楊艷青，張素英

（山西大學(xué) 理論物理研究所，山西 太原 030006）

0 引言

近幾年，對光晶格勢阱中玻色－愛因斯坦凝聚體性質(zhì)的研究引起了人們的廣泛關(guān)注，包括布洛赫振蕩［1］、朗道－齊納隧穿［2］、原子激光［3］、傾斜光晶格勢阱中單組分玻色－愛因斯坦凝聚體的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)等［4－7］。隨著進(jìn)一步研究，囚禁于光晶格勢阱中的多組分玻色－愛因斯坦凝聚體也逐漸引起人們的興趣，如Sadhan K.Adhikari和Boris A.Malomed等研究了在光晶格中的兩組分玻色－愛因斯坦凝聚體［8－11］及超流玻色－費(fèi)米混合氣體的若干性質(zhì)［12］。

本文主要研究在一維傾斜光晶格勢阱中的兩組分玻色－愛因斯坦凝聚體的矢量孤子解，分別用變分方法［8，12］和數(shù)值模擬方法得到了凝聚體中孤子的空間分布，并將兩種結(jié)果進(jìn)行了比較，然后就不同應(yīng)力對三種孤子的影響進(jìn)行了分析，最后研究了孤子的穩(wěn)定性質(zhì)。

1 物理模型

當(dāng)粒子所處溫度T低于臨界溫度Tc時(shí)，在平均場近似下，兩組分玻色－愛因斯坦凝聚體可以通過兩個(gè)滿足非線性薛定諤方程的宏觀波函數(shù)ψ1，ψ2來描述。我們考慮準(zhǔn)一維的兩組分玻色－愛因斯坦凝聚體模型，其外部有一個(gè)傾斜的周期性光晶格勢阱，ψ1，ψ2滿足如下耦合 Gross-Pitaevskii方程［13－14］：其中m是原子質(zhì)量，L是光晶格的周期，g和g12分別是組分內(nèi)和組分間的相互作用強(qiáng)度，其大小和正負(fù)在實(shí)驗(yàn)中可以通過Feshbach共振技術(shù)來調(diào)節(jié)，當(dāng)g12＞0（g＞0）表示組分間（內(nèi)部）的相互作用為排斥，g12＜0（g＜0）則表示組分間（內(nèi)部）的相互作用為吸引。是一個(gè)傾斜的光晶格勢阱，V0表示勢阱的振幅，F(xiàn)是一個(gè)應(yīng)力，當(dāng)x→∞，滿足｜F｜→0。正是由于應(yīng)力（比如重力、引力）的存在，會(huì)使勢阱出現(xiàn)傾斜，如圖1所示。

Fig.1 Tilted OL potential V（x）＝V 0 cos（2x）＋Fx，with V 0＝－5，F(xiàn)＝0.1圖1 傾斜的光晶格勢阱V（x）＝V 0 cos（2x）＋Fx，其中V 0＝－5，F(xiàn)＝0.1

2 變分近似

2.1 兩個(gè)孤子不分離的情形

本節(jié)我們考慮兩組分凝聚體中孤子不分離的情形，采用如下高斯擬設(shè)：

2.2 兩個(gè)孤子分離的情形

3 數(shù)值模擬

3.1 兩個(gè)孤子不分離的情形

我們用時(shí)間劈裂的方法對方程（2）進(jìn)行數(shù)值求解，得到了典型的對稱不分離和不對稱不分離形式的矢量孤子，并將用數(shù)值模擬得到的孤子空間構(gòu)形和變分方法得到的結(jié)果進(jìn)行了比較，如圖2所示，（a）表示兩個(gè)孤子對稱的情形，即N1＝N2＝N；（b）表示了兩個(gè)孤子不對稱的情形，即N1≠N2.結(jié)果表明，變分方法和數(shù)值方法的結(jié)果吻合得很好。

Fig.2 Symmetric and asymmetric unsplit solitons（a）N 1＝1，N 2＝1，g＝3，g12＝5；（b）N 1＝0.4，N 2＝1.6，g＝1，g 12＝0.5.The black line is the potential well圖2 對稱不分離和不對稱不分離孤子的空間結(jié)構(gòu)圖

