楊夏勰，周春華

（1．南京航空航天大學 空氣動力學系，江蘇 南京 210016；2．上海飛機設(shè)計研究院飛控部，上海 201210）

目標函數(shù)誤差估算及網(wǎng)格自適應(yīng)處理

楊夏勰1，2，周春華1

（1．南京航空航天大學 空氣動力學系，江蘇 南京 210016；2．上海飛機設(shè)計研究院飛控部，上海 201210）

發(fā)展了一種基于目標函數(shù)誤差估算的網(wǎng)格自適應(yīng)準則，進而通過網(wǎng)格自適應(yīng)處理提高目標函數(shù)計算的效率和準確性。首先描述了目標函數(shù)的誤差估算及修正的方法，該方法通過伴隨方程將原方程的殘值誤差與目標函數(shù)聯(lián)系起來。然后，基于誤差估算建立網(wǎng)格自適應(yīng)準則，以減少目標函數(shù)修正后的剩余誤差，提高目標函數(shù)計算結(jié)果的準確性，并將方法進一步發(fā)展至多目標問題。最后將該準則應(yīng)用于Euler方程控制的NACA0012翼型無粘可壓流動的網(wǎng)格自適應(yīng)模擬。數(shù)值計算成功地捕獲了與升力、阻力和力矩等目標函數(shù)相關(guān)的特征流動區(qū)域，計算出符合指定精度要求的目標函數(shù)值，驗證了本文所發(fā)展的方法。

誤差估算；目標函數(shù)修正；伴隨方程；網(wǎng)格自適應(yīng)處理

0 引 言

網(wǎng)格自適應(yīng)處理是提高流動數(shù)值模擬效率和準確性的有效手段之一。如何建立可靠的自適應(yīng)準則是網(wǎng)格自適應(yīng)處理的關(guān)鍵問題之一。通常采用的自適應(yīng)準則可分為兩類：（1）物理量的梯度；（2）離散解的誤差估算值。前者不可避免地會遺漏部分信息，在解決多變量問題時存在一定困難；而且在變量大梯度區(qū)域進行連續(xù)的網(wǎng)格加密也不能保證總體誤差一定同時下降。后者通常是從方程的解出發(fā)，計算比較困難。對復雜非線性問題，如Navier-Stokes方程，難以提出嚴格的誤差估算器。

另外一種思路是：不對流動方程數(shù)值解的誤差進行估算，而直接對工程應(yīng)用中感興趣的積分輸出量（即目標函數(shù)，如飛行器設(shè)計中的升力、阻力等氣動力參數(shù)）進行誤差估算。基于這種誤差估算的網(wǎng)格自適應(yīng)處理可提高指定輸出量的準確性。以往的基于誤差估算的自適應(yīng)是針對流動方程的解本身。提高整個流場的精度也能提高目標函數(shù)的精度，但相比而言不是直接的，效率上要低一些。而基于目標函數(shù)誤差估算的方法則完全以提高目標函數(shù)的準確性為目標，對目標函數(shù)敏感區(qū)域的網(wǎng)格將被優(yōu)先加密，針對性更強，更適合于工程設(shè)計中的應(yīng)用。近年來，在雙曲型問題、不可壓N-S方程和可壓Euler方程中運用伴隨方法對目標函數(shù)進行誤差估算的研究已經(jīng)取得了一些進展［1-4］。在許多工程計算中，目標函數(shù)的誤差是設(shè)計人員最優(yōu)先考慮的因素，而采用伴隨方法的意義就在于伴隨解可以看作是目標函數(shù)關(guān)于流動解線性化的影響。在誤差分析中，通常用殘值誤差來衡量數(shù)值近似解與原始偏微分方程精確解之間的誤差程度，而殘值誤差又與流動解相對應(yīng)。因此，伴隨解加權(quán)了殘值誤差對目標函數(shù)的影響［5-6］。在那些伴隨變量很小的區(qū)域，較大的殘值誤差對目標函數(shù)的影響很小，網(wǎng)格就不需要加密；相反，在伴隨變量較大的區(qū)域，即使很小的殘值誤差對目標函數(shù)的影響也可能很大，所以就需要局部網(wǎng)格加密?；谶@種誤差估算所發(fā)展的自適應(yīng)方法先在有限元法中得到發(fā)展［7］，最近在有限體積法中也有應(yīng)用［3］。

