張 敏，劉邵容

（南華大學 數(shù)理學院，湖南 衡陽 421001）

價格遵循分數(shù)Brown運動的指數(shù)期權(quán)保險精算定價

張 敏，劉邵容

（南華大學 數(shù)理學院，湖南 衡陽 421001）

討論了指數(shù)期權(quán)中指數(shù)價格遵循分數(shù)Brown運動時的期權(quán)定價問題，并假設(shè)利率為常數(shù)的情況下，利用保險精算原理和價格過程的實際概率測度，得到了歐式指數(shù)看漲和看跌期權(quán)的定價公式.

保險精算；指數(shù)期權(quán)；期權(quán)定價；分數(shù)Brown運動

0 引言

在指數(shù)期權(quán)定價理論中，在不同的條件下已經(jīng)有很多定價公式[1，2]，但定價的結(jié)果仍與實際結(jié)果有一定差距.指數(shù)期權(quán)股票指數(shù)期權(quán)賦予持有人在敲定的日子，以合約價格買入或賣出特定股票指數(shù)的權(quán)利.傳統(tǒng)的期權(quán)定價中，一般考慮價格遵循幾何Brown運動，但實際上幾何Brown運動并不是刻畫價格過程的理想的工具，本文考慮市場無風險利率為常數(shù)的條件下，價格遵循分數(shù)Brown運動[3]，將保險精算思想[4]運用到指數(shù)期權(quán)定價中，給出了指數(shù)看漲和看跌歐式期權(quán)的定價公式.

1 預(yù)備知識

{Q（t）∶t>0}是概率空間（Ω，F(xiàn)，P）上的價格隨機過程，{Ft，t>0}是由價格生成的σ代數(shù)，設(shè)β（t）為t時刻Q（t）的瞬時收益率，為期望收益，C（a,T），P（a,T）分別表示指數(shù)價格為Q（t）、敲定執(zhí)行價格為a、到期日為T的指數(shù)看漲和看跌期權(quán)保險精算定價.

定理1 歐式指數(shù)期權(quán)保險精算定價[5]為

定義1 若中心高斯過程BH（t）={BH（t），t>0}的協(xié)方差函數(shù)有如下形式[5]

其中VH為規(guī)范化常數(shù)并且BH（0）=0，稱BH={BH（t），t≥0}為Hurst參數(shù)為H∈（0,1）的分形Brown運動，顯然BH（t）～N（0，VHt2H）.

2 指數(shù)期權(quán)的市場模型

幾何Brown方程

現(xiàn)將分數(shù)Brown運動BH（t）代替（4）中的Bt得隨機微分方程

可得

定理2 設(shè)指數(shù)價格過程{Q（t），t>0}滿足方程⑤，則

證明：由（6）式和定義1得

因此C（a,T）=QN（d1）-aN（d2），證畢.

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（責任編輯 鈕效鹍）

An Actuarial Approach to Index Options Pricing by Fractional Brownian Motion

ZHANG Min，LIU Shao-rong
（School of Mathematic&Physical Science，South China University，Hengyang，Hunan 421001，China）

Using physical probabilistic measure of price process and the principle of fair premium，this paper deals with pricing formula of index options under the assumption that index options price process driven by fractional Brownian motion.The pricing formula of foreign option is obtained.

actuarial studies；index options；option pricing；fractional Brownian motion

F830；O211.6

：A

：1673-1972（2014）06-0005-03

2013-11-18

衡陽市科技局項目（2012KJ17）

張敏（1977-），女，遼寧沈陽人，講師，主要從事金融數(shù)學研究.