【摘要】本文闡述了數(shù)學(xué)開(kāi)放題的含義及特點(diǎn)，探討了數(shù)學(xué)開(kāi)放題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的作用.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)開(kāi)放題；創(chuàng)新能力；發(fā)散思維

數(shù)學(xué)開(kāi)放題始于70年代，由一個(gè)日本學(xué)者群體率先研究“開(kāi)放式結(jié)尾（openended）問(wèn)題”.這很快得到世界各國(guó)數(shù)學(xué)界的支持.1998年2月經(jīng)我國(guó)教育研究小組批準(zhǔn)“開(kāi)放題——數(shù)學(xué)教學(xué)的新模式”立項(xiàng)為全國(guó)教學(xué)科學(xué)規(guī)劃重點(diǎn)課題.1998年全國(guó)數(shù)學(xué)高考試卷中，首次出現(xiàn)了開(kāi)放性問(wèn)題.現(xiàn)在數(shù)學(xué)開(kāi)放題已成為教改的熱點(diǎn)，日益受到教育界的重視.

數(shù)學(xué)開(kāi)放題調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，激發(fā)學(xué)生的求知欲和進(jìn)取精神，有利于培養(yǎng)發(fā)散思維和創(chuàng)造性能力.本文試從數(shù)學(xué)開(kāi)放題提高學(xué)生的創(chuàng)新能力這一角度，對(duì)其教育價(jià)值作探討.

一、數(shù)學(xué)開(kāi)放題幾個(gè)理論問(wèn)題

1.數(shù)學(xué)開(kāi)放題的含義

“數(shù)學(xué)開(kāi)放題”并非是業(yè)經(jīng)審定的規(guī)范數(shù)學(xué)名詞，至今數(shù)學(xué)教育界并未形成公認(rèn)的界定.通常的理解是指“條件”“解法”“結(jié)論”具有多樣化和不確定性的問(wèn)題.筆者認(rèn)為，開(kāi)放題是給學(xué)生解的，因此必須要考慮解題主體——人的主觀能動(dòng)作用.學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和解題能力有很大的差別，他們?cè)诓煌碾A段對(duì)同一問(wèn)題的認(rèn)識(shí)也不同，有些題對(duì)一些人是開(kāi)放的，但對(duì)另一些人可能是封閉的.例如，對(duì)幾個(gè)人兩兩握手共握多少次的問(wèn)題，在學(xué)生學(xué)習(xí)組合知識(shí)之前解法很多，是一個(gè)開(kāi)放題，在學(xué)習(xí)組合知識(shí)之后則是一個(gè)封閉題.

從現(xiàn)代心理學(xué)的研究來(lái)分析，一道題的開(kāi)放性和封閉性

取決于這道題對(duì)解題主體激發(fā)的思維之性質(zhì).如果激發(fā)的思維是發(fā)散性的，就是開(kāi)放題.因此，能激發(fā)發(fā)散思維且解決方向（思路）不唯一的數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)開(kāi)放題.

2.數(shù)學(xué)開(kāi)放題的分類

數(shù)學(xué)開(kāi)放題的分類也有好幾種，有按數(shù)學(xué)命題未知要素

劃分的，有按題目解答要求劃分的，有按答案劃分的，有按學(xué)習(xí)過(guò)程的訓(xùn)練價(jià)值劃分的.如果按未知要素分類，數(shù)學(xué)開(kāi)放題可分為：

（1） 題設(shè)開(kāi)放題

給定結(jié)論，沒(méi)有給出條件或條件不完備，來(lái)反探滿足結(jié)論

的條件，而結(jié)論的條件并不唯一.

（2）策略方法開(kāi)放題

給出了條件和結(jié)論，但其解題策略和方法不明確，需根據(jù)

條件找到不同的解決策略，從而尋找最優(yōu)解.

（3）結(jié)論開(kāi)放題

給出條件，結(jié)論是未知的或不確定的，需在給定條件下

探討出結(jié)論.

