王 波

（浙江廣播電視大學(xué)工商學(xué)院，浙江寧波 315016）

壽險(xiǎn)定價(jià)的線性優(yōu)化模型

王 波

（浙江廣播電視大學(xué)工商學(xué)院，浙江寧波 315016）

實(shí)際的金融市場(chǎng)中存在多種不同期限的利率。在定義最大累積函數(shù)的基礎(chǔ)上建立了一個(gè)稱為“收支問(wèn)題”的線性規(guī)劃模型，這個(gè)模型的最優(yōu)值刻畫了合理安排保費(fèi)資金的投資期限所能夠達(dá)到的最大保險(xiǎn)支付水平，從而給出了多利率條件下壽險(xiǎn)費(fèi)率的計(jì)算依據(jù)。使用局部?jī)?yōu)化方法證明了收支問(wèn)題最優(yōu)解的兩個(gè)性質(zhì)，這些性質(zhì)說(shuō)明在滿足保險(xiǎn)支出的條件下，保險(xiǎn)收入資金應(yīng)該優(yōu)先考慮期限較長(zhǎng)（即利率較大）的投資。對(duì)于典型的壽險(xiǎn)產(chǎn)品模型，給出了最優(yōu)解的結(jié)構(gòu)，針對(duì)兩個(gè)具體實(shí)例列出了計(jì)算結(jié)果。結(jié)果表明，在保險(xiǎn)費(fèi)率的計(jì)算中，起主要作用的是最大期限的利率，其次是不同利率的一個(gè)綜合水平。

多種利率；最大累積函數(shù)；線性優(yōu)化；收支問(wèn)題；壽險(xiǎn)定價(jià)

1 引言

傳統(tǒng)的精算理論是按照單一的預(yù)定利率計(jì)算壽險(xiǎn)費(fèi)率的，但是一般情況下實(shí)際的金融市場(chǎng)利率與預(yù)定利率并不一致，因此產(chǎn)品的定價(jià)要受到市場(chǎng)利率的影響。這個(gè)影響來(lái)自于兩個(gè)方面，一個(gè)是利率隨機(jī)性所帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)，另一個(gè)是利率的期限結(jié)構(gòu)。關(guān)于前者，自1971年以來(lái)，一批學(xué)者對(duì)隨機(jī)利率下的壽險(xiǎn)定價(jià)進(jìn)行了系統(tǒng)的研究。隨機(jī)的利率模型主要有兩種，早期采用時(shí)間序列方法對(duì)息力函數(shù)進(jìn)行建模，自1990年以來(lái)部分學(xué)者采用攝動(dòng)方法，利用O-U過(guò)程，Wiener過(guò)程和反射Wiener過(guò)程對(duì)息力累積函數(shù)進(jìn)行建模，基于這種模型Beekman和Fuelling［1-2］，De Scheppe等［3-4］，Perry和Stadje［5］，Milvesky［6］研究了確定年金在隨機(jī)利率下的現(xiàn)值，得到了期望值和方差的一些公式以及矩母函數(shù)和分布函數(shù)；Kaas等［7］，De Schepper等［8］相繼利用凸序的相關(guān)性質(zhì)給出了隨機(jī)利率下年金現(xiàn)值的上界。此外Parker［9］還討論了隨機(jī)利率下貼現(xiàn)函數(shù)的問(wèn)題，Zaks［10］則在假定各年利率均為獨(dú)立且具有相同期望和方差的隨機(jī)變量序列下，求出了確定年金累計(jì)值的期望和方差公式。

