張 巖

(中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林長春 130033)

0 引 言

精確的動(dòng)力學(xué)模型是機(jī)器人控制及仿真的前提條件，而建立精確的動(dòng)力學(xué)模型需要準(zhǔn)確的機(jī)器人各連桿動(dòng)力學(xué)參數(shù)。機(jī)器人在組裝完成后，一般無法得到真實(shí)機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)參數(shù)，或只能根據(jù)機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)及連桿的個(gè)體參數(shù)來估算組裝后的參數(shù)值，顯然這種方法的辨識結(jié)果無法滿足實(shí)際的機(jī)器人控制精度要求［1－2］。對于機(jī)器人動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識的研究，美國MIT人工智能實(shí)驗(yàn)室的Chae H.An等人［3］根據(jù)牛頓歐拉動(dòng)力學(xué)方程，采用嶺回歸的算法優(yōu)化得到機(jī)器人的組合動(dòng)力學(xué)參數(shù)，由于動(dòng)力學(xué)方程中各參數(shù)的耦合性較強(qiáng)，該方法僅辨識出機(jī)械臂的組合動(dòng)力學(xué)參數(shù)值。Kwon S K等人［4］設(shè)計(jì)了一種高效的機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型辨識算法，該方法在辨識效率上得到了顯著地提高，但辨識結(jié)果同樣出現(xiàn)文獻(xiàn)［3］中存在的問題。Katayon等人［5］通過機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識模型的優(yōu)化，在已知關(guān)節(jié)力矩的情況下辨識得到除連桿一以外的大部分動(dòng)力學(xué)參數(shù)值，由于連桿一只存在繞關(guān)節(jié)一軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，該算法無法辨識連桿一的動(dòng)力學(xué)參數(shù)。此外，對于機(jī)器人負(fù)載動(dòng)力學(xué)參數(shù)的辨識，Gautier［6］與Swevers等人［7］根據(jù)機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)特性并且借助關(guān)節(jié)力矩傳感器，分別設(shè)計(jì)了負(fù)載動(dòng)力學(xué)參數(shù)的辨識算法，取得了一定的研究成果。

對于組裝完成后的機(jī)器人系統(tǒng)，機(jī)器人的各個(gè)關(guān)節(jié)一般會裝有關(guān)節(jié)力矩傳感器以及關(guān)節(jié)速度傳感器。本研究根據(jù)實(shí)際情況，在以上條件已知的情況下，設(shè)計(jì)一種機(jī)器人動(dòng)力學(xué)參數(shù)的動(dòng)、靜態(tài)混合辨識方法。在靜態(tài)辨識中采用基座六維力傳感器，通過變化機(jī)械臂的構(gòu)型，首先辨識得到機(jī)器人各連桿的質(zhì)量與質(zhì)心坐標(biāo)的乘積值;在動(dòng)態(tài)辨識過程中，規(guī)劃關(guān)節(jié)按特定的組合方式運(yùn)動(dòng)，通過辨識算法計(jì)算各連桿的慣性張量以及質(zhì)心坐標(biāo)，繼而完成動(dòng)力學(xué)參數(shù)的全辨識。最后，通過仿真實(shí)驗(yàn)對辨識方法進(jìn)行驗(yàn)證，并對辨識精度進(jìn)行分析。

1 符號說明及基本理論

參照機(jī)械臂模型圖如圖1所示，現(xiàn)對本研究中出現(xiàn)的符號定義如下:

cn為第n連桿質(zhì)心;nPn+1為第n+1關(guān)節(jié)在n坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為坐標(biāo)系n到坐標(biāo)系n+1的旋、、轉(zhuǎn)變換矩陣;θn為第n關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角度、角速度、角加速度;nωn、nαn為第 n連桿在當(dāng)前坐標(biāo)系下的角速度、角加速度;nvn、nan為第n關(guān)節(jié)在當(dāng)前坐標(biāo)系下的線速度、線加速度;nfn、nnn為第n坐標(biāo)系下n－1連桿作用在n連桿上的力及力矩;∑n代表第n關(guān)節(jié)坐標(biāo)系;τn代表第n關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩;nZn代表第n坐標(biāo)下Z向單位向量。

圖1 機(jī)械臂模型圖

對于機(jī)器人旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，各連桿的速度及角速度按如下的方式傳遞［8］:

機(jī)器人各連桿質(zhì)心所受的力及力矩為:

其中:iaci=iai+iαi× ci+iωi× (iωi× ci)。

本研究所要辨識的動(dòng)力學(xué)參數(shù)包括機(jī)械臂質(zhì)量mi、質(zhì)心坐標(biāo)ci={cixciyciz}以及慣性張量Ici={IixxIiyyIizzIixyIixzIiyz}。各連桿動(dòng)力學(xué)參數(shù)在坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)化關(guān)系為［9］:

2 動(dòng)力學(xué)參數(shù)的辨識方法

2.1 靜態(tài)辨識原理

具有n個(gè)自由度的機(jī)器人，各連桿質(zhì)量與質(zhì)心坐標(biāo)存在著如下的關(guān)系:

