劉尊龍，孫恒信，劉奎，郜江瑞

（山西大學(xué) 光電研究所量子光學(xué)與光量子器件國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原 030006）

0 引言

精密測(cè)量技術(shù)是量子光學(xué)的重要應(yīng)用之一。其中激光微小平移測(cè)量在諸多領(lǐng)域都有著重要意義，例如，現(xiàn)代信息光學(xué)中光學(xué)圖像探測(cè)［1］、天文學(xué)中衛(wèi)星之間的位置穩(wěn)定［2］以及生物學(xué)中粒子運(yùn)動(dòng)追蹤［3］等。隨著科學(xué)的發(fā)展和認(rèn)知的需求，對(duì)微小平移測(cè)量的精度（靈敏度）要求越來(lái)越高。通過(guò)產(chǎn)生空間非經(jīng)典光場(chǎng)降低量子噪聲［4－6］，可以提高靈敏度。然而，空間非經(jīng)典光場(chǎng)需要在苛刻的實(shí)驗(yàn)條件下才能產(chǎn)生［7］，且易受傳播損耗的影響而導(dǎo)致其靈敏度降低，這就需要我們尋找其他有效光源代替空間非經(jīng)典光場(chǎng)?？臻g高階模激光具有更加復(fù)雜的橫向分布，包含更大的信息量，已經(jīng)被應(yīng)用于精密測(cè)量中［8－9］，因此，我們考慮將空間高階模激光用于微小平移測(cè)量來(lái)提高測(cè)量靈敏度。

目前普遍采用的空間微小平移測(cè)量裝置為平衡零拍系統(tǒng)［6，10－11］，但使用高階模激光作為信號(hào)光時(shí)，平衡零拍系統(tǒng)需要構(gòu)造復(fù)雜的本底光，不易實(shí)現(xiàn)。近年來(lái)半導(dǎo)體器件加工工藝取得了飛速發(fā)展，其中CCD探測(cè)器每個(gè)像素尺寸已經(jīng)可以達(dá)到微米量級(jí)，可以用于探測(cè)橫向分布更加復(fù)雜的光場(chǎng)，從而獲取更大的信息量，多象限探測(cè)法逐漸成為一種有效可行的測(cè)量手段。

本文給出了一種基于高階厄米高斯模的微小平移多象限探測(cè)方案，在量子噪聲不變的情況下，通過(guò)提高信號(hào)光模式階數(shù)可以大幅提高平移測(cè)量的信噪比，從而提高測(cè)量靈敏度，且實(shí)驗(yàn)裝置更加簡(jiǎn)便有效。

1 激光微小平移探測(cè)的極限

激光具有很好的空間指向性，可以用來(lái)加載微小平移信息，通過(guò)測(cè)量其空間橫向光子數(shù)分布，我們可以提取出平移信息。

對(duì)于一束厄米高斯TEMn0模激光，只考慮一維情況下，其橫向光子數(shù)分布滿足

TEMn0模經(jīng)過(guò)微小平移d后，其空間分布泰勒展開(kāi)為：

由于量子噪聲的存在，在對(duì)激光進(jìn)行測(cè)量時(shí)，空間橫向每一處對(duì)應(yīng)的光子數(shù)n（x）在時(shí)域上都是圍繞其均值ˉn（x）起伏的隨機(jī)量，我們只能得到關(guān)于平移量d的一個(gè)估計(jì)量＾d，而且＾d必定伴隨著量子噪聲起伏。信息理論里定義了估計(jì)量＾d的起伏量的下界，即克拉美－羅下界（Cramer-Rao bound）［12］，對(duì)于高階橫模相干光場(chǎng)，其估計(jì)量＾d的克拉美－羅下界為：

IF稱為Fisher信息，可以從量子噪聲中分辨出的最小可測(cè)量值為dmin＝1／，則探測(cè)靈敏度極限為

由此可見(jiàn)，F(xiàn)isher信息量越大，對(duì)平移量d可達(dá)到的探測(cè)精度越高。而Fisher信息量的大小與信號(hào)光橫向分布有密切關(guān)系。分別將（3）式和（4）式帶入（7）式，可以得到當(dāng)信號(hào)光為TEMn0模時(shí)（n＝0，1，…），測(cè)量靈敏度極限為

這一極限不依賴于測(cè)量方式，只與信號(hào)光的模式分布有關(guān)，而相比于TEM00模，高階模就具有更強(qiáng)的空間分布特性，測(cè)量靈敏度極限更大。