盡管隨機(jī)利率下的壽險(xiǎn)精算取得了比較豐富的成果，但是要應(yīng)用于實(shí)際卻有很大的難度。一般情況下壽險(xiǎn)保單并不使用隨機(jī)模型進(jìn)行定價(jià)，這是由于隨機(jī)模型雖然能在一定程度上降低利率的不確定性，但是并不能消除利率不確定性所帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)；同時(shí)壽險(xiǎn)具有長(zhǎng)期性的特點(diǎn)，而現(xiàn)實(shí)的金融市場(chǎng)復(fù)雜多變，我們很難對(duì)長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的利率建立合理的模型并作出準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)與估計(jì)，因此壽險(xiǎn)業(yè)更愿意采用確定性的定價(jià)模型。同時(shí)為了規(guī)避利率風(fēng)險(xiǎn)，通常是采用一個(gè)比較保守的預(yù)定利率加上分紅的方法。

與隨機(jī)利率下的大量研究相比，關(guān)于利率期限結(jié)構(gòu)的影響在文獻(xiàn)中卻很少涉及，當(dāng)市場(chǎng)利率水平較高的時(shí)候，這種影響并不明顯。以中國(guó)為例，從上世紀(jì)八十年代末到九十年代中期一直處于高利率的環(huán)境之中，其中一年期的存款基準(zhǔn)利率最高的時(shí)候曾經(jīng)達(dá)到11.34%，在大部分的時(shí)間內(nèi)都高于當(dāng)時(shí)壽險(xiǎn)業(yè)8.8%的預(yù)定利率，所以當(dāng)壽險(xiǎn)準(zhǔn)備金采用一年期利率投資生息時(shí)，并不會(huì)影響未來(lái)的保險(xiǎn)償付能力，這時(shí)候就不會(huì)去關(guān)注利率期限結(jié)構(gòu)的影響。但是自從1996年以來(lái)，由于宏觀經(jīng)濟(jì)形勢(shì)發(fā)生了很大的變化，人民銀行持續(xù)地下調(diào)基準(zhǔn)利率，一年期存款利率最低的時(shí)候達(dá)到了1.98%，導(dǎo)致保險(xiǎn)監(jiān)管部門將預(yù)定利率調(diào)低到了2.5%。由于新的預(yù)定利率與原來(lái)8.8%的水平有較大的差距，所以一度對(duì)壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)的發(fā)展產(chǎn)生了較大的影響，同時(shí)當(dāng)一年期利率低于預(yù)定利率時(shí)，壽險(xiǎn)公司原有的資金運(yùn)用方法有可能會(huì)產(chǎn)生巨大的利差損失?？紤]到一般情況下長(zhǎng)期的利率要高于一年期的短期利率，因此就提出了一個(gè)問(wèn)題：我們是否可以通過(guò)對(duì)壽險(xiǎn)資金的投資期限進(jìn)行合理安排以提高保險(xiǎn)金的支付能力，或者說(shuō)提高壽險(xiǎn)公司的盈利能力？最大能夠達(dá)到多少？

基于上述背景，王波［11-12］提出了在多利率條件下合理配置保費(fèi)資金的投資期限以求得最大的保險(xiǎn)金額，田存福等［13］則考慮通過(guò)優(yōu)化責(zé)任準(zhǔn)備金的投資期限以求得最大的期末盈余。兩者都是利用線性規(guī)劃建立模型，區(qū)別主要是目標(biāo)函數(shù)不同。由于上述模型都是根據(jù)每個(gè)時(shí)間點(diǎn)資金的流入與流出相等的原則構(gòu)造線性規(guī)劃的約束，不便于對(duì)優(yōu)化解的性質(zhì)作進(jìn)一步的分析，因此本文在定義最大累積函數(shù)的基礎(chǔ)上根據(jù)收支相等原則建立了一個(gè)稱之為“收支問(wèn)題”的線性規(guī)劃模型。根據(jù)這個(gè)模型我們能夠計(jì)算出多利率條件下最大的保險(xiǎn)金支付水平，從而給出費(fèi)率定價(jià)的依據(jù)，同時(shí)使用局部?jī)?yōu)化方法證明了最優(yōu)解的兩個(gè)性質(zhì)，由此給出了典型壽險(xiǎn)產(chǎn)品收支問(wèn)題的優(yōu)化解結(jié)構(gòu)。這不僅簡(jiǎn)化了實(shí)際應(yīng)用中的計(jì)算，而且還基本上回答了這么一個(gè)問(wèn)題：在壽險(xiǎn)精算中，起主要作用的是什么樣期限的利率？這既為預(yù)定利率的制定確立了理論基礎(chǔ)，又為壽險(xiǎn)資金的運(yùn)用提供了參考意見(jiàn)。