在圖2中，所有的凝聚體組分的非線性相互作用系數(shù)都是正的（即相互作用為排斥），下面我們考慮g為負(fù)值，即組分內(nèi)為吸引相互作用的情形。如圖3所示，當(dāng)g取負(fù)值的時(shí)候，變分方法和數(shù)值方法得到的結(jié)果依然吻合得很好。

接下來考慮應(yīng)力的大小對于對稱不分離孤子對的影響，我們將勢阱強(qiáng)度取為V0＝－5，應(yīng)力從F＝0.1開始逐漸增大，發(fā)現(xiàn)應(yīng)力大于F＝1.5時(shí)，孤子解開始出現(xiàn)較為明顯振蕩，不再穩(wěn)定，如圖4（a）所示。在圖4（b）中，我們將勢阱的強(qiáng)度增大到V0＝－10，應(yīng)力從F＝0.5開始逐漸增大，F(xiàn)＝2時(shí)，孤子解開始有明顯振蕩。經(jīng)多組研究，發(fā)現(xiàn)應(yīng)力的大小應(yīng)比勢阱的強(qiáng)度小，需在小于勢阱強(qiáng)度約1／5的情況下，孤子的數(shù)值解同變分近似的結(jié)果才有較好地吻合。當(dāng)應(yīng)力較大的時(shí)候，孤子的空間構(gòu)形會(huì)出現(xiàn)振蕩，孤子不再穩(wěn)定。

3.2 兩個(gè)孤子分離的情形

本節(jié)我們考慮對稱的兩組份玻色－愛因斯坦凝聚體形成的兩個(gè)孤子間有劈裂的情形，兩個(gè)組分的粒子數(shù)N1＝N2。圖5分別給出了組分內(nèi)相互作用為排斥和吸引情況下的結(jié)果，對比發(fā)現(xiàn)，通過變分方法得到的孤子的空間構(gòu)形和數(shù)值結(jié)果同樣吻合得很好。

Fig.3 Symmetric and asymmetric unsplit solitons with attractive interspecies interaction（a）N 1＝1，N 2＝1，g＝－2，g 12＝0.5；（b）N 1＝0.4，N 2＝1.6，g＝－1，g 12＝0.5圖3 組分內(nèi)為吸引相互作用的對稱不分離和不對稱不分離孤子的空間結(jié)構(gòu)圖

Fig.4 Spatial profile of the solitons with different trap strength，when the intertial force change from small to big.（a）V 0＝－5，N 1＝1，N 2＝1，g＝3，g12＝5；（b）V 0＝－10，N 1＝1，N 2＝1，g＝6，g12＝8圖4 不同勢阱強(qiáng)度下，讓應(yīng)力由小逐漸增大時(shí)所對應(yīng)的孤子空間結(jié)構(gòu)

Fig.5 Two symmetric split solitons（a）N 1＝1，N 2＝1，g＝2.5，g 12＝6；（b）N 1＝1，N 2＝1，g＝－2，g 12＝5圖5 兩種對稱分離孤子的空間結(jié)構(gòu)圖

同樣考慮在不對稱不分離和對稱分離兩種情況下，應(yīng)力的大小對孤子對的影響。對比發(fā)現(xiàn)，同圖4對稱不分離的孤子對有相似的結(jié)論，如圖6（a）、圖6（b）所示，應(yīng)力需小于勢阱強(qiáng)度，當(dāng)應(yīng)力小于勢阱強(qiáng)度約1／5，才會(huì)有穩(wěn)定的孤子波形。

Fig.6 Spatial profile of the solitons with increasing intertial force（a）V 0＝－5，N 1＝0.4，N 2＝1.6，g＝1，g 12＝0.5；（b）V 0＝－5，N 1＝1，N 2＝1，g＝2.5，g 12＝6圖6 應(yīng)力由小逐漸變大所對應(yīng)的不對稱不分離和對稱分離孤子對的空間構(gòu)形