本文以Pierce和Giles［8-9］及Venditti和Darm of al提出的方法［10］為基礎(chǔ)，發(fā)展了一種目標函數(shù)的誤差估算和修正技術(shù)以及相應(yīng)的網(wǎng)格自適應(yīng)準則；減少了計算量，提高了目標函數(shù)的準確性，并進一步將之推廣到多目標問題。首先給出了基于伴隨方程的誤差估算及修正過程。在這個過程中并不需要求解細網(wǎng)格上的流動解，只計算細網(wǎng)格上的目標函數(shù)值和殘值誤差，以及粗網(wǎng)格上的伴隨解。然后給出了自適應(yīng)方法，其目的是通過局部加密粗網(wǎng)格以降低剩余誤差從而提高目標函數(shù)的計算精度。上一次加密形成的細網(wǎng)格作為當前迭代的粗網(wǎng)格，這個過程反復進行直到收斂。收斂的定義是局部誤差達到一個期望值。最后，本文針對二維無粘可壓流問題進行了數(shù)值實驗，目標函數(shù)選擇航空工程應(yīng)用中最感興趣的升力、阻力和力矩等系數(shù)。計算結(jié)果驗證了所發(fā)展方法在提高目標輸出量準確性方面的可靠性。這種自適應(yīng)準則更加適合工程應(yīng)用，其重要性是不言而喻的。

1 目標函數(shù)的誤差估算及修正過程

首先，簡單討論基于伴隨方程的目標函數(shù)的誤差估算和修正［11-12］。考慮兩套不同的網(wǎng)格：粗網(wǎng)格ΩH和細網(wǎng)格Ωh。記ΩH、Ωh上的目標函數(shù)值分別為fH（uH）、fh（Uh），其中UH、Uh分別代表粗、細網(wǎng)格上偏微分方程的離散解。直接在細網(wǎng)格上求解偏微分方程獲得fh（Uh）的時間代價肯定很大。通過對fH（UH）修正而近似獲得fh（Uh）是值得期待的。

其中Ψh是下列細網(wǎng)格上伴隨方程的離散解：

最后由式（3）和式（5）獲得目標函數(shù)的誤差：

2 網(wǎng)格自適應(yīng)準則

這一節(jié)我們給出一種網(wǎng)格自適應(yīng)方案來完善上一節(jié)給出的目標函數(shù)的修正。網(wǎng)格自適應(yīng)處理的目標是減少式（6）中的剩余誤差，即減少目標函數(shù)修正后的剩余誤差。

2.1 修正后的剩余誤差

由式（6）可得，目標函數(shù)的誤差可以表示成可計算修正項與剩余誤差項之和。剩余誤差可以寫成不同的形式。式（6）中剩余誤差是伴隨方程殘值的誤差與原方程解的誤差的內(nèi)積；它也可以表示成伴隨解的誤差與原方程殘值的誤差的內(nèi)積［13］。因此，目標函數(shù)誤差也可寫成下列形式：

網(wǎng)格自適應(yīng)的目標就是減少式（6）和式（8）中兩種形式的剩余誤差，以提高修正后目標函數(shù)的精確度。顯然，自適應(yīng)參數(shù)應(yīng)包含兩種形式的剩余誤差。

2.2 自適應(yīng)準則和參數(shù)

我們希望通過網(wǎng)格自適應(yīng)處理，減少計算域內(nèi)的自適應(yīng)參數(shù)的值，即降低目標函數(shù)修正后的剩余誤差。記粗網(wǎng)格單元k內(nèi)的細網(wǎng)格節(jié)點集為l（k），k的自適應(yīng)參數(shù)εk可以定義為：

2.3 多目標的網(wǎng)格自適應(yīng)處理

上述的誤差估算與網(wǎng)格自適應(yīng)都是對單個目標函數(shù)值進行的，這種方法也可用于同時處理多個目標函數(shù)。每一次求解流動方程后，根據(jù)不同的目標函數(shù)分別求解對應(yīng)的伴隨方程，從而獲得對應(yīng)的自適應(yīng)參數(shù)。這樣，每個網(wǎng)格就有多個剩余誤差，即每個目標函數(shù)對應(yīng)一組剩余誤差和自適應(yīng)參數(shù)。當有一個剩余誤差大于目標誤差時，該單元就加密；即只有當所有剩余誤差都小于對應(yīng)的目標誤差時，該單元才不需要加密。同時處理多個目標函數(shù)的優(yōu)勢在于只需要求解一輪流動控制方程。從后面的數(shù)值實驗可以看到，多目標函數(shù)的精確度與單目標幾乎一樣。