2 最大累積函數(shù)

假設(shè)市場(chǎng)上有T種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，期限分別為1，2，…，T，對(duì)應(yīng)的利率為it≥0（復(fù)利），其中t表示利率期限。我們將1個(gè)單位的資金在經(jīng)過(guò)總期限為t的數(shù)次投資計(jì)息后所得到的最大本利和用函數(shù)v（t）來(lái)表示，即：

v（t）是利息理論中累積函數(shù)概念［14］在多利率條件下的一個(gè)推廣，我們稱之為最大累積函數(shù)（maximum accumulation function），特別地規(guī)定v（0）=1。一般情況下，長(zhǎng)期利率要高于短期利率，這時(shí)候就有v（t）=（1+it）t（1≤t≤T）。

根據(jù)定義，v（t）滿足超指數(shù)性質(zhì)，即對(duì)于任意的t1和t2，有v（t1）v（t2）≤v（t1+t2）。如果對(duì)于任意的1≤t1，t2≤T≤t1+t2，函數(shù)v（t）還滿足條件：

那么當(dāng)t＞T時(shí)，我們就有v（t）=v（T）·v（t-T），這時(shí)v（t）稱為T周期的。

條件（1）意味當(dāng)投資期限t大于T時(shí)，其最優(yōu)投資方案的唯一性，即首先考慮期限為T的投資，然后再考慮剩余期限內(nèi)的投資。如果更進(jìn)一步地假設(shè)，對(duì)于任意的1≤t1，t2≤t≤t1+t2≤T，最大累積函數(shù)v（t）均滿足條件：

那么我們就稱v（t）為正規(guī)的。

3 收支問(wèn)題

這節(jié)中我們考慮一種簡(jiǎn)化的壽險(xiǎn)定價(jià)模型。在模型中，保險(xiǎn)費(fèi)的收入期是從時(shí)間1到T（即最大利率期限），時(shí)間x的期望收入為f（x）（x=1，2，…，T）；保險(xiǎn)金的支付期是從時(shí)間T+1到2T，當(dāng)保險(xiǎn)金額等于1個(gè)單位時(shí)，時(shí)間x的期望支出為g（x）（x=T+1，T+2，…，2T）。我們的問(wèn)題是：如何來(lái)安排保險(xiǎn)費(fèi)的投資期限，使得將來(lái)能夠支付的保險(xiǎn)金達(dá)到最大？也就是下列線性規(guī)劃問(wèn)題：

其中v（t）是最大累積函數(shù)。我們稱上述規(guī)劃問(wèn)題為收支問(wèn)題（income-outcome problem，IOP），f（x）和g（x）分別稱為IOP的收入函數(shù)和支出函數(shù)。

命題1如果最大累積函數(shù)v（t）是T周期的，則IOP存在最優(yōu)解，對(duì)于每一個(gè)min（f（i），^λg（T+i）/v（T））。

顯然^x′滿足約束條件（3），（4）和（5）（s≠T+ i），且有：-v（k-i）v（T+i-j）/v（k-j））

由于v（t）是T周期的，根據(jù)式（1），有：

v（k-i）v（T+i-j）≤v（T+k-j）=v（T）v（k -j）

如果v（k-i）v（T+i-j）＜v（T）v（k-j），則i），這樣就得到了一個(gè)新的最優(yōu)解（^x′，^λ），在這個(gè)最優(yōu)解中。因此可以斷言存在最優(yōu)解（^x，^λ），使得）。由于上述過(guò)程中并不改變其它基變量的數(shù)值，所以使用相同的方法，最終就能夠得到一個(gè)最優(yōu)解，使得對(duì)于每一個(gè)i，，證畢。

