用解析幾何的方法證明與正方形有關(guān)的幾何習題，可由正方形的特性給出求解規(guī)律.這方法是：首先在與正方形有關(guān)的習題圖上建立起合適的平面直角坐標系.何謂合適的平面直角坐標系？其內(nèi)涵就是圖形與軸越相融合越好，坐標點的設(shè)定越簡單越好，譬如使得頂點落在軸上，使得邊與軸重合，如此為之，則建成的坐標系謂之合適.然后有選擇性地過正方形的頂點作平行x軸或y軸的輔助線，此時正方形的邊與輔助線們便會形成若干組直角三角形，通過對三角形全等的證明，這使得欲求點（即由需要論證的結(jié)果逆向推理而選定的未知點）的坐標成為了已知，而圍繞點的各種運算都是我們所熟悉的.于是這類習題的求解過程，經(jīng)此一番轉(zhuǎn)換變得非常規(guī)范和有趣.為了證明該說法的可行性，特舉例如下.

例1 如圖（一），已知

O1，O2，O3，O4是正方形ABEF，BCGH，CDPQ，DARS的中心，

求證：O1O3⊥O2O4.

證明 在圖（一）上（按上

述建標之要求）建立平面直角

坐標系，然后過E，H 作x軸

的平行線分別交y軸于E1，H1，過 Q，D，R，作y軸的平行線分別交

x軸于Q1，D1，R1，設(shè)點：A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（d，e），于是我們由AB=BE，∠ABO=∠BEE1推出Rt△ABO≌Rt△BEE1（注：本文推出全等的過程都略而不寫的理由附記于后），再由全等（注：點坐標與線段的聯(lián)系其正負符號的選用存在訣竅，隨后亦有自行體驗的說明）推出：

AO=BE1=-a，BO=EE1=-b

綜合（13）、（14）給出的信息（此即確定欲求點的條件），我們立刻可求得下列各欲求點的坐標：D（a-6b，-a），F(xiàn)（a+6b，a-4b），設(shè)DF的中點為R1（x，y），由中點公式于是可求得：R1（a，-2b），因已求得R（a，-2b）的情形存在，故知R和R1重合，此即D， R，F(xiàn)三點共線，且同時由此而知R必平分DF.證明完畢.

特別說明：該證明過程所建立的直角坐標系分別與正方形的邊垂直和平行，這也是最合適的建標方式中的一種，在這一操作之下，同一正方形共有三個頂點落在了坐標軸上，這樣的頂點坐標使整個圖形最為簡潔，以這些頂點為頂點的輔助三角形們又通過套路證全等的途徑將設(shè)定點（本題中我們要注意OA=4b的設(shè)定有一定特色，這也是簡化運算過程的一種設(shè)定，且很多情況下都可以這樣操作）的信息傳遞給了欲求點，從而為下一步操作做出貢獻.

以上兩例與正方形有關(guān)的平面直角坐標系的建立，瞄準的都是一個“簡”字，在這個“簡”字下，繁難變得清晰，迷途中沒有驚慌，特別是在我們自行體驗求角相等的套路之后，對輔助三角形全等的確定有了充分的把握，進而有效地推進了向欲求點信息的傳遞，不用說這為中點公式的利用、斜率公式的利用、距離公式的利用……立下了汗馬功勞.總之，這么一個“簡”字，一次次為我們的后續(xù)論證提供了實實在在的方便，也一次次為我們展示了可圈可點潛能.

我們認為熟練地掌握幾種習題的演證過程，會使人們的思緒進入一種自信狀態(tài)，而自信是破的基礎(chǔ)，本文采用的這種與正方形有關(guān)的規(guī)律解析習題的方法簡單易記、切實可行，是建立起這種自信心理的加速劑.就例1的情形來說吧，如果用平面幾何的方法來求解，則必須用既靈且巧的一些特殊方法來助陣，否則將勞而無功，由于該題的非解析求解存在相當大的難度，誤時誤事的情形時常有之.為從根本上解除這種困擾，我們建議有意諸君不妨將例1的兩種求解方式一一探試，體驗其不同求解思路的風韻.兩相比較之下，我們當然地更喜歡本規(guī)律解析的直觀和明朗.希此心得的交流能獲共鳴，并希就此能形成一種求解共識，從根本上解決這類與正方形有關(guān)的幾何習題的求解.由此進一步議而論之：對于比較繁難或凡難于上手的一類幾何習題的求解（譬如與三角形、與圓、與其組合形式有關(guān)的幾何習題），在使用平面幾何的方法暫時不得要領(lǐng)的情況下，大多可參考這一求解規(guī)律的思路而直明真諦.