連四清，佘 巖，王 欣

（首都師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100048）

1 問題提出

研究者經(jīng)常觀察到學(xué)生通過考察教材或教師提供的有解答步驟的例題來獲得新問題的解答，或者翻看自己已經(jīng)解決過的問題來獲得新問題的解答．這種應(yīng)用學(xué)習(xí)過的有解樣例或解決過的問題來獲得新問題解決的過程，稱為類比遷移過程．其中，有解答的樣例或已解決過的問題稱為源問題，而要解決的新問題稱為靶問題．

自20世紀90年代開始，研究者開始關(guān)注數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的類比遷移問題，主要探索源問題和靶問題的相似性如何影響類比遷移的過程．通常情況下，研究者將源問題信息劃分為表面信息和結(jié)構(gòu)信息，其中表面信息是指涉及的事物、情節(jié)、形式等信息，而結(jié)構(gòu)信息是指問題解決涉及的內(nèi)在的原理和關(guān)系[1~3]．如，解決問題過程中應(yīng)用的數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)方法等都屬于數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)信息，而與此無關(guān)的信息都是表面信息．在問題相似性的劃分方法上，研究者基本上沿用了非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的問題的相似性分類方法，即將源問題和靶問題相似性劃分為表面相似（surface similarity）和結(jié)構(gòu)相似性（structure similarity）[1~4]．問題的表面特征是指這種特征的變化不會影響問題內(nèi)在原理的應(yīng)用，而結(jié)構(gòu)特征是指這種特征的變化將影響到問題的解決過程中應(yīng)用的原理，相似性就是指這些特征之間的關(guān)系[2]．如果特征相同，則稱相似；如果這些特征不同，則稱不相似．

Ross等人首先對排列組合問題的表面特征進行了更細致的分解，揭示了排列組合問題的表面特征如何影響源問題的選取和匹配過程[1，5~7]．之后，莫雷[8]等人對工效問題和運輸問題的表面特征進行了更加細致的分解，如將表面特征進一步分解為事件屬性和事件類型，實驗結(jié)果表明：靶問題的事件屬性發(fā)生較大變化，尤其是發(fā)生相反變化時，表面特征的相似性對原理的運用會產(chǎn)生明顯的影響．這種影響體現(xiàn)在被試按照樣例的對應(yīng)模式形成運用原理的定勢上．因此，當源問題和靶問題的對象對應(yīng)相似或一致時，表面特征就會促進類比遷移，而對象對應(yīng)不一致時，就會起干擾作用．之后，系列研究通過細化表面特征來探索影響類比遷移的因素[9~11]．在樣例變異性研究中，研究者也應(yīng)用這種特征是否相似來操作樣例的變異性[11~13]．

寧寧和喻平（2010）探索了用解題步驟來刻畫源問題和靶問題相似性的操作方法，即用解題步驟的相似性來衡量樣例變異水平的高低，結(jié)果表明：對近遷移而言，樣例的變異性水平對其影響不大，但對于中等遷移和遠遷移而言，樣例的變異水平有顯著影響[14]．這是一種有價值的嘗試，也是一次新的探索．其實，文字問題（或應(yīng)用題）與純數(shù)學(xué)問題（或非文字問題）的特征有較大差異，如應(yīng)用題往往有背景，或者事件等與其所蘊含的數(shù)學(xué)關(guān)系或結(jié)構(gòu)無關(guān)，如工程問題、行程問題表明的都是數(shù)學(xué)關(guān)系“c=a×b”，但是對工程完成和行程的過程及情境都是表面的．然而，與文字問題不同，純數(shù)學(xué)問題中更多地應(yīng)用符號語言或圖形語言來描述數(shù)學(xué)關(guān)系．有時候符號的變化并不必然帶來解法、公式應(yīng)用或步驟變化，也并不必然干擾原來方法的實施．如，方程中的系數(shù)是表面的還是結(jié)構(gòu)的？就十字相乘法而言，若將“ - 1”改為“ - 1 9 99”，十字相乘法就很難實施；但是如果將其改為“ - 5 ”，十字相乘法仍然可以實施．但是就求根公式而言，系數(shù)的改變只有改變方程是否有實根，以及求根運算的復(fù)雜性，并不干擾方法的遷移．也就是說，有時候教師很難區(qū)分問題的表面特征和結(jié)構(gòu)特征．為此，研究者嘗試抽取一元二次不等式的一些特征，應(yīng)用特征的相似性來刻畫源問題和靶問題的相似性，從而探索一元二次不等式的特征是否影響其解法的遷移．

2 實驗方法

被試：從北京市市區(qū)某一普通高中學(xué)校一年級（共240人）按學(xué)優(yōu)生、學(xué)中生和學(xué)困生3個層次進行分層隨機抽樣68人作為被試．實驗前，被試學(xué)習(xí)過二次函數(shù)，一元二次方程有關(guān)知識，但是沒有學(xué)習(xí)過一元二次不等式及其解法等有關(guān)知識．