命題1表明了，IOP的最優(yōu)解中時(shí)間i的保險(xiǎn)收入優(yōu)先支付時(shí)間T+i的保險(xiǎn)金支出，那么多余的收入是如何支付不足的支出？下面先來(lái)考慮一種特殊的情況。

對(duì)于一個(gè)IOP，如果存在1≤μ＜T，使得下面兩種情況之一成立：

（1）當(dāng)x≤μ時(shí)f（x）=0；x≥T+μ+1時(shí)g（x）=0。

（2）當(dāng)x≥μ+1時(shí)f（x）=0；T+1≤x≤T +μ時(shí)g（x）=0。

那么我們稱該IOP為半收支問(wèn)題（quasi income-outcome problem，QIOP）。

命題2假設(shè)最大累積函數(shù)v（t）是正規(guī)的，則QIOP存在最優(yōu)解，對(duì)于它的任意兩個(gè)基變量＞0和＞0，如果i≤j，則有k≥l。

證明：與命題1類似，利用式（2），略。

如果最大累積函數(shù)是正規(guī)的，命題2顯示QIOP的最優(yōu)解具有非常良好的結(jié)構(gòu)：最近時(shí)刻的收入優(yōu)先支付最遠(yuǎn)時(shí)刻的支出。例如圖1所示，時(shí)間μ+1的收入首先支付時(shí)間T+μ的支出，如果有盈余，則支付時(shí)間T+μ-1的支出，如果有虧缺，則虧缺部分由時(shí)間μ+2的收入來(lái)支出；最后時(shí)間T的收入支付T+1時(shí)刻的支出，如果有盈余，則支付T+2時(shí)刻的支出，如果有虧缺，則虧缺部分由T-1時(shí)刻的收入來(lái)支出。準(zhǔn)確地說(shuō)，最優(yōu)解的基變量是｛，j=1，2，…，T；μ+1=t1≤t2≤…≤tT=T；T+μ=s1≥s2≥…≥sT=T+1｝，tj取遍從μ+是最優(yōu)解矛盾。所以v（k-i）v（T+i-j）=v（T）·v（kj），由此可以推出1到T的每一個(gè)值，sj取遍從T+1到T+μ的每一個(gè)值。

圖1 QIOP最優(yōu)解示意圖（第一種情況）

根據(jù)命題1與2，當(dāng)f（x）與g（x）滿足一定的條件時(shí)，我們能夠清楚地描述IOP最優(yōu)解的結(jié)構(gòu)，即下列推論：

推論1 假設(shè)最大累積函數(shù)v（t）是正規(guī)的，則IOP存在最優(yōu)解i）/v（T））；i=1，2，…，T｝是的基變量，并且有：

（1）如果存在正整數(shù)μ≤T，使得x≤μ時(shí)h（x）≤0，μ＜x≤T時(shí)h（x）≥0，其中h（x）= f（x）-（T+x）/v（T）。則^x的其它基變量為｛，j=1，2，…，T；μ+1=t1≤t2≤…≤tT=T；T+μ=s1≥s2≥…≥sT=T+1｝，tj取遍從μ+ 1到T的每一個(gè)值，sj取遍從T+1到T+μ的每一個(gè)值（圖2）；

（2）如果存在正整數(shù)μ≤T，使得x≤μ時(shí)h（x）≥0，μ＜x≤T時(shí)h（x）≤0（h（x）同上）。則^x的其它基變量為｛，j=1，2，…，T；1=t1≤t2≤…≤tT=μ；2T=s1≥s2≥…≥sT=T+μ+ 1）｝，tj取遍從1到μ中的每一個(gè)值，sj取遍從T+μ +1到2T的每一個(gè)值（圖3）。