3 數(shù)值方法

本節(jié)簡單介紹Euler方程和伴隨方程的數(shù)值求解方法。

3.1 Euler方程求解

空間離散采用有限體積median-dual格點格式［14］，控制體形狀如圖1所示?？刂企w上的積分形式的Euler方程為：

其中V為控制體的體積，W表示守恒變量，F(xiàn)為對流通量矢，?V表示控制體的邊界，n是邊界的單位外法向矢量。對流通量離散采用中心格式近似，人工粘性項由拉普拉斯算子和雙調(diào)和算子混合構(gòu)成，時間推進采用五步龍格庫塔格式。

圖1 節(jié)點i的控制體Fig.1 Control volume of node i

3.2 伴隨方程求解

如第一、二節(jié)所述，為了進行目標函數(shù)的修正及網(wǎng)格自適應(yīng)參數(shù)的計算，獲得流動方程的解后就需要求解如下粗網(wǎng)格上的伴隨方程：

其中Ψ表示粗網(wǎng)格上的伴隨解，R表示Euler方程的殘值，f表示目標函數(shù)。

伴隨方程的數(shù)值解法與Euler方程類似，可以采用龍格庫塔時間推進的方法來獲得伴隨解。

本文選擇工程領(lǐng)域比較感興趣的升力系數(shù)、阻力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)為目標函數(shù)。?R／?W、?f／?W的計算可參考有關(guān)氣動外形優(yōu)化的文獻［14］；限于篇幅，其計算這里不再詳述。

3.3 插值算子

為了獲得粗網(wǎng)格上的流動解和伴隨解在細網(wǎng)格上的映射，采用多項式插值函數(shù)作為三角形單元上的插值算子。對于二次插值，多項式可以表示為：

這里，a～f是待定系數(shù)。為了求得六個未知系數(shù)，需要在粗網(wǎng)格上的六個節(jié)點建立六個方程。這里，取圖2所示的六個粗網(wǎng)格節(jié)點。待定系數(shù)確定后，將細網(wǎng)格上節(jié)點i的坐標（xi，yi）代入（13），即可獲得i點上的任意變量的值φ（xi，yi）。

圖2 粗網(wǎng)格節(jié)點：1-6，細網(wǎng)格節(jié)點：PFig.2 Coarse-mesh nodes：1-6，fine-mesh node：P

4 數(shù)值模擬及討論

我們對NACA0012翼型無粘可壓繞流進行數(shù)值模擬，驗證所發(fā)展的誤差修正和網(wǎng)格自適應(yīng)處理方法的可靠性和有效性。

4.1 M∞=0.95，α=0°，目標函數(shù)為阻力系數(shù)

該流場中，翼型緊靠前緣處有脫體激波，后緣處有兩道附體激波且其下游還有一弱正激波。圖3和圖4分別給出了期望誤差e0＝0.01和e0＝0．0005時的自適應(yīng)網(wǎng)格和計算結(jié)果。兩種情況都是自適應(yīng)加密兩次后，所有單元滿足誤差要求ηk＜1，對應(yīng)網(wǎng)格節(jié)點分別為1774和4802。從圖3（a）和圖4（a）中我們可以看到，自適應(yīng)網(wǎng)格中后緣斜激波和下游的正激波處網(wǎng)格未被加密，說明這兩處激波對阻力計算的影響不大。圖3（b）和圖4（b）給出了多層均勻網(wǎng)格的結(jié)果、自適應(yīng)網(wǎng)格的結(jié)果以及修正后的自適應(yīng)結(jié)果；可以看出，滿足精度要求的自適應(yīng)解經(jīng)修正后非常接近外插值，而且網(wǎng)格規(guī)模很小。外插值是根據(jù)Richardson法獲得的，選取的三個外插點是最后三層均勻加密網(wǎng)格上的阻力系數(shù)值。對比不同期望誤差的結(jié)果圖可以看出，期望誤差越小，網(wǎng)格加密越多，獲得的目標函數(shù)值越趨近于外插值。