材料：實驗材料有一元二次不等式及其解法的學(xué)習(xí)材料和測試材料兩種．其中，學(xué)習(xí)材料由一個例題“解一元二次不等式：2x2-3x-2＞0”，詳細解答步驟，說明二次函數(shù)和不等式之間關(guān)系及其圖象，并就一元二次不等式解法的步驟進行小結(jié)．如“解一元二次不等式，要結(jié)合二次函數(shù)圖象，既要考慮開口的方向，又要通過判別式考查函數(shù)與x軸交點的個數(shù)，從而寫出不等式的解集．”測試材料有甲乙兩種，甲種是由12道如“的不等式組成，乙種是由 12道如“的不等式組成．在兩種測試材料中，2（兩種二次系數(shù)的正負情況：（3種判別式值的類型：等6種問題特征組合中的每一種特征的不等式有兩個．如，不等式“- x2+x-2＞0”是測試材料甲中的問題，其特征為“二次項系數(shù)a＜0”、“判別式Δ<0”．用拉丁方安排每種測試材料中的數(shù)學(xué)題順序以控制順序效應(yīng)．

程序：學(xué)生用學(xué)習(xí)材料學(xué)習(xí)如何解一元二次不等式，10分鐘后主試將學(xué)習(xí)材料回收．之后，主試將測試材料隨機分配給被試，要求被試在30分鐘內(nèi)完成求解一元二次不等式的解集的問題．其中，解決測試材料甲中的被試36人，乙中有32人．

評分標準：解二次不等式分3步：判斷二次項系數(shù)正負，求判別式，判斷根的情況和求根，畫出草圖并觀察草圖得到二次不等式解集．為了考察被試能否應(yīng)用上述步驟，評分標準如下：能夠判定二次項系數(shù)正負2分，計算判別式的給3分，能夠判斷實根個數(shù)情況和求出一元二次方程的根3分，畫出對應(yīng)二次函數(shù)草圖并寫出解集（或?qū)懗霾坏仁剑┑慕o2分，每題共計10分，滿分120分．因判別式和求根計算錯誤影響后續(xù)解題步驟和答案不扣分，以考察解二次不等式的方法的遷移程度．以被試在具有這些特征的不等式遷移成績的平均分計算被試內(nèi)變量組合對應(yīng)的因變量，最高分10分．

3 實驗結(jié)果

對數(shù)據(jù)進行處理之前，以兩個具有同樣特征的遷移成績的平均值作為因變量數(shù)據(jù)．兩種不等式類型（大于零和小于零）、兩種二次項系數(shù)的正負情況（a>0，a<0）、3種判別式值的類型（Δ>0，Δ<0，Δ=0）特征的一元二次不等式解法的遷移成績進行描述性統(tǒng)計，結(jié)果如表1所示．

表1 問題遷移得分描述性統(tǒng)計結(jié)果

對遷移成績進行2（兩種不等式類型：大于零和小于零）×2（兩種二次項系數(shù)的正負情況：a>0，a<0）×3（3種判別式值的類型：Δ>0，Δ<0，Δ=0）重測方差分析，其中兩種不等式類型為被試間因素，兩種二次項系數(shù)和3種判別式值均為被試內(nèi)因素．結(jié)果表明：（1）不等式類型的主效應(yīng)不顯著（F(1, 66)=0.024，p=0.876），這說明：兩種不等式類型上的遷移沒有顯著差異．（2）二次項系數(shù)主效應(yīng)不顯著（F(1, 66)=2.809，p=0.098>0.05）．這說明：二次項系數(shù)大于0還是小于0對二次不等式解法遷移沒有顯著影響；二次項系數(shù)與不等式類型兩因素交互作用不顯著（F(1, 66)=2.264，p=0.13705.0＞）．（3）判別式主效應(yīng)不顯著（F(2, 132)=0.304，p=0.738>0.05）．這說明，判別式對二次不等式解法遷移沒有顯著影響；判別式與不等式類型兩因素交互作用處于邊緣水平（F(2, 132)=3.044, p=0.051），這說明，判別式與不等式類型在一定程度上交互影響解法的遷移．（4）二次項系數(shù)、判別式交互效應(yīng)顯著（F(2, 132)=5.321，p=0.006<0.05）．這說明：二次項系數(shù)的正負和判別式交互影響一元二次不等式的解法的遷移；（5）二次系數(shù)、判別式與不等式類型三因素交互作用顯著（F(2, 132)=3.599，p=0.030）．這說明，二次項系數(shù)、判別式、判別式類型共同交互影響一元二次不等式解法的遷移．