圖2 IOP最優(yōu)解示意圖（一）

圖3 IOP最優(yōu)解示意圖（二）

對(duì)于滿足推論1條件的IOP，最優(yōu)解的結(jié)構(gòu)可以這樣來(lái)描述：i時(shí)刻的收入優(yōu)先支付T+i時(shí)刻的支出，最近時(shí)刻多余的收入優(yōu)先支付最遠(yuǎn)時(shí)刻不足的支出。因而我們可以利用二分搜索法來(lái)計(jì)算最優(yōu)值而無(wú)需求解線性規(guī)劃問(wèn)題。圖2和圖3還定性地給出了最優(yōu)解中不同期限利率的作用大小，如果陰影部分面積較小，那么最大期限以外的其它利率的作用就不大；相反陰影部分面積越大，那么其它利率的作用也就越大。雖然在實(shí)際的金融利率市場(chǎng)中，最大累積函數(shù)v（t）不一定是正規(guī)的，甚至還不一定是T周期的，但是只要長(zhǎng)期利率高于短期利率，我們就可以把推論1中所給出的結(jié)構(gòu)作為（近似）最優(yōu)解，這樣所計(jì)算出的最大保險(xiǎn)金額要小于理論上的最大值，因而從定價(jià)上來(lái)說(shuō)是安全的。

4 多利率下的壽險(xiǎn)定價(jià)

現(xiàn)在我們來(lái)考慮一般情況下的壽險(xiǎn)定價(jià)模型。假設(shè)有一大群相同的保單，時(shí)刻1表示保單簽發(fā)的時(shí)間，ω為保單的終止時(shí)間。保險(xiǎn)人在時(shí)間x（x= 1，2，…，ω）的期望保險(xiǎn)費(fèi)收入為P（x），當(dāng)保險(xiǎn)金額等于一個(gè)單位時(shí)，保險(xiǎn)人按照保險(xiǎn)合同在時(shí)間x所要支付的期望保險(xiǎn)金為R（x）。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，在本文中不考慮附加保險(xiǎn)費(fèi)用。按照收支相等的原則，可以假設(shè)保險(xiǎn)支出的資金全部來(lái)源于保費(fèi)的收入及其投資利息，與IOP相似，我們考慮下列線性規(guī)劃問(wèn)題：

其中，v（t）是最大累積函數(shù)。在本節(jié)中我們均規(guī)定v（T+t）=v（T）·v（t）。變量表示在時(shí)間t的保險(xiǎn)收入中將用于支付時(shí)間s的保險(xiǎn)金支出的數(shù)量，由于時(shí)間t收入的資金數(shù)在s時(shí)刻所能得到的最大本利和是v（s-t），所以上述問(wèn)題準(zhǔn)確地刻畫了通過(guò)合理配置保險(xiǎn)收入（由P（t）表示））的投資期限（由表示）能夠使保險(xiǎn)金支出水平（用λR（s）表示）達(dá)到最大，我們稱之為廣義收支問(wèn)題（generalized income-outcome problem，GIOP）。而這個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)值，則給出了多利率條件下保險(xiǎn)費(fèi)率的計(jì)算依據(jù)。要說(shuō)明的是，在第二個(gè)約束式中我們使用了等式條件，而不是≥條件。這是因?yàn)樵趯?shí)際應(yīng)用中，GIOP的可行解一般都是存在的，也就是說(shuō)，所有的保費(fèi)收入在投資生息后都能夠用在將來(lái)的保險(xiǎn)金支出上。

在我們的定義中，P（x）與被保險(xiǎn)人繳納保費(fèi)的方式有關(guān)，R（x）與壽險(xiǎn)產(chǎn)品的設(shè)計(jì)有關(guān)。當(dāng)這兩個(gè)函數(shù)確定后，影響精算定價(jià)的就是最大累積函數(shù)v（t）。由于對(duì)于任何的t≥0，v（t）=vi（T）· v（t-iT）（iT≤t≤（i+1）T），因此我們考慮對(duì)GIOP進(jìn)行簡(jiǎn)化。不失一般性，假設(shè)ω=kT（k≥1），令：