（4）綜合開(kāi)放題

只給出一定的問(wèn)題情景，其條件、解題策略和結(jié)論均

需解題者在情景中去設(shè)定和尋找.

3.數(shù)學(xué)開(kāi)放題的特點(diǎn)

下面通過(guò)分析一道典型的數(shù)學(xué)開(kāi)放題來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)開(kāi)

放題的特點(diǎn).

例如：在一塊矩形地上欲開(kāi)辟出一部分作為花壇，要使花壇

的面積為矩形面積的一半，請(qǐng)給出你的設(shè)計(jì)方案.

這道題的條件是“一塊矩形地塊”，結(jié)論是“使花壇的面積為矩形面積的一半”.而設(shè)計(jì)方案與理論依據(jù)不確定，因人而異，從而使得具體的結(jié)果不確切（結(jié)果是“面積”為矩形面積的一半的花壇，而題目對(duì)“花壇”沒(méi)有形狀方面的規(guī)定），這就需要解題者打破原有的思維模式，展開(kāi)聯(lián)想和想象的翅膀，從多角度、多方面尋找答案即進(jìn)行發(fā)散思維.

以上題為例，我們可歸納出數(shù)學(xué)開(kāi)放題的以下特征.

（1）非完備性.

在開(kāi)放題中，要么條件不充足，要么結(jié)論省去，要么解題方法和依據(jù)不明確，因而其四要素是不完備的.

（2）不確定性.

對(duì)于條件開(kāi)放題而言，其條件可能是多樣的；對(duì)于結(jié)論

開(kāi)放題而言，其結(jié)論是不唯一的；對(duì)于策略開(kāi)放題而言，它只給出一定的問(wèn)題情景，其條件、解題策略和結(jié)論均需解題者在情景中去設(shè)定和尋找.

（3）發(fā)散性.

數(shù)學(xué)開(kāi)放題需要解題者聯(lián)合運(yùn)用觀察、想象、分析、綜

合、類比、演繹、歸納、概括等思維方法，同時(shí)探索多個(gè)解決方向，創(chuàng)造新思維和新方法，獲得多種結(jié)果，并加以整理和論證.

（4）探究性.

開(kāi)放題的解答沒(méi)有固定的、現(xiàn)成的模式，解題者不能用

常規(guī)方法套用，必須經(jīng)過(guò)思索，自己來(lái)設(shè)計(jì)解題方案.因而，問(wèn)題的解決需要有大膽的探索精神和一定的探索能力.

（5）創(chuàng)新性.

在解答開(kāi)放題的過(guò)程中，可能引申推廣出更一般的問(wèn)

題，這些往往是意料之外的事情.因而，開(kāi)放題有利于學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造能力的培養(yǎng).

二、 利用數(shù)學(xué)開(kāi)放題提高學(xué)生創(chuàng)新能力

創(chuàng)新是人類的一種特有的意識(shí)和能力的表現(xiàn)，主要是指

人類對(duì)原有理論知識(shí)或行為方式的突破或改變，并以前所未有的積極形式表現(xiàn)出來(lái)，是一種全新的創(chuàng)造發(fā)明.由于數(shù)學(xué)開(kāi)放題有思維發(fā)散的特征，所以有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

1.數(shù)學(xué)開(kāi)放題比數(shù)學(xué)封閉題更有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力

傳統(tǒng)封閉題條件完備，答案固定，解法單一，有固定的

套路，定向性強(qiáng)，有利于鞏固推理技巧和加深知識(shí)理解.但正因?yàn)檫@樣的特點(diǎn)，學(xué)生通過(guò)模仿就能掌握，所以會(huì)導(dǎo)致學(xué)生偏重記憶一些方面的方法和發(fā)展一些具體機(jī)能來(lái)通過(guò)考試.這禁錮了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).而開(kāi)放題的條件不充分或沒(méi)有確定的結(jié)論，不囿于唯一答案或鉆牛角尖的探求.在某些方面需要?jiǎng)?chuàng)造出新的思想和新的方法來(lái)解決到底，做多方探求和全新創(chuàng)造.因此開(kāi)放題有利于創(chuàng)新能力的培養(yǎng).

