(湖南科技學院 電子工程系,湖南 永州 425199)

楊氏模量是表征材料性質(zhì)的一個重要的物理量，是工程技術設計中常用的參數(shù)，通常只與材料的性質(zhì)、溫度及其加工制造的方法有關，而與外力及物體的幾何形狀無關，對它的準確測量具有很重要的工程實踐意義。測量材料楊氏模量的方法有很多，如拉伸法、壓入法[1]、彎曲法[2][3]和游標法[4]等等。拉伸法是最常用的方法之一，這是因為金屬絲的伸長量非常小，一般的實驗儀器及實驗方法很難精確測量，故通常都是采用光學放大法(即光杠桿放大法)實現(xiàn)微小伸長量的測量。但實驗室現(xiàn)有的實驗儀器在調(diào)節(jié)、測量讀數(shù)等方面均存在一些不便，本文對實驗室現(xiàn)有實驗儀器和測試方法進行改進，從而簡化實驗操作、減小誤差，能有利于提高楊氏模量的測量精度。

1 測量原理

1.1 胡克定律和楊氏彈性模量

當固體受外力作用時，它的體積和形狀將要發(fā)生改變，這種改變，稱之為形變。物體的形變一般可分為彈性形變和塑性形變。當外力不太大時，物體的形變與外力成正比，且外力停止作用物體立即恢復原來的形狀和體積，這種形變稱彈性形變。當外力較大時，物體的形變與外力不成比例，且當外力停止作用后，物體形變不能完全消失，這種形變稱為范性形變。范性形變的產(chǎn)生，是由于物體形變而產(chǎn)生的內(nèi)應力(大小等于單位面積上的作用力)超過了物體的彈性限度(屈服極限)的緣故。如果再繼續(xù)增大外力，當物體內(nèi)產(chǎn)生的內(nèi)應力超過物體的強度極限時，物體便被破壞了。胡克定律指出：在物體的彈性限度內(nèi)，脅強與脅變成正比，其比例系數(shù)稱為楊氏模量(記為E)。

在數(shù)值上等于產(chǎn)生單位脅變時的脅強。它的單位與脅強的單位相同。

設有一根長為L，橫截面積為S的金屬固體材料(如：鋼絲)，在外力F作用下伸長了，則：

(1)

(2)

式(2)表明，對于長度為L、直徑為d和所加外力為F相同的情況下，楊氏模量E大的金屬絲而其伸長量卻比較小。因而，楊氏模量是表征材料性質(zhì)的一個重要的物理量，是工程技術設計中常需涉及的重要參數(shù)之一，通常只與材料的性質(zhì)和溫度有關，而與外力及物體的幾何形狀無關。對一定材料而言，E通常可以看作是一個常數(shù)，它只與材料的構造、化學成分等方面有關。楊氏模量的大小標志了材料的剛性。

為能測出金屬絲的楊氏模量E，必須準確測出上式中右邊各量。其中L、d、F都可用一般方法測得，唯有△L是一個微小的變化量，用一般量具難以測準，為了測準細小鋼絲的微小長度變化，實驗中采用了光杠桿放大法進行測量。因為光杠桿放大法具有穩(wěn)定性高、易操作、受環(huán)境的干擾小等特點，所以在許多科研生產(chǎn)和生活等領域都得到廣泛應用。

1.2 光杠桿和鏡尺系統(tǒng)是測量微小長度變化的裝置[3]

光杠桿基本組成如圖1(a)所示，它實際上就是一塊附有三個足尖的平面鏡。三個足尖的邊線可連成一等腰三角形。前兩足尖刀口與平面鏡應在同一平面內(nèi)(平面鏡俯仰角可以調(diào)節(jié))，后足尖在前兩足尖刀口的中垂線上。鏡尺系統(tǒng)實際上就是一把豎立的毫米刻度尺和在尺子旁的一臺望遠鏡組成。光杠桿與鏡尺系統(tǒng)組成如圖1(b) 所示的測量系統(tǒng)。

圖1 (a) 光杠桿 圖1 (b) 楊氏模量測量系統(tǒng)

將光杠桿和鏡尺系統(tǒng)按圖1(b) 安裝好，并按儀器調(diào)節(jié)步驟調(diào)節(jié)好全部裝置之后，就會在望遠鏡中看到由鏡面M反射的直尺(標尺)的像。標尺是一般的米尺，但中間刻度為0。其光路部分如圖2。圖中M1表示鋼絲處于伸直情況下，光杠桿小鏡的位置。從望遠鏡的目鏡中可以看見水平叉絲對準標尺的某一刻度線n0，當在鉤碼上增加砝碼(第i塊)時，因鋼絲伸長致使置于鋼絲下端附著在平臺上的光杠桿后足P跟隨下降到P′，PP′即為鋼絲的伸長△Li，于是平面鏡的法線方向轉過一角度θ，此時平面鏡處于位置M2。在固定不動的望遠鏡中會看到水平叉絲對準標尺上的另一刻線ni，ni-n0就是放大后的鋼絲伸長量△ni(即△ni=ni-n0)，常稱作視伸長。假設開始時對光杠桿的入射和反射光線相重合，當平面鏡轉一角度θ，則入射到光杠桿鏡面的光線方向就要偏轉2θ，故∠n0Oni=2θ，因θ甚小，OO′也很小，故可認為平面鏡到標尺的距離D≈On0，并有：

