梁雪峰，郭 振，田俊紅

（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水 741001）

引 言

(約定y(0)=y,是排列數(shù)=1），它的系數(shù)是負(fù)五次冪函數(shù)與排列數(shù)的乘積，而且是正負(fù)相間的，故稱其為含有負(fù)五次冪與排列數(shù)的交錯(cuò)級(jí)數(shù)型線性微分方程，也可表示為

文獻(xiàn)[1-4]對(duì)含有負(fù)二次冪、負(fù)三次冪及負(fù)四次冪與排列數(shù)的交錯(cuò)級(jí)數(shù)型線性微分方程的解法進(jìn)行了探討，化為可逐次積分的線性微分方程進(jìn)行求解。受以上工作啟示，文中給出了求方程(1)的通解的方法，同時(shí)舉例介紹了它的應(yīng)用.

1 主要定理

為求線性微分方程(1)的解，先證明看以下定理.

證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明.

（1）當(dāng)n=1時(shí)，因?yàn)?/p>

所以n=1時(shí)等式成立.

又因?yàn)?/p>

亦即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.

綜上所述，對(duì)任意的自然數(shù)n等式均成立.

因此，就可用此定理將這類線性微分方程轉(zhuǎn)化為一類可以逐次求積分的的線性微分方程.

定理2線性微分方程

兩邊逐次求積即可得證.

2 應(yīng)用舉例

再兩邊求積分，得

例2求微分方程

由定理1可化為

因此，所求通解為

[1]孫長(zhǎng)軍.一類可化為逐次積分的n階線性微分方程的解法[J].河北理工學(xué)院學(xué)報(bào),2004,26(3):79-82.

[2]孫長(zhǎng)軍.負(fù)二次冪函數(shù)與排列數(shù)的交錯(cuò)級(jí)數(shù)型線性微分方程[J].山東理工大學(xué)學(xué)報(bào),2004,18(5):86-89.

[3]孫長(zhǎng)軍.負(fù)三次冪函數(shù)與排列數(shù)的交錯(cuò)級(jí)數(shù)型線性微分方程[J].河北理工學(xué)院學(xué)報(bào),2005,27(3):88-91.

[4]孫長(zhǎng)軍.負(fù)四次冪函數(shù)與排列數(shù)的交錯(cuò)級(jí)數(shù)型線性微分方程[J].成都大學(xué)學(xué)報(bào),2006,25(3):12-15.

[5]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,1999.

[6] 王高雄,周之銘,朱思銘,王壽松.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2006.