陳建平，黃偉希，許春曉

（清華大學 航天航空學院，北京 100084）

低亞聲速和跨聲速矩形柱繞流的大渦模擬研究

陳建平，黃偉希，許春曉

（清華大學 航天航空學院，北京 100084）

采用基于非結構網(wǎng)格的有限體／有限元混合格式和大渦模擬的方法求解可壓縮Navier-Stokes方程，研究了不同長寬比矩形柱低亞聲速和跨聲速繞流的流動特性。在雷諾數(shù)為22000時，對來流馬赫數(shù)等于0．1和0．75，截面長寬比分別為1∶1、2∶1、3∶1和4∶1的矩形柱繞流進行了大渦模擬，以研究長寬比和壓縮性對矩形柱繞流流場的影響。馬赫數(shù)為0．1時，Strouhal數(shù)隨著長寬比的增大先降低再增大然后再降低；長寬比為3∶1和4∶1時會有流動的再附產生；柱體上表面的三維特性在長寬比大時更明顯。馬赫數(shù)為0．75時，Strouhal數(shù)隨著長寬比的增大逐漸減小；湍流脈動和渦脫落受到抑制；方柱的近尾跡區(qū)域，有兩種形成機制不同的局部超聲速區(qū)。

湍流；低亞聲速；跨聲速；大渦模擬；矩形柱

0 引 言

鈍體繞流包含豐富的物理現(xiàn)象，例如在低馬赫數(shù)范圍內存在流動的分離和再附、剪切層的失穩(wěn)和轉捩、周期性的渦脫落以及尾跡的發(fā)展；跨聲速范圍內會出現(xiàn)激波和渦、剪切層以及尾跡等的相互作用，尾跡中還會形成局部超聲速區(qū)。對這些典型流動現(xiàn)象的研究不僅具有明確的科學意義，也有很高的工程價值。

作為兩種基本的鈍體幾何形狀，圓柱和矩形柱的繞流問題得到了大量的實驗和數(shù)值研究。對于圓柱情形，不可壓縮和可壓縮繞流兩方面的研究都比較充分，但針對矩形柱繞流的研究目前還僅限于不可壓縮或者低馬赫數(shù)的情形。Lyn等［1］利用水洞實驗對雷諾數(shù)為21400的方柱繞流的流場做了全面的測量，為數(shù)值模擬方法的驗證提供了參考。Grigoriadis等［2］采用浸沒邊界方法對方柱繞流進行了數(shù)值模擬，得到了比較準確的Strouhal數(shù)以及不同位置處的速度剖面。謝志剛等［3］采用有限體／有限元混合方法對雷諾數(shù)為22000、馬赫數(shù)為0．1的方柱繞流進行了大渦模擬，亞格子模式采用渦粘和渦擴散模式，并且將低馬赫數(shù)預處理方法應用到了非定常流動的數(shù)值模擬中，數(shù)值模擬得到的回流區(qū)長度、恢復速度以及脈動量較以往的數(shù)值模擬結果都有較大改進。鄧小兵等［4］利用虛擬壓縮方法對三維方柱不可壓縮繞流進行了大渦模擬，將雷諾數(shù)為22000時的主渦脫落頻率、分離區(qū)長度、平均升力和平均阻力與實驗數(shù)據(jù)做了對比，得到了較為滿意的結果。Nakaguchi等［5］實驗研究了不同雷諾數(shù)和不同長寬比的不可壓矩形柱繞流的流動特性，結果顯示在長寬比為0．6時，阻力系數(shù)達到最大值，長寬比為2．8時渦脫落頻率不連續(xù)，該實驗結果被后續(xù)的一系列相關研究［6-10］所證實。Bruno等［11］采用大渦模擬方法研究了長寬比為5∶1的矩形柱繞流特性，觀察到了柱體上表面發(fā)生流動分離和再附以及遠離前緣點的上表面渦結構的三維特性。

