孫 帥，李智斌，田科豐

(1.北京控制工程研究所，北京100190;2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190)

0 引言

平流層飛艇的上升與返回過(guò)程是目前飛艇研究領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn).如何使大型飛艇不依靠其他輔助工具(如降落傘等)，以一種保證外形恒定，保證安全的方式從平流層駛回地面并且精確返場(chǎng)，是目前國(guó)內(nèi)外研究中的一大難題.

在平流層飛艇研究的相關(guān)文獻(xiàn)中，對(duì)飛艇返回過(guò)程軌跡規(guī)劃問(wèn)題關(guān)注較少;而在已有研究上升過(guò)程軌跡規(guī)劃問(wèn)題的文獻(xiàn)中，文獻(xiàn)［1］中飛艇建模過(guò)程中只考慮了飛艇依靠浮力上升，忽略了氣動(dòng)力的作用;文獻(xiàn)［2］中的飛艇模型假令質(zhì)量隨高度變化，在任意位置與飛艇的浮力平衡，但未考慮內(nèi)外壓差變化對(duì)飛艇外形的影響.本文根據(jù)飛艇氣囊內(nèi)外保持恒定壓差的假設(shè)，利用浮力、氣動(dòng)力對(duì)飛艇進(jìn)行操縱，建立了一種全新的飛艇三維運(yùn)動(dòng)模型.

同時(shí)，航跡規(guī)劃問(wèn)題是飛艇返回過(guò)程制導(dǎo)控制研究的基礎(chǔ).傳統(tǒng)的航跡規(guī)劃問(wèn)題主要是以直接打靶法代表的直接法和基于Hamilton方程的間接法.而近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的高斯偽譜法以其收斂速度快，精度高，逐漸被廣泛采用于飛行器航跡規(guī)劃研究中.

本文基于高斯偽譜法設(shè)計(jì)了飛艇返回過(guò)程時(shí)間最短和燃料消耗最優(yōu)的準(zhǔn)則下的參考航跡，同時(shí)考慮了大氣密度溫度狀態(tài)，以及不同高度風(fēng)場(chǎng)的變化，有一定的工程參考價(jià)值.

1 飛艇模型的建立

1.1 模型總體參數(shù)設(shè)計(jì)

本文中采用文獻(xiàn)［2-3］所用的飛艇模型，其中艇長(zhǎng)為l=200 m，氣囊直徑d=500 m，氣囊總體積Uh=263 746 m3.

值得說(shuō)明的是，文獻(xiàn)［2］將飛艇的工作高度與壓力高度設(shè)置為相同值，本文為確保安全，給飛艇高度控制留出一定裕量，在研究中將目標(biāo)高度設(shè)置為21 km，略低于壓力高度24 km.

另外，在文獻(xiàn)［3］中將最大速度限設(shè)定為20 m/s，但其在仿真過(guò)程中速度已經(jīng)超過(guò)速度限，并且從經(jīng)驗(yàn)來(lái)看飛艇的速度即使達(dá)到35 m/s是完全正常的.故本文在研究中將速度限設(shè)定為

30 m/s.

1.2 建立坐標(biāo)系

首先定義4個(gè)坐標(biāo)系［4］:

1)艇體坐標(biāo)系:原點(diǎn)取在飛艇質(zhì)心(航跡研究中考慮壓心、質(zhì)心重合);Ox1軸與艇體縱軸重合，指向頭部為正;Oy1軸位于艇體縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，與Ox1軸垂直，指向上為正;Oz1軸垂直于Ox1y1平面，方向按右手法則確定.

2)航跡坐標(biāo)系:原點(diǎn)位于飛艇質(zhì)心;Ox2與飛艇速度矢量方向V重合;Oy2軸位于包含速度矢量V的鉛垂面內(nèi)，垂直于Ox2軸，指向上為正;Oz2軸垂直于其他兩軸并構(gòu)成右手系，在航跡系中的速度為V2.

3)速度坐標(biāo)系:Ox3軸與飛艇質(zhì)心的速度矢量V重合;Oy3軸位于艇體向?qū)ΨQ平面內(nèi)與Ox3垂直，指向上為正;Oz3垂直于Ox3y3平面，與兩軸構(gòu)成右手系.

4)地面坐標(biāo)系:原點(diǎn)A選在放飛起點(diǎn)上;Ax軸沿水平面指向目標(biāo)點(diǎn)，Ay軸沿垂線向上;Az軸與其他兩軸垂直并構(gòu)成右手系.

需說(shuō)明的一點(diǎn)是，下文中變量角標(biāo)帶數(shù)字的即說(shuō)明該變量定義在對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系內(nèi).

定義攻角α，側(cè)滑角β，為速度矢量V在艇體對(duì)稱平面內(nèi)與體軸Ox1的夾角和速度矢量與艇體縱向?qū)ΨQ平面的夾角.

定義航跡傾角θ，為飛艇速度矢量V與水平面間的夾角.速度矢量在水平面上方為正.航跡偏角為ψV，是速度矢量V在水平面中投影與地面系A(chǔ)x的夾角.