表1給出了自適應(yīng)網(wǎng)格和均勻加密三次的網(wǎng)格上節(jié)點數(shù)目、誤差估算值和計算時間的對比?？梢钥闯?，自適應(yīng)網(wǎng)格上目標函數(shù)的總體誤差估算值和計算時間都遠遠小于均勻網(wǎng)格。

表1 自適應(yīng)網(wǎng)格與均勻網(wǎng)格上的計算Table 1 Computations on adapted and uniform grids

圖3 M∞=0.95，α=0°，e0=0.01時的自適應(yīng)網(wǎng)格和阻力系數(shù)Fig.3 Adapted grid and drag coefficients for M∞=0.95，α=0°，e0=0.01

圖4 M∞=0.95，α=0°，e0=0.0005時的自適應(yīng)網(wǎng)格和阻力系數(shù)Fig.4 Adapted grid and drag coefficients for M∞=0.95，α=0°，e0=0.0005

4.2 M∞=0.8，α=1.25°，目標函數(shù)為力矩系數(shù)

圖5給出了期望誤差e0＝0．01時的自適應(yīng)網(wǎng)格和計算結(jié)果。自適應(yīng)加密四次后，所有單元當?shù)卣`差滿足ηk＜1，最終網(wǎng)格節(jié)點數(shù)為3504。外插值同樣是根據(jù)均勻加密網(wǎng)格上的結(jié)果獲得。從網(wǎng)格加密圖中可以看出，翼型前后緣和上激波對力矩系數(shù)的誤差影響較大。通過所采用的自適應(yīng)準則及誤差修正后，目標函數(shù)值能較好地趨近外插值。參照文獻［15］，圖5（b）也給出了基于壓強梯度加密的力矩系數(shù)結(jié)果。通過對比可以看到，采用本文方法所得到的結(jié)果值更加接近于外插值，目標函數(shù)值更加準確。

4.3 M∞=3，α=0°，雙翼型，目標函數(shù)為下翼型的阻力系數(shù)

從圖中翼型的安放位置可以看出，上游翼型的激波會影響下游翼型。圖6給出了期望誤差e0＝0．001時的自適應(yīng)結(jié)果。自適應(yīng)加密三次結(jié)束，網(wǎng)格節(jié)點數(shù)為4766。從網(wǎng)格加密圖中可以看到，下翼型網(wǎng)格加密主要集中在前緣和前緣斜激波；上翼型網(wǎng)格加密集中在前緣及下表面的斜激波。說明這些區(qū)域?qū)τ谀繕撕瘮?shù)的誤差影響比較大。兩個翼型的尾激波都沒有加密，說明這些區(qū)域的流動對目標函數(shù)的影響較小。

4.4 M∞=0.8，α=1.25°，目標函數(shù)為升力系數(shù)和阻力系數(shù)

圖6 M∞=3，α=0°，e0=0.001時的自適應(yīng)網(wǎng)格和阻力系數(shù)Fig.6 Adapted grid and drag coefficients for M∞=3，α=0°，e0=0.001

圖7 M∞=0.8，α=1.25°時的升力系數(shù)和阻力系數(shù)Fig.7 Lift and drag coefficients for M∞=0.8，α=1.25°

這一小節(jié)給出了雙目標函數(shù)的網(wǎng)格自適應(yīng)處理結(jié)果，并且與單目標情形進行了比較。圖7（a）給出了目標函數(shù)為升力系數(shù)、阻力系數(shù)和同時為升力系數(shù)及阻力系數(shù)的網(wǎng)格自適應(yīng)計算結(jié)果。期望誤差分別為ecl＝2．5%CL，ecd＝0．001。雙目標函數(shù)加密四次后自適應(yīng)結(jié)束，網(wǎng)格節(jié)點為7102。單目標函數(shù)升力系數(shù)加密三次結(jié)束，網(wǎng)格節(jié)點7003；阻力系數(shù)加密四次結(jié)束，網(wǎng)格節(jié)點5751。圖中可以看到，雙目標函數(shù)的計算結(jié)果與單目標函數(shù)幾乎一樣，同時處理兩個目標函數(shù)也能保證相同的計算精度。但是在程序運行上，雙目標函數(shù)少解了一輪求解流動控制方程，大大減少了計算時間。圖8給出了雙目標函數(shù)的網(wǎng)格加密圖，在翼型前后緣、上下激波處都有適當?shù)募用?，表面這些區(qū)域?qū)ιο禂?shù)、阻力系數(shù)這兩個目標函數(shù)的計算精度有較大的影響。