下面介紹一下目前關于圓柱跨聲速繞流的實驗和數(shù)值研究。Murthy＆Rose［12］，Macha［13］和Rodriguez［14］實驗研究了雷諾數(shù)為105量級的圓柱跨聲速繞流，結果表明流場中存在一些激波結構，跨聲速范圍內隨著馬赫數(shù)的增大阻力上升，馬赫數(shù)高于0．9時周期性渦脫落消失。Miserda＆Leal［15］采用有限體積法計算了二維可壓縮的Navier-Stokes方程，對來流馬赫數(shù)為0．8的圓柱繞流進行了數(shù)值模擬，主要研究了圓柱的受力和圓柱周圍的流場結構。由于實驗時非定常的數(shù)據(jù)測量存在一定的困難，而數(shù)值研究大都求解歐拉方程，沒有流場結構的細致分析，因此還有很多流動物理機制有待探索。Xu等16采用大渦模擬方法求解了三維的可壓縮N-S方程，研究了不同馬赫數(shù)下圓柱跨聲速繞流的流動特性，其研究表明，在跨聲速范圍存在一個臨界馬赫數(shù)（該馬赫數(shù)約為0．9），當來流馬赫數(shù)小于臨界馬赫數(shù)時，流動為非定常狀態(tài)；當來流馬赫數(shù)大于臨界馬赫數(shù)時，流動為準定常狀態(tài)。通過對這兩種不同流動狀態(tài)的流動特性和相關物理機理的分析，研究了局部超聲速區(qū)的形成機制、湍流剪切層的演化特性和不穩(wěn)定性以及流場的湍流特性和渦結構等。矩形柱與圓柱繞流的不同點在于矩形柱是固定點分離，針對矩形柱跨聲速繞流的流動特性還有待研究。

本文中，我們采用基于非結構網(wǎng)格的有限體／有限元混合格式和大渦模擬方法，對低亞聲速和跨聲速條件下的可壓縮矩形柱繞流開展研究。我們主要關注矩形柱繞流的統(tǒng)計量、流動的分離和再附以及三維渦結構等，分別對低亞聲速和跨聲速情況下的流動特性作了分析，在跨聲速情況下我們還考察局部超聲速的形成及其物理機理。

1 控制方程和數(shù)值方法

1.1 控制方程

我們考慮可壓縮流動的連續(xù)方程、動量方程，即Navier-Stokes（N-S）方程和能量方程，形式如下：

式中ui表示速度分量，p＝ρRT表示壓強，其中ρ為密度，R為氣體常數(shù)，T為溫度，σij＝2μ（Sij－Skkδij／3）為粘性應力張量，其中μ為動力粘性系數(shù)，Sij＝（?ui／?xj＋?uj／?xi）／2為變形率張量，E＝CvT＋uiui／2表示總能量，其中Cv為定容比熱容，qi＝－κ?T／?xi為熱傳導項，其中κ為熱擴散系數(shù)。

采用密度加權的Favre濾波方法，由式（1）～式（3）可得：

式中CI為模式常數(shù)。亞格子熱傳導Qi采用渦擴散模式：

式中kt為亞格子熱傳導系數(shù)，采用下式確定：

1.2 數(shù)值方法

本文采用基于非結構網(wǎng)格的有限體／有限元混合方法，即采用有限體積法計算對流通量、采用有限單元法計算粘性通量，在時間方向上利用四階龍格-庫塔方法進行推進。為此我們需要構造兩套重合的網(wǎng)格，即有限體網(wǎng)格和有限元網(wǎng)格，如圖1所示，有限元單元為三角形（二維）或四面體（三維），在此基礎上以每個節(jié)點為中心構造有限體單元，兩套網(wǎng)格均覆蓋整個計算域。

我們利用有限單元的形函數(shù)，可由單元節(jié)點上物理量的值得到其在單元內的分布及空間導數(shù)，進而求得有限體單元邊界上的粘性通量。另一方面，對流通量的計算采用了Roe格式，其優(yōu)點是能夠捕捉激波并且不需要迭代。由于流動參數(shù)值存儲在節(jié)點上（即有限體單元的中心），計算通量需要邊界上的值，因此需要在有限體單元內進行數(shù)據(jù)重構。這里我們采用了MUSCL插值，使得Roe格式具有空間二階精度。為解決低亞聲速情況下Roe格式引起的剛性問題，需要對數(shù)值方法進行預處理。上述方法在文獻［3］中有詳細的解釋。此外，對于可壓縮流動，Roe格式可能導致違反熵條件的非物理解，在激波附近引起數(shù)值不穩(wěn)定。因此，在馬赫數(shù)較高時，我們做了兩方面的改進來抑制非物理解的產生。一是進行熵修正，即對對流項系數(shù)矩陣的特征值絕對值過小的情況進行限制；二是加通量限制器，本文中我們采用了基于非結構網(wǎng)格的WBAP限制器［18］。