1.3 大氣及風(fēng)場(chǎng)模型的建立

采用標(biāo)準(zhǔn)大氣模型［5］可知0～30 km任意高度大氣的溫度和氣壓值，再通過(guò)理想氣體狀態(tài)方程，得到大氣密度.

風(fēng)場(chǎng)模型采用文獻(xiàn)［3］中北半球某地秋季的風(fēng)場(chǎng)數(shù)據(jù)，經(jīng)過(guò)多項(xiàng)式擬合，得到

式中，we為風(fēng)速Vw東向分量，wn為北向分量，利用正態(tài)化方法得到標(biāo)準(zhǔn)高度=(h-μd)/σd，正態(tài)化參數(shù) μd=12 135，σd=902 2，h為飛艇距海平面垂直高度.

在海拔高度8～16 km東風(fēng)的風(fēng)速達(dá)到30 m/s以上，已經(jīng)基本接近于飛艇的最大允許速度，這對(duì)飛艇的制導(dǎo)控制造成了很大的不便，所以設(shè)計(jì)出一條滿足各項(xiàng)約束的返回軌跡就顯得尤為重要.

1.4 飛艇質(zhì)心運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型的建立

方程中各量角標(biāo)均對(duì)應(yīng)1.2節(jié)中坐標(biāo)系.根據(jù)速度的合成與分解，對(duì)于航速矢量V，有

考慮到風(fēng)速也是在地面慣性系下研究，而飛艇的速度則是在航跡坐標(biāo)系下，所以需將飛艇的速度投影到慣性坐標(biāo)系中得到

此時(shí)認(rèn)為氣流沒(méi)有垂直方向的運(yùn)動(dòng)，H(θ，ψV)為速度系到地面系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，得到

同時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律

式中Ω為航跡坐標(biāo)系相對(duì)地面系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，m為飛艇總質(zhì)量，其中合外力F如下所示:

式中G、B、A3和T2分別為重力，浮力，氣動(dòng)力和推力.因?yàn)槭芰η闆r在航跡坐標(biāo)系中研究，所以須將上式中的量投影到航跡坐標(biāo)系中.

在航跡坐標(biāo)系下，有Ω×V2=VΩz2j2-VΩy2k2，根據(jù)航跡坐標(biāo)系與地面慣性系的轉(zhuǎn)換關(guān)系，有Ω=，其中j2、k2為單位向量

dVw項(xiàng)是在地面慣性系中，可以利用慣性系到航跡坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換陣將其投影到航跡坐標(biāo)系，有

重力G與浮力B均在地面慣性系中，按照坐標(biāo)系相對(duì)關(guān)系，有

氣動(dòng)力A3表示在飛艇速度系中，當(dāng)不考慮速度系與航跡系的夾角速度傾斜角以及氣動(dòng)產(chǎn)生的側(cè)向力時(shí)，速度系與航跡坐標(biāo)系重合，于是有

式中，L為氣動(dòng)升力，D為氣動(dòng)阻力.

同理，螺旋槳推力T表示在航跡坐標(biāo)系中有

H(α，β)為本體系到速度系的轉(zhuǎn)換矩陣，同時(shí)在飛艇研究中，認(rèn)為飛艇的速度系與航跡坐標(biāo)系重合，則H(α，β)也為本體系到飛艇航跡坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換陣.

飛艇在下降過(guò)程中為了維持氣囊內(nèi)外恒定壓差，則需不斷吸入空氣.此時(shí)飛艇質(zhì)量會(huì)發(fā)生很大變化，有壓強(qiáng)關(guān)系

其中內(nèi)外壓差ΔP=300 Pa且飛艇內(nèi)沖入的氦氣質(zhì)量是一定的，同時(shí)認(rèn)為飛艇內(nèi)部氣囊與外界大氣熱量交換足夠快，氣囊內(nèi)外氣體溫度一致，應(yīng)用理想氣體狀態(tài)方程，氦氣體積為

其中Temp(h)為不同高度上的大氣溫度，R氦為狀態(tài)常數(shù).

飛艇總體積一定，則空氣體積可以得到U空氣=Uh-U氦，則可以得到氣囊中空氣質(zhì)量

從而可以得到飛艇質(zhì)量隨高度變化的關(guān)系式

式中ms為飛艇中氣體以外的固定質(zhì)量.

綜合以上結(jié)果，可得

因?yàn)轱w艇內(nèi)部充滿大量氣體，其在大氣中運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的附加質(zhì)量效應(yīng)不能忽略，在上式中有［2］

2 優(yōu)化問(wèn)題的建立與求解

根據(jù)以上假設(shè)與推導(dǎo)建立了一類飛艇三維運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型;根據(jù)此模型，將研究飛艇返回過(guò)程的航跡規(guī)劃.軌跡規(guī)劃問(wèn)題可看作一個(gè)非線性規(guī)劃問(wèn)題來(lái)求解［2-3，6-7］，其中規(guī)劃目標(biāo)為燃料消耗最省或時(shí)間最優(yōu).其性能指標(biāo)函數(shù)分別為

式中:u=［αTβ］T為飛艇的控制輸入，其中α、T和β分別為瞬時(shí)平衡［4］的攻角、螺旋槳推力和側(cè)滑角;A為控制量功率消耗加權(quán)陣;t0，tf分別為返回過(guò)程的初始時(shí)刻和末時(shí)刻.

