 考慮如下的非線性系統(tǒng)

其中，f（0）＝0，假設(shè)系統(tǒng)（3）的狀態(tài)軌線都在?內(nèi)，如果存在函數(shù)V（x）：?→R，使得φ1（‖x‖）＜V（x）＜φ2（‖x‖），?x∈?，并且≤－φ3（‖x‖），?x∈?，其中φ1，φ2，φ3都是K－函數(shù)，則系統(tǒng)（3）在原點(diǎn)大范圍漸近穩(wěn)定。（系統(tǒng)在原點(diǎn)大范圍漸近穩(wěn)定是指系統(tǒng)的吸引域?yàn)?）

令Dn是有對(duì)角元素是1或0的對(duì)角矩陣組合的集合，則Dn包含2n個(gè)元素，令Di∈Dn，并定義＝I－Di。

引理3［5］設(shè)G＝（gij）∈Rn×n是對(duì)角占優(yōu)矩陣，且對(duì)角元素為負(fù)，即gii＜0，（i＝1，2，…，n），則

其中L∈Rn。

2 主要結(jié)論

定理1 如果存在正定對(duì)稱矩陣X∈Rn×n、Z∈Rn×n和矩陣Y∈Rn×n以及正實(shí)數(shù)ε，使得

證明 選取Lyapunov函數(shù)

其中P、Q∈Rn×n為正定對(duì)稱矩陣，于是沿著系統(tǒng)（1）有

設(shè)G＝（gij）∈Rn×n是對(duì)角元素為負(fù)的對(duì)角占優(yōu)矩陣，由引理3，可知

其中Di、（i＝1，2，…，2n）如引理2所定義的。

令＝Di（A＋ΔA）＋，則

根據(jù)引理1可知，若

則˙V（x（t））＜0，那么系統(tǒng)（1）在原點(diǎn)大范圍漸近穩(wěn)定。

由Schur引理，式（5）等價(jià)于

由于，矩陣ΔA具有范數(shù)有界不確定結(jié)構(gòu)，式（6）成立等價(jià)于

將式（7）左、右分別乘以P－1，即得由Schur引理，式（8）成立等價(jià)于

令P－1＝X，GP－1＝GX＝Y(jié)，Q－1＝Z，λ－1＝ε，且G＝Y(jié)X－1是行對(duì)角元素為負(fù)的對(duì)角占優(yōu)矩陣，式（9）化為式（4），不等式（4）為線性矩陣不等式，即可使用Matlab軟件進(jìn)行求解。

3 系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)

考慮下面的狀態(tài)飽和系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)問題：

其中：矩陣B＝（bij）∈Rn×m；K＝（kij）∈Rm×n；其他參數(shù)同系統(tǒng)（1）。

定理2 考慮系統(tǒng)（10）在線性狀態(tài)反饋控制器為u（t）＝Kx（t）＝WX－1x（t）作用下，如果存在正定對(duì)稱矩陣X∈Rn×n、Z∈Rn×n和矩陣Y∈Rn×n，W∈Rm×n以及正實(shí)數(shù)ε，使得

證明 將u（t）＝Kx（t）代入到式（10）中，系統(tǒng)（10）改寫為

在定理1的證明中將式（9）改寫為

將式（13）化為式（11），不等式（11）為線性矩陣不等式，即可通過 Matlab軟件進(jìn)行求解，并且系統(tǒng)（10）漸近穩(wěn)定的線性狀態(tài)反饋控制器為u（t）＝Kx（t）＝WX－1x（t）。

4 仿真算例

設(shè)系統(tǒng)（10）中的矩陣參數(shù)為

利用MATLAB工具箱中的feasp函數(shù)求解不等式（11），得到

同時(shí)得到

由矩陣G是對(duì)角元素為負(fù)的對(duì)角占優(yōu)矩陣，狀態(tài)反饋

圖1 系統(tǒng)（10）狀態(tài)反饋控制后的狀態(tài)軌跡

5 結(jié) 語

本文研究帶有不確定項(xiàng)的時(shí)滯狀態(tài)飽和系統(tǒng)，選擇適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)，并將非線性狀態(tài)飽和函數(shù)表示成凸組合的形式，給出系統(tǒng)在原點(diǎn)大范圍漸近穩(wěn)定的充分條件，將其表示成線性矩陣不等式（LMI）的形式，同時(shí)給出了系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)方法，通過Matlab軟件進(jìn)行仿真，驗(yàn)證結(jié)果的有效性和可行性。

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