需要說明的是圖2，3，4，5，6中所示的變分方法和數(shù)值模擬得到的孤子，都是指束縛在光晶格勢阱的一個(gè)單元中的圖形。

4 穩(wěn)定性分析

前兩節(jié)通過數(shù)值方法和變分方法我們分別得到了傾斜光晶格勢阱中兩組分玻色－愛因斯坦凝聚體中的孤子解，本節(jié)引入強(qiáng)擾動(dòng)來研究其穩(wěn)定性。以圖2a給出的對稱不分離的孤子作為研究對象，將前述所得到的孤子解實(shí)時(shí)演化，在t＝20 s時(shí)，瞬時(shí)乘以一個(gè)擾動(dòng)因子，使ψi（x）→1.1ψi（x），讓其繼續(xù)隨時(shí)演化，結(jié)果如圖7所示，孤波仍然能繼續(xù)穩(wěn)定的傳播。

Fig.7 Evolution of the symmetric unsplit soltions，with N 1＝1，N 2＝1，g＝3，g12＝5，after inducing a strong perturbation to them at t＝20 s，i.e.ψi（x）→1.1ψi（x）.The solitons remain stable圖7 對稱不分離矢量孤子的實(shí)時(shí)演化 其中N 1＝1，N 2＝1，g＝3，g 12＝5，在t＝20 s時(shí)，給波函數(shù)乘以一個(gè)擾動(dòng)因子，ψi（x）→1.1ψi（x），孤子仍能穩(wěn)定的傳播

接下來分別以圖3b，圖5b所示的不對稱不分離及對稱分離的基態(tài)孤子作為研究對象，同樣在其傳播過程中，在t＝20 s時(shí)，將其乘以一個(gè)擾動(dòng)因子，使ψi（x）→1.1ψi（x），讓其繼續(xù)隨時(shí)演化，結(jié)果觀察到新的孤波依然繼續(xù)穩(wěn)定地傳播，如圖8，圖9所示。

Fig.8 Evolution of the asymmetric unsplit soltions with N 1＝0.4，N 2＝1.6，g＝－1，g12＝0.5，after inducing a strong perturbation to them at t＝20 s，i.e.ψi（x）→1.1ψi（x）.The solitons remain stable圖8 不對稱不分離矢量孤子的實(shí)時(shí)演化，N 1＝0.4，N 2＝1.6，g＝－1，g 12＝0.5，在t＝20 s時(shí)，給波函數(shù)乘以一個(gè)擾動(dòng)因子，ψi（x）→1.1ψi（x），仍然穩(wěn)定演化

Fig.9 Evolution of the symmetric split soltions with N 1＝1，N 2＝1，g＝－2，g 12＝5，after inducing a strong perturbation to them at t＝20 s，i.e.ψi（x）→1.1ψi（x）.The solitons remain stable圖9 對稱分離矢量孤子的實(shí)時(shí)演化，其中N 1＝1，N 2＝1，g＝－2，g 12＝5，在t＝20 s時(shí)，給波函數(shù)乘以一個(gè)擾動(dòng)因子，ψi（x）→1.1ψi（x），繼續(xù)穩(wěn)定演化

5 結(jié)論

本文主要研究了在準(zhǔn)一維傾斜的光晶格勢阱中的兩組分玻色－愛因斯坦凝聚體的孤子解，分別通過變分方法和數(shù)值方法得到了對稱不分離、對稱分離和不對稱不分離三種不同空間分布的矢量孤子，并將兩種方法得到的結(jié)果進(jìn)行比較。然后分析了不同應(yīng)力對孤子解的影響，發(fā)現(xiàn)只有當(dāng)應(yīng)力比勢阱的強(qiáng)度小，大約在勢阱強(qiáng)度的1／5以下，才會(huì)有穩(wěn)定的孤子解。進(jìn)而分別以三種類型的矢量孤子為研究對象，通過在孤子實(shí)時(shí)演化中，瞬時(shí)乘以一個(gè)擾動(dòng)因子的方法對孤子的穩(wěn)定性進(jìn)行研究，研究表明，上述三種不同類型的矢量孤子都是穩(wěn)定的。

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