式中:M—機(jī)械臂總質(zhì)量;C—機(jī)械臂系統(tǒng)的質(zhì)心;i0R，ci(i=1，2…n)—各關(guān)節(jié)坐標(biāo)系到基坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣以及各連桿的質(zhì)心。

本研究將六維力傳感器安裝于機(jī)器人的第一關(guān)節(jié)與基座之間，則機(jī)械臂系統(tǒng)整體的質(zhì)量與質(zhì)心坐標(biāo)可以通過六維力傳感器求得:

若基座所受的六維力為:{FxFyFzNxNyNz}，則存在如下的關(guān)系:

取機(jī)器人的A組位姿(A≥n)，每次變化構(gòu)型時(shí)各關(guān)節(jié)應(yīng)隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度，以確保不出現(xiàn)線性相關(guān)的問題?，F(xiàn)可以構(gòu)造如下的矩陣方程:

其中:

則機(jī)器人各連桿的質(zhì)量與質(zhì)心坐標(biāo)乘積的最小二乘解為:

2.2 動(dòng)態(tài)辨識原理

由牛頓歐拉動(dòng)力學(xué)方程可知，機(jī)器人各連桿的力及力矩按照如下的方式逆向遞推［10－12］:

對于末端連桿，由于不存在n+1fn+1及n+1nn+1，則末端連桿的力及力矩關(guān)系可簡化為如下的形式:

合并連桿的質(zhì)量與質(zhì)心坐標(biāo)的乘積項(xiàng)，將其記為mcn，整理后可得:

將式(11)變換成矩陣方程的形式:

式中:K—連桿質(zhì)心坐標(biāo)的系數(shù)矩陣，K=［KxKyKz］;H—慣性張量系數(shù)矩陣。

具體形式為:

由式(9)可知，機(jī)器人關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩τ為關(guān)節(jié)力矩z方向分量。因此，本研究提取矩陣方程式(12)第3行，在機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)取B組數(shù)據(jù)(B≥9)，采用偽逆法辨識得到末端連桿的動(dòng)力學(xué)參數(shù)Φ和Γ:

本研究獲得末端連桿動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識后，將末端連桿與次末端連桿整體作為待辨識的對象，辨識過程與上述方法相同，然后根據(jù)動(dòng)力學(xué)參數(shù)的坐標(biāo)系間轉(zhuǎn)換關(guān)系獲得次末端機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)參數(shù)。以此依次遞推至第2連桿，完成機(jī)器人第2連桿至末端連桿的動(dòng)力學(xué)參數(shù)的辨識。

由于機(jī)器人第1連桿為繞關(guān)節(jié)一軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，其只存在自身坐標(biāo)系z向的速度以及加速度?？紤]到連桿一運(yùn)動(dòng)的特殊性，需要對其動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識的方法進(jìn)行單獨(dú)的分析。

關(guān)節(jié)一在運(yùn)動(dòng)的過程中，考慮到上述的分析情況，連桿慣性張量中的3個(gè)參數(shù)I1xx、I1yy、I1xy的變化不會對關(guān)節(jié)一的力矩產(chǎn)生影響，因此連桿一的上述3個(gè)慣性張量均屬于無法辨識的動(dòng)力學(xué)參數(shù)。令機(jī)器人關(guān)節(jié)一運(yùn)動(dòng)，其他關(guān)節(jié)鎖死，則根據(jù)牛頓歐拉動(dòng)力學(xué)方程可知關(guān)節(jié)一的力矩表示如下:

式中:C×(1α ×C)與 C ×(1ω ×(1ω ×cn))—連桿質(zhì)心的二次方項(xiàng)，其可以通過連桿慣性張量在坐標(biāo)系間的平移變化進(jìn)行化簡。

式(14)可以變化為如下的形式:

由公式(3)中慣性張量的轉(zhuǎn)化關(guān)系，可以對式(15)進(jìn)一步化簡，最終可以得到如下的關(guān)系:

式中:1I—連桿相對于自身坐標(biāo)系原點(diǎn)的慣性張量。

則連桿的慣性張量為:

連桿一的慣性張量 I1zz、I1xz、I1yz隨即可求得。至此，機(jī)器人各連桿的慣性張量、第2連桿至末端連桿的質(zhì)量與質(zhì)心坐標(biāo)以及機(jī)械臂系統(tǒng)整體的質(zhì)量與質(zhì)心坐標(biāo)均以得到辨識，連桿一的質(zhì)量與質(zhì)心坐標(biāo)由式(4)可以直接求得。機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識方法的總體流程圖如圖2所示。

圖2 動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識方法流程圖

3 仿真實(shí)驗(yàn)

本研究利用Visual C++開發(fā)環(huán)境，構(gòu)建機(jī)器人動(dòng)力學(xué)仿真系統(tǒng)的基本構(gòu)架，并基于OpenGL開發(fā)六自由度機(jī)器人仿真模型。機(jī)器人各連桿的DH參數(shù)、動(dòng)力學(xué)參數(shù)如表1、表2所示。