圖1 網(wǎng)格劃分示意圖Fig.1 Schematic of unstructured mesh

2 結果與分析

2.1 不同長寬比矩形柱繞流的統(tǒng)計特性研究

本文的算例中，我們采用來流馬赫數(shù)Ma＝0．1和Ma＝0．75，基于矩形柱高度和來流速度的雷諾數(shù)Re＝22000，矩形柱長寬比分別取1∶1，2∶1，3∶1和4∶1。當Ma＝0．1時，計算域入口采用Steger-Warming通量條件，即利用矢通量分裂法計算從域外流入域內的對流通量，上下邊界采用對稱邊界條件，出口采用基于特征線的無反射邊界條件，展向采用周期邊界條件，矩形柱表面采用絕熱不可滑移條件。當Ma＝0．75時，計算域入口、出口、上下邊界都采用遠場邊界條件，展向采用周期邊界條件，矩形柱表面采用絕熱不可滑移邊界條件。圖2為計算域、坐標系和網(wǎng)格分布示意圖，矩形柱截面的寬度和來流速度分別用D和U∞表示。Ma＝0．1時計算域流向（x）長度取為24D，矩形柱前端面距入口6．5D，計算域橫向（y）寬度H＝14D，展向（z）寬度為4D，計算時間步長取0．003D／U∞。Ma＝0．75時計算域流向和橫向長度均取36D，計算時間步長取為0．006D／U∞，其余不變。整個計算域采用非結構網(wǎng)格離散，柱體周圍的網(wǎng)格最密，尺寸約為0．01D，尾跡中次之，遠離柱體的地方網(wǎng)格最疏，如圖2所示。Ma＝0．1時計算域總節(jié)點數(shù)為117158，總單元數(shù)為655662；Ma＝0．75時總節(jié)點數(shù)為274424，總單元數(shù)為1571242。隨著矩形柱長寬比的變化，總節(jié)點數(shù)和總單元數(shù)略有不同。

圖2 計算域、坐標系和網(wǎng)格示意圖Fig.2 Computational domain，coordinates and mesh

圖3和圖4分別顯示了矩形柱的阻力系數(shù)和升力系數(shù)脈動均方根隨長寬比的變化，并和現(xiàn)有的低亞聲速結果做了比較［10，19］。從圖中可以看出，低亞聲速和跨聲速時阻力系數(shù)都隨著長寬比的變大而逐漸降低，跨聲速時升力系數(shù)脈動均方根比低亞聲速時小很多，說明湍流脈動受到抑制，可以從圖11顯示的瞬時渦結構圖像看出。

圖3 矩形柱的阻力系數(shù)隨長寬比的變化Fig.3 Drag coefficient around rectangular cylinders with diferent aspect ratios

圖4 矩形柱的升力系數(shù)脈動均方根隨長寬比的變化Fig.4 Lift coefficient RMS of rectangular cylinders with different aspect ratios

流動的特征頻率通常用Strouhal數(shù)反映，其定義為：

式中U∞無窮遠處的來流速度，f為流動的頻率，可以利用升力系數(shù)或流場中某點的壓強信號的頻譜得到。圖5顯示了Ma＝0．1時矩形柱繞流的Strouhal數(shù)隨長寬比的變化，及其與文獻結果的比較［9-10，19-20］，這里流動頻率采用升力系數(shù)的頻譜得到?？梢钥闯?，長寬比從1∶1增大到2∶1時，Strouhal數(shù)降低，而長寬比從2∶1變?yōu)?∶1時，Strouhal數(shù)有一個跳躍，出現(xiàn)兩個主要的流動頻率，之后長寬比再增大時，兩個Strouhal數(shù)都逐漸減小。這種變化與矩形柱表面流體的分離與再附相關。當長寬比為1∶1和2∶1時，流體從前緣分離之后在柱體的上下表面沒有產生再附，因而長寬比越大，渦脫落頻率越?。辉陂L寬比介于2∶1和3∶1之間時，流體分離之后產生再附，然后再分離，此時流動的兩個頻率分別對應從前緣分離和從再附點分離的流體產生渦脫落的頻率，后者的值較大；之后隨著長寬比的增大，再附點與矩形柱后緣角點的距離變大，渦脫落的頻率也隨之變小。