命題3如果保險(xiǎn)支出發(fā)生在保險(xiǎn)收入之后，那么GIOP與對(duì)應(yīng)的IOP等價(jià)。

證明：不妨假設(shè)保險(xiǎn)收入發(fā)生在時(shí)間1至lT之間，保險(xiǎn)支出發(fā)生在時(shí)間l T+1至kT之間。如果是相應(yīng)IOP的一個(gè)可行解，對(duì)于每一個(gè)分量，我們按照下式構(gòu)造GIOP的一組分量：

命題4如果在保險(xiǎn)期（ω=k T）內(nèi)P（x）單調(diào)減少，R（x）單調(diào)增加，那么GIOP與對(duì)應(yīng)IOP的最優(yōu)值是相等的。

對(duì)于每一個(gè)基變量^x′s′t′，我們按照下式構(gòu)造GIOP的一組分量：

命題3和4表明了在多利率條件下，包括生存年金、定期人壽保險(xiǎn)乃至更為廣泛的一類壽險(xiǎn)產(chǎn)品，其定價(jià)模型GIOP可以歸結(jié)為相應(yīng)的IOP。由于在P～（x）和R～（x）的定義中唯一起作用的是期限為T的利率，這個(gè)結(jié)果也就意味著如果保險(xiǎn)期比最大利率期限大的話，那么在精算定價(jià)中起主要作用的就是最大期限的利率iT，也就是最大利率。

最后我們來(lái)看一種特殊情況，當(dāng)保險(xiǎn)期與最大利率期限相等時(shí)，那么有（x）=P（x），（x）= v（T）·R（x-T）。根據(jù)命題1，相應(yīng)的IOP存在最優(yōu)解（x，），其中=min（（i），（T+ i）/v（T））=min（P（i），^λR（i））是基變量，即GIOP存在基變量為=min（P（i），R（i））的最優(yōu)解，這可以解釋為在最優(yōu)解中保險(xiǎn)費(fèi)收入優(yōu)先支付同一時(shí)間的保險(xiǎn)金支出。如果P（x）/R（x）變化不大的話，那么絕大部分的保費(fèi)收入將用于支付同一時(shí)間的保險(xiǎn)金支出，此時(shí)費(fèi)率的計(jì)算與利率的大小基本無(wú)關(guān)；相反如果P（x）/R（x）變化較大的話，那么不同期限的利率（不含最大期限的利率iT）均起到一定的作用。

5 應(yīng)用分析

在本節(jié)中我們將給出兩個(gè)具體實(shí)例的計(jì)算結(jié)果，其中生命表均參照美國(guó)1979—1981全體人口生命表。假設(shè)最大利率期限為5年（T=5），其利率（復(fù)利）分別如下表所示：

表1 假設(shè)的利率期限結(jié)構(gòu)表

我們發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)的最大累積函數(shù)v（t）不是正規(guī)的，甚至還不是T周期的（因?yàn)関（5）·v（3）＜v2（4）），所以我們根據(jù)推論1中的最優(yōu)解結(jié)構(gòu)使用二分搜索法所計(jì)算出的最大保險(xiǎn)金額要略微小于理論上的最大值。

第一個(gè)例子是終身生存年金，保費(fèi)繳付方式是年繳（等額），年金支付形式是每年領(lǐng)取（等額），并且有十年固定年金。

設(shè)年齡為a歲者la（生命表中年齡為a的生存人數(shù)，下同）人，每人都投保上述終身生存年金，年繳保險(xiǎn)費(fèi)為P0（從a歲至a+n-1歲），共繳付n年。如果用時(shí)間1表示第一次繳費(fèi)的時(shí)間（a歲），那么在a+n歲時(shí)生存者la+n人在時(shí)間x所繳付的保險(xiǎn)費(fèi)為P（x）=P0la+n（1≤x≤n）。由于n一般不是T的倍數(shù)，所以我們將初始時(shí)間前移n0，其中n0= T-n%T，n%T是n除以T的余數(shù)，那么在繳費(fèi)期間P（x）則為如下的等價(jià)形式：