接下來(lái)我們考慮采用多象限探測(cè)法進(jìn)行激光橫向微小平移測(cè)量，分別給出采用厄米高斯基模和高階模作為信號(hào)光情況下的測(cè)量靈敏度。

2 多象限法探測(cè)微小平移

2.1 理想模型

Fig.1 Experimental scheme of array detection for small displacement圖1 多象限法探測(cè)微小平移實(shí)驗(yàn)方案

實(shí)驗(yàn)方案如圖1所示，采用TEMn0模激光作為信號(hào)光（n＝0，1，…），信號(hào)光經(jīng)過(guò)平移調(diào)制后，橫向強(qiáng)度分布由多象限探測(cè)器每個(gè)象限測(cè)得，理想模型情況下，每個(gè)象限寬度都為無(wú)窮小，所有像素的測(cè)量信號(hào)分別取增益之后加和得到估計(jì)量S（d），S（d）可表示為以下積分形式

其中g(shù)（x）為對(duì)x處象限測(cè)得信號(hào)的增益，取適當(dāng)增益使S（d＝0）＝N∫g（x）｜un（x）｜2d x＝0，將（2）式帶入（9）式得，估計(jì)量S（d）為d的無(wú)偏估計(jì)量

定義探測(cè)模式w（x）＝g（x）un（x）／f，其中f2＝∫g2（x）｜un（x）｜2d x為歸一化系數(shù)。

對(duì)于相干光，S（d）的量子噪聲為探測(cè)模式對(duì)應(yīng)的量子噪聲即Δ2S＝Nf2［13］。

當(dāng)增益取為g（x）∝gopt（x）＝u′n（x）／un（x）時(shí)，探測(cè)模式w（x）與歸一化后的平移激發(fā)模式u′n（x）具有相同的空間分布，估計(jì)量S（d）的信噪比達(dá)到最大，為

2.2 實(shí)際模型

實(shí)際情況下，無(wú)窮小象限是不存在的，每個(gè)象限都為有限寬度的區(qū)域Di（i＝1，2，…）。通過(guò)理想模型，已經(jīng)得到最佳增益分布gopt（x），按照gopt（x）分布來(lái)控制每個(gè)象限區(qū)域Di的增益。估計(jì)量S（d）可表示為以下加和形式

每個(gè)象限D(zhuǎn)i的寬度大小l直接影響著耦合系數(shù)，而耦合系數(shù)決定了探測(cè)靈敏度。設(shè)每個(gè)象限寬度為l＝ω0／k（k＝1，2，…），k值的大小決定著探測(cè)器對(duì)光斑分割的象限數(shù)，k值越大，參與聯(lián)合測(cè)量的象限越多，可以獲得的信息量越多。

我們分別模擬了采用TEM00模、TEM10模和TEM20模作為信號(hào)光的微小平移測(cè)量。圖2分別給出了三種模式作為信號(hào)光進(jìn)行微小平移測(cè)量時(shí)的信號(hào)光模式和激發(fā)模式橫向分布及對(duì)應(yīng)最佳增益分布，其中橫軸為歸一化坐標(biāo)x／ω0，縱軸為歸一化常數(shù)，實(shí)線為信號(hào)光模式分布，虛線為平移激發(fā)模式分布，點(diǎn)狀虛線為最佳增益分布。圖3為測(cè)量靈敏度隨k值變化的趨勢(shì)，其中縱軸為歸一化的測(cè)量靈敏度SAD，n0／SCRB，00。

Fig.3 Plots of normalized sensitivities with TEM00 mode，TEM10 mode and TEM20 mode as signal light，as functions of k圖3 采用TEM00模、TEM10模和TEM20模作為信號(hào)光的歸一化測(cè)量靈敏度隨k值變化

從圖3中可以看出，隨著k值逐漸增加，各階模對(duì)應(yīng)的測(cè)量靈敏度都逐漸增加，趨近各自的測(cè)量極限，而且使用高階模相干光作為信號(hào)光時(shí)，可以達(dá)到基模靈敏度極限的倍。

當(dāng)k取2時(shí)，相比TEM00模作為信號(hào)光，高階模測(cè)量精度就有顯著的提高，目前已經(jīng)量產(chǎn)的Hamamatsu G7150-16多象限探測(cè)器的每象限寬度為l＝80μm，假設(shè)信號(hào)光腰斑大小為ω0＝160μm，功率為P＝1 mW，波長(zhǎng)為λ＝1μm，分辨率帶寬為RBW＝100 k Hz，采用TEM00模、TEM10模和TEM20模作為信號(hào)光最小可測(cè)量量分別可達(dá)0.37 nm、0.26 nm、0.23 nm，其中TEM10模和TEM20模作為信號(hào)光，比TEM00模測(cè)量靈敏度分別提高約42%和61%。