表1 機(jī)器人D－H參數(shù)表

旋轉(zhuǎn)機(jī)器人各關(guān)節(jié)(θ1－6∈［－ π，π］)，設(shè)定機(jī)械臂多組構(gòu)型(實(shí)驗(yàn)中選取8組位姿)。機(jī)械臂各關(guān)節(jié)的角度如下所示(單位:°):

表2 機(jī)器人連桿名義動(dòng)力學(xué)參數(shù)

在動(dòng)態(tài)的辨識實(shí)驗(yàn)過程中，本研究首先規(guī)劃機(jī)器人1～6關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)，機(jī)器人1～6關(guān)節(jié)的角速度如圖3所示。規(guī)劃時(shí)間20 s，初始關(guān)節(jié)角與終止關(guān)節(jié)角分別為(單位:°):

本研究隨機(jī)選取10個(gè)時(shí)刻作為采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)，各個(gè)關(guān)節(jié)的力矩曲線如圖4所示。采樣完畢后，將關(guān)節(jié)6鎖死，1～5關(guān)節(jié)按照同樣的方式運(yùn)動(dòng)，并進(jìn)行關(guān)節(jié)力矩的數(shù)據(jù)提取。依次類推，依次規(guī)劃機(jī)器人1～n關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)，n+1至6關(guān)節(jié)鎖死。

辨識結(jié)果如表3所示，其中，連桿一的慣性張量的辨識值為相對于自身關(guān)節(jié)坐標(biāo)系。由于連桿一運(yùn)動(dòng)空間的局限性，I1xx、I1yy以及I1xy均為無法辨識的參數(shù)。連桿一在運(yùn)動(dòng)的過程中，其關(guān)節(jié)力矩與連桿質(zhì)量、質(zhì)心坐標(biāo)以及慣性張量 I1zz、I1xz、I1yz相關(guān)。I1xx、I1yy以及 I1xy的缺失不會對機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)的建模及運(yùn)動(dòng)控制造成影響。

對連桿質(zhì)量、質(zhì)心坐標(biāo)以及慣性張量的誤差評判方式采用下式計(jì)算模型:

圖4 各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩τ

式中:下標(biāo)id—辨識值，下標(biāo)re—名義值，Norm—求模函數(shù)。

表3 連桿動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識值

實(shí)驗(yàn)中的關(guān)節(jié)力、力矩均為理想值。機(jī)器人動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識誤差如表4所示。由表4可見，辨識結(jié)果中連桿質(zhì)量與質(zhì)心坐標(biāo)的辨識誤差較小，辨識精度較為理想。由于辨識算法采用連桿由外向內(nèi)遞推的辨識思路，存在辨識誤差累積的情況。從連桿慣性張量的辨識結(jié)果中可以發(fā)現(xiàn)其辨識精度由外向內(nèi)總體呈遞減的趨勢，所以在動(dòng)態(tài)的辨識過程中，末端連桿慣性張量的辨識精度尤為重要。在實(shí)驗(yàn)的過程中，研究者應(yīng)該盡可能選取多組時(shí)刻的數(shù)據(jù)來對末端連桿慣性參數(shù)進(jìn)行辨識與修正，在減小自身慣性參數(shù)辨識誤差的同時(shí)，避免對后續(xù)連桿的辨識精度造成影響。

表4 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識誤差

4 結(jié)束語

本研究在已知機(jī)器人關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩及基座六維力的情況下，設(shè)計(jì)了一種機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)參數(shù)的動(dòng)、靜態(tài)辨識方法。

本研究采用靜態(tài)與動(dòng)態(tài)的分步辨識思想，首先由靜態(tài)辨識得到機(jī)械臂質(zhì)量與質(zhì)心坐標(biāo)的乘積，為動(dòng)態(tài)辨識過程消去待辨識參數(shù)的二次方項(xiàng)，降低辨識的復(fù)雜度，在辨識過程中，基座六維力/力矩傳感器為靜態(tài)測量，能夠有效降低六維力傳感器的動(dòng)態(tài)測量誤差;本研究的辨識算法除連桿一的3個(gè)慣性張量I1xx、I1yy、I1xy外，能夠較為精確地辨識出所有連桿的動(dòng)力學(xué)參數(shù)值，且連桿的動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識結(jié)果中包含機(jī)械臂關(guān)節(jié)特性，能夠反應(yīng)機(jī)器人實(shí)際工作中的慣性參數(shù)值。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，各連桿動(dòng)力學(xué)參數(shù)的辨識結(jié)果具有比較高的精度。由于靜態(tài)辨識結(jié)果對動(dòng)態(tài)辨識的修正與補(bǔ)償，連桿的質(zhì)量與質(zhì)心坐標(biāo)在動(dòng)態(tài)辨識過程中不存在誤差累積的情況，其辨識精度相對較高，各連桿質(zhì)量的辨識誤差均小于1%，而各連桿的慣性張量在由外向內(nèi)遞推辨識過程中則存在誤差累積的問題。在后續(xù)的研究工作中，需要針對這一情況設(shè)計(jì)連桿慣性張量的修正方法以獲得更為理想的辨識結(jié)果。

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