考慮動(dòng)力學(xué)的微分約束，利用辛普森公式將微分約束離散化

初始狀態(tài)為

考慮邊界約束與末端約束

再利用基于Matlab的GPOPS工具包，進(jìn)行數(shù)值求解.

3 仿真結(jié)果分析

對(duì)于能耗最優(yōu)回收模式，對(duì)應(yīng)仿真結(jié)果為圖1和圖2，設(shè)定燃料消耗指標(biāo)為式(19)，其中

因?yàn)閡中第1，3項(xiàng)攻角和側(cè)滑角的變化可以認(rèn)為是升降舵和方向舵的舵面操縱，且變化速度較慢，能耗較小;而第二項(xiàng)為飛艇主推螺旋槳，考慮需要耗費(fèi)較大的電能，所以加權(quán)值較大.

可將飛艇回收軌跡按任務(wù)時(shí)間可分為以下3個(gè)模式階段:

1)水平巡航階段(0～6 000 s):飛艇在21 km平流層高度，向東飛行45 km，向南飛行16 km.在起始階段飛艇沿北風(fēng)順風(fēng)飛行約4 km，隨即逆風(fēng)向南飛行.在此階段飛艇推力，以及攻角、速度均保持在一個(gè)恒定值.此階段主要是為穿越強(qiáng)風(fēng)帶，并且能夠到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)留出足夠多的空間裕量.

圖1 能耗最優(yōu)條件下飛艇狀態(tài)分析(高度h，航速v，攻角α，推力T)Fig.1 The airship states under the optimal fuel consumption(height h，velocity v，attack angle α，thrust T)

圖2 能耗最優(yōu)條件下飛艇三維航跡Fig.2 The 3-D Trajectory of airship under the optimal fuel consumption

2)快速穿越階段(6 000～9 000 s):飛艇從21 km到達(dá)4 km左右高度，其中快速穿越了8～18 km附近很強(qiáng)的東風(fēng)帶，穿越過(guò)程中飛艇順風(fēng)朝向東北方飛行，在此過(guò)程推力值及攻角不斷增大.隨攻角由負(fù)值變向正值的過(guò)程，飛艇下降速度由快到慢.

3)尋的調(diào)整階段(9 000 s～tf):在此過(guò)程中，飛艇推力和攻角變化較為劇烈，不斷調(diào)整航速以及航跡傾角與偏角，達(dá)到目標(biāo)值.

對(duì)于時(shí)間最優(yōu)回收過(guò)程，仿真結(jié)果對(duì)應(yīng)圖3和圖4.其指標(biāo)函數(shù)為式(19).以任務(wù)時(shí)間來(lái)劃分，時(shí)間最優(yōu)飛艇回收過(guò)程軌跡可分為兩個(gè)階段.

1)巡航調(diào)整階段(0～1 000 s):飛艇在21 km高空逆風(fēng)巡航飛行，飛艇推力保持在一個(gè)比較高的量級(jí)(＞5 kN)，使得飛艇一直在最大航速運(yùn)行.

2)快速下降階段(1 000～3 700 s):飛艇順風(fēng)飛行，并且推力保持在最大值，不斷調(diào)整攻角，以調(diào)整航速，最終達(dá)到目標(biāo)狀態(tài).

圖3 時(shí)間最優(yōu)條件下飛艇狀態(tài)(高度h，航速v，攻角α，推力T)Fig.3 The airship states in the timing optimal process(height h，velocity v，attack angle α，thrust T)

圖4 時(shí)間最優(yōu)狀態(tài)飛艇三維航跡Fig.4 The 3-D Trajectory of airship in the fuel consumption optimal process

4 結(jié)論

綜上所述，在采用浮力與氣動(dòng)力復(fù)合控制方法下的定壓飛艇的航跡較為類似，均在平流層巡航一段距離，然后以較大的速度順風(fēng)穿越激流區(qū).最后到達(dá)目標(biāo)狀態(tài).這也給工程實(shí)踐帶來(lái)一定啟示.特別是燃耗最優(yōu)的軌跡設(shè)計(jì)中，在高空階段飛艇推力值要求較小，這對(duì)全電飛艇主推螺旋槳的選取提供方便，能夠很好地結(jié)合工程實(shí)踐.

在以后的工作中，可以進(jìn)一步對(duì)壓差變化的動(dòng)態(tài)過(guò)程進(jìn)行考慮，另外大氣溫度的變化也可更加細(xì)化的體現(xiàn)在模型中，從而設(shè)計(jì)出更具有實(shí)踐參考價(jià)值的飛艇航跡.

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