從a+n歲開(kāi)始，生存者每年領(lǐng)取生存年金（具有十年固定年金），那么當(dāng)年金金額為1個(gè)單位時(shí)期望的年金支出為：

上式中ω表示的是生命表中的極限年齡。

表2 最大年金表

表3 最大保險(xiǎn)金額表

通過(guò)計(jì)算我們發(fā)現(xiàn)表中數(shù)值基本上與以最大期限的利率（本例中是5%）作為單一預(yù)定利率所計(jì)算出來(lái)的相同。原因是保險(xiǎn)期比較長(zhǎng)，同時(shí)（x）/（T+x）（1≤x≤T）變化不大，接近于一個(gè)常數(shù)c，由命題1，其對(duì)應(yīng)的IOP的最優(yōu)值^λ近似地等于c·v（T）。因此在生存年金的費(fèi)率計(jì)算中，最大期限的利率起到了主要的作用，也就是說(shuō)，資金的運(yùn)用應(yīng)該以利率最高的長(zhǎng)期投資為主。

第二個(gè)例子是定期人壽保險(xiǎn)，保費(fèi)繳付方式也是年繳（等額），保險(xiǎn)金即刻賠付。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們假設(shè)保險(xiǎn)期n是T的倍數(shù)，保險(xiǎn)資金在一年之內(nèi)是不計(jì)利息的（即最小計(jì)息期限是一年）。

設(shè)年齡為a歲者la人，每人都投保n年期人壽保險(xiǎn)，每年年初繳付保險(xiǎn)費(fèi)為P0，那么在時(shí)間x的期望保險(xiǎn)費(fèi)收入為：

當(dāng)保險(xiǎn)金額為1個(gè)單位時(shí)，期望的保險(xiǎn)金支出則為：

由于生命表中死亡人數(shù)基本上是隨著年齡增大而增加的，同時(shí)保險(xiǎn)期是T的倍數(shù)，所以R（x）和（x）接近于單調(diào)增加函數(shù)，而P（x）和（x）均為單調(diào)減少函數(shù)。根據(jù)命題4，相應(yīng)GIOP與對(duì)應(yīng)的IOP的最優(yōu)值可以認(rèn)為是相等的，我們稱之為最大保險(xiǎn)金額，并且也基本滿足推論1中的條件（第2種情況）。表3是利用二分搜索法計(jì)算的年繳純保費(fèi)1個(gè)單位時(shí)的最大保險(xiǎn)金額表。

6 結(jié)語(yǔ)

在本文中，我們應(yīng)用線性優(yōu)化的方法解決了在多利率條件下壽險(xiǎn)費(fèi)率的定價(jià)問(wèn)題。命題1和2表明了這么一個(gè)事實(shí)，如果長(zhǎng)期利率高于短期利率，那么保險(xiǎn)收入資金的運(yùn)用在滿足保險(xiǎn)支出的情況下應(yīng)該優(yōu)先考慮期限較大（也就是利率較大）的投資，因而在保險(xiǎn)費(fèi)率的計(jì)算中，起主要作用的是最大期限的利率，其次是不同利率的一個(gè)綜合水平。這個(gè)結(jié)果也就意味著，在壽險(xiǎn)資金的運(yùn)用中，應(yīng)該考慮以長(zhǎng)期投資為主，這為預(yù)定利率的確立提供了可靠的理論基礎(chǔ)。如果將收支問(wèn)題中的收入函數(shù)看作為“本金”，將最優(yōu)值與支出函數(shù)的乘積看作為“累積值”，那么實(shí)際上我們已經(jīng)把單一利率下的現(xiàn)值與終值的概念推廣到了多利率的情況。在這種情況下，“本金”、“現(xiàn)值”或者“終值”不再是某一個(gè)時(shí)刻的金額數(shù)值，而是一個(gè)時(shí)間區(qū)間（長(zhǎng)度為最大利率期限T）上的收入或者支出金額的分布，這為推廣傳統(tǒng)的單一利率下的利息理論，建立更廣泛意義的利率期限結(jié)構(gòu)框架下的利息理論提供了模型基礎(chǔ)。