(3)

(4)

式中b為后足至前足連線的垂直距離，稱為光杠桿常數(shù)。從以上兩式得：

(5)

(6)

常用單位是：N/m2或Pa。式中d為鋼絲的直徑。

圖2 光杠桿放大原理圖

2 實驗改進

2.1 測量鋼絲長度L的改進[5]

在測量鋼絲長度L時，由于鋼絲上下端裝有緊固夾頭，同時鋼絲處于豎直拉長狀態(tài)，這給測量帶來很大不便。一來由于緊固夾頭的阻礙，很難將鋼卷尺貼近鋼絲，而必須將鋼卷尺放置在距離鋼絲有一定距離的位置進行測量，這樣由于人眼讀數(shù)的視差，必然會減低讀數(shù)準確度；二來由于鋼絲處于豎直拉長狀態(tài)，測量者要將鋼卷尺豎直拉長后再去讀數(shù)，這樣就很難保證視線與刻度對齊，從而產(chǎn)生視差，降低讀數(shù)精度。針對這個問題，可以考慮將鋼卷尺和固定鋼絲的裝置的一端固連在一起，并使得鋼卷尺盡量靠近細鋼絲。需要讀數(shù)的時候，將鋼卷尺拉出，由于鋼卷尺的一端固定，這將大大降低了單人操作時的難度，可以提高測量精度。

2.2 測量鏡尺間距D的改進

在測量鏡尺間距D時，由于距離較遠，很難保證鋼卷尺水平放置、不彎曲而且兩端對齊，顯然這樣帶來的誤差將會相當大。為了減少該誤差，可以參考光學實驗中測量光學元件間距時采用帶刻度的光具座的方法，將望遠鏡、鋼絲固定裝置置于一個帶有刻度的導軌上，從而簡化測量和提高精度。

2.3 測量光杠桿前后足間距b的改進[6]

在測量光杠桿前后足間距b時，不能保證完全是垂直距離，同時由于光杠桿的尺寸和形狀問題，也會使得游標卡尺不能很好地卡緊前后足?？梢钥紤]將光杠桿置于白紙上，用鉛筆描出光杠桿三足位置，然后連接兩個后足，再過前足作后足的垂線，測量前足到垂足的距離，則可以比較簡便地測出前后足間距。但是這樣操作則不能用游標卡尺測量前后足間距，故而將會損失一定測量精度。

2.4 測量視伸長△ni的改進

由于采用了光杠桿多次成像的方法放大了微小位移，故而對原來位移的微小擾動，也會同時放大成相當大的干擾，從而影響讀取視伸長數(shù)值的精確度。在實驗中發(fā)現(xiàn)，望遠鏡中的標尺像總是在晃動，很難保證叉絲保持對齊某個刻度線，嚴重的時候叉絲對準的刻度甚至會有一個相當大的變動范圍，大大超過儀器本身的測量誤差限度。考慮到視伸長△ni對本實驗精確度的影響極大，應該著重改善這個問題。

首先應該盡可能地減少鋼絲受到的擾動。實驗時應該盡量小心，保持桌面的平穩(wěn)，并且盡量在標尺像晃動不太劇烈的時候迅速讀數(shù)。

其次應該通過多次讀取數(shù)值來消減誤差。在加砝碼和減砝碼后，應該在標尺晃動不太劇烈時，讀取幾組數(shù)據(jù)，然后再求平均，通過平均的作用消減讀取位置偏離真實位置的誤差。

再次應該在條件允許下改善實驗設備。由于標尺像在不斷晃動，要在它晃動的時候看清對齊的刻度并估讀數(shù)字是很困難的，所以如果條件允許，可以將望遠鏡改進為帶有攝像功能的攝像望遠鏡。在標尺像晃動不太劇烈時，拍攝幾組照片，之后再讀取靜止的照片中的讀數(shù)，此時就能獲得更好的精確度。

3 數(shù)據(jù)記錄與處理

3.1 計算鋼絲彈性模量

按著改進后的實驗裝置和方法進行實驗，記錄數(shù)據(jù)如下：

鋼絲長度L=39.60cm，平面鏡到標尺的距離D=102.20cm，光杠桿前后足間距b=8.500cm

表1 鋼絲直徑d測量結果(螺旋測微器零點誤差x0=-0.320mm)