表2 遷移成績的2×2×3重測方差分析結(jié)果

進一步分析表明：就不等式 a x2+ b x+c＞0而言，在Δ>0和Δ=0的條件下，解法在a＞0與a＜0的二次不等式上的遷移成績沒有顯著差異a＞0的不等式解法的遷移成績顯著低于說明，對于不等式 a x2+ b x+c＞0而言，解法遷移到“解集為Φ的不等式”上較遷移到“解集為R的不等式”上更為困難．對于不等式 a x2+ b x+c＜0而言，在Δ>0和Δ=0的條件下，二次項系數(shù)的正負不影響方法的遷移的條件下，a＞0條件下的不等式遷移成績顯著高于a＜0的遷移成績（F(1, 35)=7.30，p<0.05），這說明：對于不等式ax2+ b x+c＜0而言，將解法遷移到“解集為Φ的不等式”上較遷移“解集為 R的不等式”上更為困難．總的來說，無論是 a x2+ b x+c＞0還是 a x2+ b x+c＜0，不等式類型、二次項系數(shù)和判別式的三因素交互作用體現(xiàn)在一元二次不等式解法遷移較容易遷移到“解集為 R的不等式”上，而遷移到“解集為Φ的不等式”則更為困難，其他解集類型的不等式的遷移沒有顯著差別．

4 討 論

實驗發(fā)現(xiàn)：二次不等式類型、二次系數(shù)和判別式等 3個特征的主效應(yīng)均不顯著，而在3個因素中，不等式類型與判別式，二次項系數(shù)與判別式等兩個兩因素的交互作用、以及三因素交互作用顯著．這說明，3個因素對二次不等式解法的遷移的影響并不是彼此獨立的．進一步分析表明，在兩種不等類型（ a x2+ b x+c＞0和ax2+ b x+c＜0）中，二次項系數(shù)和判別式對不等式解法的遷移產(chǎn)生了不同的影響，這種影響具體表現(xiàn)在：第一，解集為 ( m , n)（ m ＜ n ）型或(-∞, m) ∪(n,+∞)型，二次項系數(shù)的正負、判別式與零的大小關(guān)系對解法遷移沒有顯著影響．也就是在學(xué)習(xí)了不等式ax2+ b x+c＞0（a＞0，Δ>0）后，學(xué)生可以將解法遷移到除不等式 a x2+ b x+c＞0（或 a x2+ b x+c＜0）解集為Φ的情形之外的其他情形中；第二，相比較解集為 R集的不等式而言，解法更難遷移到解集為Φ的不等式上．這些結(jié)果說明，在二次不等式解法遷移的過程中，二次不等式的二次項系數(shù)、判別式的正負和不等式類型在不等式解集為Φ的條件下影響到方法遷移，而其他條件下這些不等式的特征不影響解法的遷移．

研究者認為：相比較而言，二次不等式的解法遷移到“解集為Φ的二次不等式上”并不能直接得到問題的解答，而需要對解法的某些步驟進行更為精細的加工．如，結(jié)合二次函數(shù) f ( x)= a x2+bx+c圖象，歸納概括得到“沒有實數(shù)滿足不等式 a x2+ b x+c＜0”，解集和空集概念得到不等式解集為Φ等．相反，當a＞0，Δ<0時，二次函數(shù)圖象在x軸上方，觀察圖象，被試能夠“看”出“不等式解集為R”．因此，當不等式的解集為R時，解法遷移會更容易．

顯然這里的研究結(jié)果部分支持“靶問題和源問題越相似，則源問題的解法遷移到靶問題的效果越好”的結(jié)論[1~10]．按照劃分表面特征和結(jié)構(gòu)特征的理論觀點，不等式類型、二次項系數(shù)和判別式是表面特征，或者是結(jié)構(gòu)特征，二者只居其一．這些特征要么對遷移沒有影響，要么有顯著影響，其交互性體現(xiàn)在特征越相似其遷移效果越好，越不相似遷移效果越差．但是，不等式類型、二次項系數(shù)和判別式對解法的遷移都沒有產(chǎn)生非常顯著的影響，但是它們存在顯著的三因素交互作用．因此，這里的研究結(jié)果并不完全支持與已有的觀點．

其實，在純數(shù)學(xué)問題（非文字問題或應(yīng)用題）中，很難把問題的特征歸結(jié)于表面特征還是結(jié)構(gòu)特征．如，對于數(shù)學(xué)問題“已知等比數(shù)列 {an}， a1+ a2+a3=3，a4+ a5+a6=-81，求lim Sn”．解決這個問題時，可以列出

n → ∞

關(guān)于等比數(shù)列首項和公比的方程組，即

5 結(jié) 論

二次不等式類型、二次系數(shù)和判別式等3個特征的主效應(yīng)均不顯著，而在3個因素中，不等式類型與判別式，二次系數(shù)與判別式等兩個兩因素的交互作用、以及三因素的交互作用顯著．這說明，在解集為Φ的不等式上，3個因素共同干擾了解法的遷移．

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