摘 要:建立應(yīng)變能密度積分公式,以彈性力學(xué)的物理方程為基礎(chǔ),研究在彈性體中應(yīng)變能和應(yīng)變與應(yīng)力之前的關(guān)系。主要通過廣義格林公式下的積分和全微分形式下的積分。在這兩種方式的求解下,都證明了應(yīng)變能密度和應(yīng)變與應(yīng)力的關(guān)系是一致的。
關(guān)鍵詞:彈性體;應(yīng)變能密度;應(yīng)變
1 引言
在普遍的彈性力學(xué)的教材中[1],都只給出了
這個公式,而沒有直接對應(yīng)變能密度的積分給出詳細的求解過程。這就使得讀者產(chǎn)生疑惑,當(dāng)應(yīng)力展開成與彈性模量的關(guān)系式代入積分方程中,就出現(xiàn)了問題。
在 中,我們在利用張量公式的展開:當(dāng) ?著kl的下標k,l的取值和deij的下標i,j的下標取值相同:k=m=i;l=n=j;我們可以直接積分得出 (注:此公式不帶啞標,且?著mn=?著nm),當(dāng)k取值不等與i和j,或者l取值不等于i和j時,那么?著kl是不是就與?著ij沒有關(guān)系,而可以直接把eij積出來。例如
。對于?著ij與?著kl取值不相同的部分,直接積分得出的結(jié)果不是■倍的關(guān)系而是1倍的關(guān)系。這就與應(yīng)變能密度的公式矛盾,顯然是我們把積分簡單化了,因此我們要改變積分方式,由于彈性力學(xué)里的物理方程是肯定成立,所以我們從積分路徑考慮。
2 線彈性應(yīng)變
對圖1所示積分,從面積就知道 成立。但是對非線彈性應(yīng)變時,面積不是那么輕易算出,所以我們必須從積分本身出發(fā)。
3 非線彈性應(yīng)變
圖1 圖2
對應(yīng)變能密度 進行證明,其中?滓ij=Cijkl?著kl,?滓ij為應(yīng)力,?著ij為應(yīng)變, Cijkl為彈性模量。
4 數(shù)學(xué)求解
首先對Cijkl進行簡化,通過?滓ij=Cijkl?著kl,對于各向異性彈性體應(yīng)力張量的對稱性?滓ij=?滓ji,于是Cijkl=Cjikl,再由應(yīng)變張量的對稱性?著kl=?著lk,得出Cijkl=Cijlk,于是把原來81個分量降為36個分量,整理成:
(1)
對U(?著)求二階偏導(dǎo)得出:
(2)
又因為
將 代入可得出 此式就稱之為廣義格林公式[2]
所以有
(3)
對U(?著)展開的
(4)
再將(1)式代入(4)式得
對此式整理
(5)
我們?nèi)∑渲腥我鈳捉M研究:
其中■x和■y是終止狀態(tài)的彈性應(yīng)變,在求解
時,由(3)式得到C12=C21,所以由格林公式可知此積分與路徑無關(guān)。不妨設(shè)?著y=k?著x,
對其他部分采用同樣的方法,整理得
(6)
再把(6)式比照(1)式進行整理得到(4)式,因此得應(yīng)變能密度公式得證 。
如果從全微分形式 出發(fā),因為原函數(shù)U(?著)的存在,可以利用牛頓-萊布尼茨公式同樣可以得到結(jié)果: 。
這說明積分與路徑無關(guān),所以 即
廣義格林公式 是成立的。這就從正反兩面證明了廣義格林公式,從而說明積分與路徑無關(guān)。
5 結(jié)束語
對于多元函數(shù)的積分應(yīng)同時聯(lián)系實際的物理背景,不能簡單的從一方面考慮,否則就會出現(xiàn)差錯或使問題復(fù)雜化,此題也可以從功的方面考慮。高等數(shù)學(xué)中在曲線積分中提到了格林公式,這里需要用到廣義格林公式。這兩種解法都是為了尋找應(yīng)變能密度求解中積分與路徑無關(guān)這條件。
參考文獻
[1]陸明萬,羅學(xué)富.彈性理論基礎(chǔ)[M].北京:清華大學(xué)出版社,1990.
[2]徐芝綸.彈性力學(xué)簡明教程[M].北京:高等教育出版社,2002.8.