圖8 M∞=0.8，α=1.25°雙目標自適應(yīng)網(wǎng)格Fig.8 Adapted grid with two objects for M∞=0.8，α=1.25°

5 總結(jié)與展望

本文基于目標函數(shù)的誤差估算及修正技術(shù)，發(fā)展了一種網(wǎng)格自適應(yīng)處理方法，以提高升力系數(shù)、阻力系數(shù)和力矩系數(shù)等指定積分輸出量（即目標函數(shù)）的準確性。對NACA0012翼型無粘可壓流的數(shù)值實驗表明：自適應(yīng)參數(shù)很好地捕獲了那些對目標函數(shù)誤差影響較大的區(qū)域，通過對這些區(qū)域的網(wǎng)格加密，提高了目標函數(shù)值的準確性。在所給出的算例中，目標函數(shù)都達到了要求的精度，網(wǎng)格自適應(yīng)處理因而具有自動終止的特點；而且滿足精度要求的自適應(yīng)解經(jīng)修正后非常接近均勻網(wǎng)格結(jié)果的外插值。本文還將單目標函數(shù)的網(wǎng)格自適應(yīng)方法擴展到雙目標函數(shù)的情形。數(shù)值實驗結(jié)果表明：雙目標情形下，計算精度依然獲得很好的滿足，但計算時間大大減少。在未來的工作中，我們將對隨時間變化的流動問題做進一步的研究和分析。時間相關(guān)的模擬中總體誤差可以分解為空間誤差、時間誤差，以及每個物理時間步內(nèi)虛擬時間迭代不完全收斂帶來的誤差（針對通常采用的雙時間步格式）。如果將時間域與空間域分開單獨考慮，這三種誤差的伴隨方程與定常問題應(yīng)該是相似的，處理起來或許不太困難。如果將空間自適應(yīng)與時間自適應(yīng)耦合起來，尚有不少問題有待解決。

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Output-based error estimation and grid adaptation

YANG Xiaxie1，2，ZHOU Chunhua1
（1.Department of Aerodynamics，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China；2.Department of Flight Control，Shanghai Aircraft Design and Research Institute，Shanghai 201210，China）

A mesh-adaptation criterion using output-based error estimation is developed to improve the accuracy of the output and the efficiency of computations．At first，the procedure of output-based error estimation and correction are described．Primal residual error and prescribed functional are related to each other by the adjoint method．The discrete adjoint solution is a weighting function，which weights the primal residual error．The error estimation and correction needn′t to compute the flow and adjoint solution on the fine mesh，which will be obtained by prolongation operation．Then，a strategy for grid adaptation is developed to reduce the remaining error after the functional correction and improve the accuracy of computations．Furthermore，the mesh adaptation method is extended to multi-object problems．The adaptation parameter is the remaining error，which contains both primal residual error and adjoint residual error．The governing equations are two-dimensional Euler equations．They are solved by using finite volume approximation and five-step Rungge-Kutta temporal discretization．The adjoint is a discrete equation and its solution procedure is similar to that of governing equations．Finally，the strategy is applied to the simulation of inviscid compressible flows around the NACA0012 airfoil．Numerical experiments have successfully captured the features which are associated with the prescribed functional，produced integral outputs with desired accuracy，and finally validated the method developed in this article．

error estimation；functional correction；adjoint；mesh adaptation

O335；V211.3

Adoi:10.7638／kqdlxxb-2012.0189

0258-1825（2014）05-0688-06

2012-11-13；

2013-03-09

國家自然科學基金（11072113）；江蘇高校優(yōu)勢學科建設(shè)工程資助項目

楊夏勰（1987-），女，助理工程師，研究方向：網(wǎng)格自適應(yīng)處理．E-mail：kathryn711＠126．com周春華（1965-），男，教授，博士生導師，研究方向：計算流體力學，數(shù)值分析等．E-mail：chzhou＠nuaa．edu．cn

楊夏勰，周春華．目標函數(shù)誤差估算及網(wǎng)格自適應(yīng)處理［J］．空氣動力學學報，2014，32（5）：688-693．

10．7638／kqdlxxb-2012．0189． YANG X X，ZHOU C H．Output-based error estimation and grid adaptation［J］．ACTA Aerodynamica Sinica，2014，32（5）：688-693．