圖6表示Ma＝0．75時矩形柱的Strouhal數(shù)隨長寬比的變化，這里流動頻率分別采用升力系數(shù)和特定點的壓強信號的頻譜得到，以顯示流場的結構特征。由圖可見，Strouhal數(shù)逐漸減小，其中采用升力系數(shù)和剪切層中的壓強信號得到的Strouhal數(shù)相同，而矩形柱后中心線（y＝0）上的壓強信號則有兩個不同的頻率，分別為升力系數(shù)對應的Strouhal數(shù)的一半和兩倍。由于柱體上下方的渦交替脫落，使得柱體后方中心線上流體的波動頻率是渦脫落頻率的兩倍，而另一個小的頻率表明存在長周期的運動，需要進一步研究。另外，當長寬比為4∶1時，只有一個大的主導頻率，小頻率所對應的長周期流動結構很弱，因此在圖中沒有顯示。

圖5 Ma＝0.1時矩形柱繞流的Strouhal數(shù)隨長寬比的變化Fig.5 Strouhal around rectangular cylinders with different aspect ratios at Ma＝0.1

圖6 Ma＝0.75時矩形柱繞流的Strouhal數(shù)隨長寬比的變化Fig.6 Strouhal around rectangular cylinders with diferent aspect ratios at Ma＝0.75

圖7顯示了不同長寬比的矩形柱后中心線上流向平均速度沿x方向的分布，原點對應矩形柱后駐點。圖中負的極值點表示回流區(qū)的強度，隨x增大的漸進值反映了恢復速度的大小?？梢钥闯?，Ma＝0．1時，長寬比為2∶1的回流最強，與前角點的分離流在柱體表面發(fā)生再附有關。圖中也顯示了已有的方柱繞流實驗結果［1］作比較，可以看出回流區(qū)符合較好，而恢復速度有一定程度的高估，這也是方柱繞流問題數(shù)值模擬中普遍存在的問題，具體原因還有待進一步分析。Ma＝0．75時隨著長寬比的增大，矩形柱后回流區(qū)速度峰值單調變小，而出口恢復速度逐漸變大。

壓力系數(shù)Cp的定義為：

圖7 不同長寬比矩形柱后中心線上流向平均速度的分布Fig.7 Mean streamwise velocity U along the center line behind the rectangular cylinder with different aspect ratios at Ma

圖8 平均壓力系數(shù)沿著不同長寬比的矩形柱表面的分布Fig.8 Mean pressure distribution on the surface of the rectangular cylinder with different aspect ratios at Ma

圖9 矩形柱后中心線上脈動速度均方根u′和v′的分布Fig.9 RMS of velocity fluctuations u′and v′on the center line behind the cylinder

圖9顯示了不同長寬比矩形柱后中心線上流向速度脈動均方根和橫向速度脈動均方根沿x方向的分布?？梢钥闯鲭S著長寬比的增加，除了低亞聲速情況下靠近柱體區(qū)域變化比較復雜，總體上流向和橫向的速度脈動均方根都逐漸減小。需要指出的是，這里速度脈動為瞬時值與當?shù)貢r均值之差，沒有考慮周期性渦脫落的相位平均，所以圖9顯示的脈動速度均方根可以反映渦的強度，但不能反映湍流脈動強度。因此，盡管在跨聲速流動中湍流脈動受到抑制（如圖11所示），從圖9（a，b）和圖9（c，d）的對比中可以看到跨聲速和低亞聲速流動的脈動速度均方根為同一量級，結果與圖3顯示的升力系數(shù)均方根有較大差異。另外，由于柱體后方的展向渦結構會引起較大的橫向速度，圖9（b，d）顯示橫向速度脈動均方根v′的極大值位于2倍柱體寬度處，其值對應于柱體后方渦脫落時離開柱體的距離，也大致相當于回流區(qū)的長度，從后面的圖10和11可以看出。

2.2 不同長寬比矩形柱繞流的流場特性研究

圖10 不同長寬比矩形柱平均流動的流線以及壓強云圖Fig.10 Streamline and pressure of mean flow around the rectangular cylinder with different aspect ratios