表2 加砝碼后標尺的讀數(shù)n

表3 用逐差法求標尺讀數(shù)改變量△n

3.2 計算鋼絲彈性模量的不確定度

L、D、b只測量一次，只有B類不確定度，估計其誤差限為△L=0.3cm，△D=0.5cm，△b=0.02cm，故：

d的不確定度：

△n的不確定度：

∴ lnE=lnL+lnD-2lnd-lnb-ln △n+ln 16+lnm+lng-lnπ

兩邊同時求微分，得到：

將上式中d改為u，并取平方和的根：

最終結果為：E±u(E)=(1.99±0.05)×1011N·m-2

4 分析與結論

通過查閱相關資料可得，鋼絲的彈性模量理論值約為1.92×1011～2.16×1011N·m-2[7]，不妨取E真=2.04×1011N·m-2作為真值的估計值，并以此計算絕對誤差與相對誤差：

△N=E-E真=(1.99-2.04)×1011N·m-2=-0.05×1011N·m-2

可以看出，實驗的誤差是比較小的。

下面估算各測量值不確定度對最終結果的不確定度的貢獻為：

表4 各測量值的相對不確定度分量

可見，u(△n)和u(d)的影響均很大，其貢獻主要來自uA(△n)/△n、uB(△n)/△n和2uB(d)/d。實際上只考慮這三項的方差合成就可達2.6%，與u(E)/E=2.7%相差很小。表4所述不確定度分量主要來自儀器誤差，一般只能通過儀器校正來減小，因此很難再通過改善測量方法來提高其準確度。反之也說明了本次實驗在測量方法的選擇上是恰當?shù)?。△n、d的測量中采取了多次重復測量的方式，實驗中對d的測量沒有給E帶入很大的誤差，但△n的測量則帶入了很大的誤差，故而在對△n的測量可能存在較大問題。下面對△n帶來的誤差可能性進行分析：

i/測量次數(shù)12345△ni/標尺讀數(shù)改變量(CM)1．8951．9401．9401．8301．745

圖3 △n1(標尺讀數(shù)改變量)的散點圖

散點圖顯示，第五個數(shù)據(jù)波動相當大，很可能是由于測量有誤而讀出的壞數(shù)。由于測量次數(shù)只有五次，故而不能用拉依達法則判斷其是否壞數(shù)，而應該用檢驗準則來判斷。

=0.05202163

先將△n5剔除，計算剩余數(shù)據(jù)的平均值和單次測量標準偏差：

根據(jù)測量次數(shù)n=5，查表得到若選置信概率為0.99和0.95時的對應K值為：

K(5,0.99)=6.53，K(5,0.95)=3.56，分別設為X、Y，則有：

∵X·S=6.53×0.05202163=0.33970,Y·S=3.56×0.05202163=0.18520

∴Z

故而△n5并不是壞數(shù)，只是多次測量中的一次比較極端的情況，應該保留。重新考慮△n的測量帶來的隨機誤差，發(fā)現(xiàn)測量次數(shù)僅有5次，故而多次測量中的極端情況△n5帶來的隨機誤差使得測量結果的A類不確定分量特別大。為了消減誤差，在測量△n的時候，應當進行次數(shù)更多的測量，獲取更為平均的結果。但應該注意，測量次數(shù)不宜過多，否則可能會帶來新的測量誤差和粗大誤差。

由以上分析可得，對實驗裝置和方法改進后的測量結果穩(wěn)定可靠，與理論值吻合較好，測量精度有較大提高，誤差控制在2.45%左右，基本能滿足對鋼絲楊氏模量的測量要求。

參考文獻：

[1] 侯君達,潘澍.壓入法測定金屬材料的楊氏模量[J].理化檢驗, 1999,(9):396-398.

[2] 梁霄, 田源等.橫梁彎曲衍射法測楊氏模量實驗儀的研制[J].物理實驗,2011,(8):31-33.

[3] 李文斌,劉旺東.大學物理實驗[M].湘潭:湘潭大學出版社,2009:56-65.

[4] J H Avery, A W Klngram.MondernLaboratoryPhysics[M].London: Heinmann Educational Books Ltd,1976.55-57.

[5] 陳薇薇,劉艷鳳.拉伸法測量金屬絲楊氏模量的實驗改進[J].牡丹江師范學院學報,2007,(1):13-14.

[6] 莊建,青莉.關于實驗“拉伸法測楊氏模量”的思考[J].實驗科學與技術,2006,(3):69-71.

[7] 萬志龍.利用螺旋測微器測量金屬絲的楊氏模量[J].德州學院學報,2007,(6):22-24.