1990年，學(xué)者胡林瑞用5道外國(guó)開(kāi)放數(shù)學(xué)題對(duì)安徽省黃山市屯溪二中51名初中和高中學(xué)生做一次測(cè)試，得出“高中生解這類題的能力并不比初中生強(qiáng)，他們雖然多讀了三年書(shū)，知識(shí)和技能上可能多一些，但發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造性思維能力都無(wú)甚增長(zhǎng)”的令人驚訝的結(jié)論.測(cè)試說(shuō)明知識(shí)、技能的堆砌對(duì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力的發(fā)展沒(méi)有幫助.

這些問(wèn)題都說(shuō)明，數(shù)學(xué)開(kāi)放題確實(shí)比封閉題更利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

2.數(shù)學(xué)開(kāi)放題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的作用

下面我們從一道數(shù)學(xué)開(kāi)放題來(lái)分析：

例如，甲、乙兩人連續(xù)6年對(duì)某縣農(nóng)村養(yǎng)雞專業(yè)規(guī)模進(jìn)行調(diào)查，提供兩個(gè)不同信息（如甲、乙兩圖）.

甲調(diào)查表明：從第1年每個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)出產(chǎn)1萬(wàn)只雞上升到第6年平均每個(gè)雞場(chǎng)出產(chǎn)2萬(wàn)只雞.

乙調(diào)查表明：由第1年養(yǎng)雞場(chǎng)個(gè)數(shù)30個(gè)減少到第6年10個(gè)，請(qǐng)你根據(jù)提供的信息說(shuō)明：

（1） 第2年養(yǎng)雞場(chǎng)的個(gè)數(shù)及全縣出產(chǎn)雞總數(shù)；

（2）到第6年這個(gè)縣的養(yǎng)雞業(yè)比第1年擴(kuò)大了還是縮小了？（說(shuō)明理由）

（3）哪一年的規(guī)模最大？（說(shuō)明理由）

這是一道數(shù)學(xué)策略開(kāi)放題，題目給出了實(shí)際問(wèn)題的情景及所要求的結(jié)論，要求學(xué)生根據(jù)題意對(duì)一些常見(jiàn)的可能進(jìn)行列舉、計(jì)算，這種解答推理過(guò)程沒(méi)有現(xiàn)成的模式可套，就需要學(xué)生探求新的思路和方法.可利用圖表提供的信息，選擇一次函數(shù)作為模型，也可以利用等差數(shù)列的模型，這樣實(shí)現(xiàn)了實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)化，從而得出以下結(jié)論：

（1） 第2年養(yǎng)雞場(chǎng)個(gè)數(shù)為26個(gè)，全縣出產(chǎn)雞總數(shù)312萬(wàn)只.

（2）規(guī)?？s小，原因是：第1年出產(chǎn)雞總數(shù)30萬(wàn)只，第6年出產(chǎn)雞總數(shù)為20萬(wàn)只.

（3）第幾年規(guī)模最大，即出產(chǎn)雞總數(shù)最多，只要求a b= 的最大值，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)，結(jié)合實(shí)際情況，可求得時(shí)最大值為31.2萬(wàn)只.

在解答這道題的過(guò)程中，沒(méi)有固定的、現(xiàn)成的模式可循，僅靠死記硬背、機(jī)械模仿不可能找到的解答，學(xué)生必須充分調(diào)動(dòng)自己的知識(shí)儲(chǔ)備，積極開(kāi)展智力活動(dòng)，多角度，用多種思維方法進(jìn)行思考和探索.所以，開(kāi)放題可以提高創(chuàng)新能力，引入數(shù)學(xué)開(kāi)放題有利于克服傳統(tǒng)封閉題給學(xué)生帶來(lái)的定式影響，有助于培養(yǎng)學(xué)生的探索研究精神進(jìn)而提高他們的創(chuàng)新能力，推進(jìn)素質(zhì)教育.