通過(guò)訂制具有更小象限寬度的多象限探測(cè)器，目前最小CCD可達(dá)微米量級(jí)，可以使k值取到更大。當(dāng)k取10時(shí)，各階模測(cè)量靈敏度接近靈敏度極限，TEM10模和TEM20模作為信號(hào)光測(cè)量靈敏度分別比基模提高約65%和110%，而采用空間非經(jīng)典光場(chǎng)作為信號(hào)光，想要達(dá)到同樣的測(cè)量精度，需要分別產(chǎn)生4.3 dB和6.4 dB的空間壓縮光［4，6］。此外，使用多象限探測(cè)器直接對(duì)高階模激光進(jìn)行探測(cè)，相比于平衡零拍探測(cè)，避免了產(chǎn)生復(fù)雜的本底光，且不需要位相的鎖定。因此，高階模多象限探測(cè)法在提高測(cè)量精度的同時(shí)，極大地簡(jiǎn)化了實(shí)驗(yàn)裝置。

3 結(jié)論

相比于厄米高斯基模激光，采用高階模作為信號(hào)光進(jìn)行微小平移測(cè)量可以提高信噪比，n階模測(cè)量靈敏度極限提高了倍。高階模橫向分布更加復(fù)雜，包含更多的信息量，針對(duì)這一特征，本文采用多象限探測(cè)法，即橫向分布的多個(gè)象限聯(lián)合測(cè)量，并且控制每個(gè)象限的增益使測(cè)量趨于最有效，數(shù)值模擬結(jié)果證明高階模作為信號(hào)光，測(cè)量靈敏度有顯著的提高。本文提出的高階模多象限探測(cè)法，為激光微小平移測(cè)量提供了直觀而又簡(jiǎn)便有效的方案。

［1］ Lugiato L A，Gatt Ai，Brambilla E.Quantum Imaging［J］.J Opt B：Quantum Semiclass.Opt，2002，4：S176-S183.

［2］ Nikulin V，Bouzoubaa M，Skormin V，et al.Modeling of an Acousto-optic Laser Beam Steering System Intended for Satellite Communication ［J］.Opt Eng，2001，40（10）：2208-2214.

［3］ Taylor M A，Janousek J，Daria V，et al.Biological Measurement Beyond the Quantum Limit［J］.Nat Photonics，2013，7：229-233.

［4］ Treps N，Andersen U，Buchler B，et al.Surpassing the Standard Quantum Limit for Optical Imaging Using Nonclassical Multimode Light［J］.Phys Rev Lett，2002，88（20）：203601.

［5］ Treps N，Grosse N，Bowen W P，et al.A Quantum Laser Pointer［J］.Science，2003，301：940-943.

［6］ Delaubert V，Treps N，Lassen M，et al.TEM10Homodyne Detection as an Optimal Small-displacement and Tilt-measurement Scheme［J］.Phys Rev A，2006，74：053823.

［7］ Lassen M，Delaubert V，Harb C C，et al.Generation of Squeezing in Higher Order Hermite-Gaussian Modes with an Optical Parametric Amplifier［J］.Journal of European Optical Society，2006，1：06003.

［8］ Novotny L，Sánchez E，Xie X S.Near-field Optical Imaging Using Metal Tips Illuminated by Higer-order Hermite-Gaussian Beams［J］.Ultramicroscopy，1998，71：21-29.

［9］ Du J，Li W，Wen R，Li G，et al.Precision Measurement of Single Atoms Strongly Coupled to the Higher-order Transverse Modes of a High-finesse Optical Cavity［J］.Appl Phys Lett，2013，103：083117.

［10］ Magnus T L Hsu，Vincent Delaubert，Ping Koy Lam，et al Optimal Optical Measurement of Small Displacements［J］.Opt.B：Quantum Semiclass Opt，2004，6：495-501.

［11］ 李睿，翟澤輝，趙姝瑾，等.平衡零拍平移測(cè)量實(shí)驗(yàn)研究［J］.物理學(xué)報(bào)，2010，59（11）：7724-05.

［12］ Helstrom C.The Minimum Variance of Estimates in Quantum Signal Detection ［J］.IEEE Trans Inf Theory，1968，IT14（2）：234-242.

［13］ Treps N，Delaubert V，Ma?tre A，et al.Quantum Noise in Multipixel Image Processing ［J］.Phys Rev A，2005，71：013820.