為了清楚顯示不同長寬比矩形柱繞流是否再附，我們給出了平均流場的流線和壓強分布，如圖10所示?？梢钥闯觯琈a＝0.1時長寬比為3∶1和4∶1的矩形柱有明顯的再附點，流體從前緣點分離之后在柱體的上下表面發(fā)生再附，然后再與柱體分離。長寬比為1∶1和2∶1的矩形柱則沒有流動的再附現(xiàn)象發(fā)生。Ma＝0.75時，流體從前緣分離之后并不會在柱體上下表面再附，并且隨著長寬比的增大，尾跡里的低壓區(qū)壓強逐漸增大，從而使得阻力系數(shù)減?。ㄒ妶D3）。

采用Q準則可以對流場的渦結構進行識別和顯示，其定義如下：

圖11顯示了不同長寬比矩形柱繞流的瞬時流場的Q等值面，Ma＝0．1時Q＝1．0，Ma＝0．75時Q＝0．1?？梢钥闯觯琈a＝0．1時矩形柱尾跡里存在復雜的三維渦結構，而隨著長寬比的增大尾跡里的渦逐漸變弱。Ma＝0．75時，渦結構的三維特性明顯減弱，尾跡中存在強的展向渦形成的渦街結構，近尾跡區(qū)連接兩展向渦的流向渦結構。隨著長寬比的增大，渦街中兩展向渦間的流向距離逐漸變大，橫向距離逐漸減小，當長寬比為4∶1時，渦基本在排列一條直線上。

圖11 不同長寬比矩形柱繞流的Q等值面Fig.11 Q contours around the rectangular cylinder with different aspect ratios

盡管跨聲速時鈍體繞流的渦結構較為簡單，但近尾跡區(qū)中也存在復雜的流動現(xiàn)象。Xu［16］指出圓柱跨聲速繞流問題中，圓柱近尾跡區(qū)中存在兩種形成機制不同的局部超聲速區(qū)，分別為渦渦相互作用和渦與激波相互作用所形成。本文中我們考察了方柱跨聲速繞流的近尾跡區(qū)的流動特征，發(fā)現(xiàn)也存在兩種形成機制不同的局部超聲速區(qū)。圖12給出了瞬時Ma＝1的等值面，圖中有兩塊單獨的區(qū)域，分別記為A和B，其中A處是回流區(qū)中局部超聲速區(qū)，B處為尾跡中形成的局部超聲速區(qū)。

圖12 瞬時Ma＝1的等值面Fig.12 Instantaneous Ma＝1 contours

圖13 Ma＝0.75方柱升力系數(shù)曲線表示的時間點位置Fig.13 Time points on the lift coefficient curve at Ma＝0.75

為了觀察局部超聲速的形成過程，我們在Ma＝0.75時方柱升力系數(shù)的時間演化曲線上選取了同一個渦脫落周期內的6個不同時間點a～f（見圖13），各時刻對應的馬赫數(shù)等值線如圖14所示?？梢钥吹?，a時刻回流區(qū)內馬赫數(shù)都小于1，超聲速區(qū)并沒有形成；b時刻在回流區(qū)中出現(xiàn)了M＞1的一塊小的區(qū)域，即局部超聲速區(qū)；c時刻局部超聲速區(qū)變大并且向下游移動，需要指出的是流動結構的遷移速度和當?shù)亓鲃铀俣炔煌M管局部超聲速區(qū)位于回流區(qū)，仍然具有正的遷移速度；d時刻局部超聲速區(qū)繼續(xù)變大，并且要與上方剪切層中的超聲速流體匯合，同時可以看到下方超聲速剪切層從柱體脫落；e時刻前面所形成的局部超聲速區(qū)已經(jīng)完全與上方剪切層中的超聲速流體匯合，并且在方柱后不再有M＞1的區(qū)域；f時刻出現(xiàn)新的M＞1的區(qū)域，在隨后的演化中將與下方剪切層中的超聲速流體匯合，同時伴隨著上方剪切層的脫落。因此，回流區(qū)中的局部超聲速區(qū)形成后逐漸向下游遷移，然后與剪切層超聲速流體匯合在一起，并逐漸與方柱分離。這里我們可以推斷尾跡中形成的局部超聲速區(qū)是由于超聲速剪切層脫落而形成的。