附錄

1.命題2的證明

命題2假設(shè)最大累積函數(shù)v（t）是正規(guī)的，則QIOP存在最優(yōu)解，對(duì)于它的任意兩個(gè)基變量＞0和＞0，如果i≤j，則有k≥l。

證明：這里我們只證明QIOP的第一種情況，第二種情況與此類似。如果QIOP的最優(yōu)解中存在兩個(gè)基變量＞0，＞0，其中μ+1≤i≤j≤T，T+1≤k＜l≤T+μ。令，構(gòu)造一個(gè)新的解：

因?yàn)棣?1≤i≤j≤T＜k＜l≤T+μ，所以有1≤l-j，k-i≤l-i＜T。由于v（t）是正規(guī)的，根據(jù)式（2），有v（l，即。如果，與是最優(yōu)解矛盾。所以有，則，由此可以推出，即得到了一個(gè)新的最優(yōu)解，在這個(gè)最優(yōu)解中不同時(shí)存在兩個(gè)基變量。由于除了以外，其它的基變量均沒(méi)有改變，所以使用相同的方法，最終就能夠得到一個(gè)最優(yōu)解，在這個(gè)最優(yōu)解中不會(huì)同時(shí)存在兩個(gè)基變量≤T＜k＜l），證畢。

2.下面是第3節(jié)系推論1中兩種典型情況的最大保險(xiǎn)金額λmax的類C語(yǔ)言二分搜索算法，其中ε是給定的表示誤差范圍的一個(gè)小數(shù)，λh是給定的保險(xiǎn)金額較大的初始值，數(shù)組變量Sp和Ls分別表示多余的保險(xiǎn)收入和不足的保險(xiǎn)支出。

（1）f（x）單調(diào)增加（含常值），g（x）單調(diào)減少（圖2）。

（2）f（x）單調(diào)減少，g（x）單調(diào)增加（圖3）。

3.第5節(jié)實(shí)例中對(duì)應(yīng)IOP的收入函數(shù)~P（x）和支出函數(shù)~R（x）的表達(dá)式。

（1）終身生存年金

（2）定期人壽保險(xiǎn)

其中a是投保年齡，n=pT（p≥1）。

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Linear Optimization Model for Life Insurance Pricing

WANG Bo
（Institute of Business of Zhejiang Radio and TV University，Ningbo 315016，China）

There are various interest rates of different terms in the actual financial markets.In order to calculate the life insurance rates under the condition of multiple interest rates，a linear programming model which is called“Income-outcome problem（IOP）”was established on the basis of the definition of maximum accumulation function，and its optimal value describes the maximum level of insurance payment that can be achieved through the rational arrangement of investment term of premium funds.Using local optimizationmethod，two properties of the optimal solution of IOP are proved，and these properties show that the premium income fund should gives priority to the investment which has longer term（that is，larger interest rates）on the condition of meeting the insurance expenditures.For some typical life insurance product model，we give the structure of the optimal solution and list the calculated results of premium rate of two specific examples.The results show that the main factor in the calculation of premium rates is the longest term interest rate，followed by an comprehensive level of the different interest rates.The model of this paper also provides the basis for creating generalized theory of interest under the condition of multiple interest rates.

multiple interest rates；maximum accumulation function；linear optimization；income-outcome problem；life insurance pricing

F840

：A

1003-207（2014）05-0033-09

2012-04-29；

2013-05-09

王波（1970-），男（漢族），浙江寧波人，浙江廣播電視大學(xué)工商學(xué)院，講師，研究方向：最優(yōu)化算法與應(yīng)用.