圖14 一個周期內不同時刻的馬赫數(shù)等值線分布（實線：M＞1，虛線：M＜1，時間間隔為0.3D／U∞）Fig.14 Instantaneous iso-lines of Mach number with solid lines Ma＞1 anddashed lines Ma＜1，the time interval is 0.3D／U∞

為進一步分析回流區(qū)中的局部超聲速區(qū)的成因，我們考察了b，e兩個時刻（見圖13）的展向渦量和Ma＝1的等值面，如圖15所示?？梢钥闯?，兩個反向旋轉的渦的相互作用，使它們中間的流體加速，進而形成局部超聲速區(qū)。由于對稱性，回流區(qū)中的局部超聲速區(qū)在每個渦脫落周期內形成兩次，分別在方柱下方的渦向上運動和上方的渦向下運動時形成。

圖15 展向渦量云圖和瞬時Ma＝1的等值面Fig.15 Instantaneous spanwise vorticity and Ma＝1 contours at the instants b and e

3 結 論

本文采用有限體／有限元混合格式和大渦模擬方法求解可壓縮N-S方程，研究了不同長寬比矩形柱低亞聲速和跨聲速繞流的流動特性。低亞聲速范圍內采用低馬赫數(shù)預處理與MUSCL插值重構，跨聲速范圍內采用熵修正和WBAP通量限制器，時間推進格式采用四階龍格-庫塔方法。雷諾數(shù)為22000，來流馬赫數(shù)分別取0．1和0．75，截面長寬比為1∶1、2∶1、3∶1和4∶1。研究表明：

馬赫數(shù)為0．1時，Strouhal數(shù)隨著長寬比的增大先降低再增大然后再降低；長寬比為3∶1和4∶1時柱體表面會有流動的再附產生；渦結構具有明顯的三維特性。

馬赫數(shù)為0．75時，Strouhal數(shù)隨著長寬比的增大逐漸減??；湍流脈動以及渦脫落受到抑制；方柱的近尾跡區(qū)域中有兩種形成機制不同的局部超聲速區(qū)。

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Large eddy simulation of flow around a rectangular cylinder at low subsonic and transonic speeds

CHEN Jianping，H UANG Weixi，XU Chunxiao
（School of Aerospace，Tsinghua University，Beijing 100084，China）

Elow characteristics around a rectangular cylinder with different aspect ratios at low subsonic and transonic speeds were studied by large eddy simulation．AtRe＝22000，large eddy simulations were performed for flows around a rectangular cylinder with aspect ratios of 1∶1，2∶1，3∶1 and 4∶1 atMa＝0．1 and 0．75 respectively，to study the effects of the aspect ratio and the compressibility on the flow characteristics．AtMa＝0．1，the Strouhal numberdecreases first and then increases and finallydeceases with the increase of the aspect ratio．Elow reattachment is observed for the cases with aspect ratios of 3∶1 and 4∶1．Complex three-dimensional flow structures were observed in the wake．AtMa＝0．75，the Strouhal number and the turbulence intensitiesdecrease with the increase of the aspect ratio．It is also observed that there are two kinds of mechanisms about the formation of the local supersonic zones in the near wake region．

turbulent flow；low subsonic flow；transonic flow；LES；rectangular cylinder

V211.3

Adoi：10.7638／kqdlxxb-2013.0029

0258-1825（2014）06-0791-09

2013-03-11；

2013-12-24

國家自然科學基金（11472154，11322221，11132005）；空氣動力學國家重點實驗室開放課題（SKLA20120106）

陳建平（1988-），男，碩士研究生，研究方向：湍流大渦模擬．

黃偉希，男，副教授，博士．E-mail:hwx＠tsinghua.edu.cn

陳建平，黃偉希，許春曉．低亞聲速和跨聲速矩形柱繞流的大渦模擬研究［J］．空氣動力學學報，2014，32（6）：791-799．

10．7638／kqdlxxb-2013．0029 CHEN J P，HUANG W X，XU C X．Large eddy simulation of flow around a rectangular cylinder at low subsonic and transonic speeds［J］．ACTA Aerodynamica Sinica，2014，32（6）：791-799．