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        分類討論思想在函數(shù)教學(xué)中的滲透

        2014-04-29 00:00:00張國(guó)鳳
        學(xué)園 2014年2期

        【摘 要】分類討論思想是高考數(shù)學(xué)考試說(shuō)明中明確要考查的四大基本數(shù)學(xué)思想之一,常應(yīng)用在函數(shù)問(wèn)題中,學(xué)生在熟知函數(shù)的相關(guān)概念和性質(zhì)后,教師有必要在教學(xué)時(shí)滲透分類討論的思想方法,引導(dǎo)學(xué)生找到分類的動(dòng)機(jī),即明確分類的目的。

        【關(guān)鍵詞】函數(shù)教學(xué) 分類討論 分類的動(dòng)機(jī)

        【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810(2014)02-0057-02

        一 引言

        分類討論思想是高中數(shù)學(xué)重要的數(shù)學(xué)思想之一,分類討論在函數(shù)中體現(xiàn)為兩方面,一是函數(shù)解析式的分段討論,二是含有參數(shù)的函數(shù)問(wèn)題。學(xué)生遇到此類題時(shí),要么束手無(wú)策,要么認(rèn)為題目有問(wèn)題,無(wú)法解或無(wú)解,沒(méi)法明白分類的動(dòng)機(jī),分類時(shí)出現(xiàn)困難??梢?jiàn)學(xué)生對(duì)分類思想方法掌握不好,因此,分類思想既是老師教學(xué)的重難點(diǎn),也是學(xué)生能力的體現(xiàn)。

        二 分類討論思想的涵義

        當(dāng)我們遇到的問(wèn)題中的條件不足以得到一個(gè)確定答案或好像無(wú)法求解時(shí),就是用分類討論的思想方法求解的時(shí)候了,把原問(wèn)題分解成相對(duì)獨(dú)立的“小問(wèn)題”來(lái)處理,綜合對(duì)這些小問(wèn)題的解答,便可推證出原問(wèn)題的結(jié)論。這個(gè)過(guò)程就叫做分類討論,這種思想叫做分類討論思想。分類討論解題的實(shí)質(zhì),是將整體問(wèn)題化為部分問(wèn)題來(lái)解決,化成部分問(wèn)題后,就增加了問(wèn)題的定解條件。即分類討論是“化整為積,各個(gè)擊破,再化積為整”的教學(xué)策略。

        三 分類討論的動(dòng)機(jī)探究

        請(qǐng)看下面的例子:

        例1,求函數(shù)f(x)=│x-1│+│x+2│的值域。

        探究如下:

        學(xué)生:看起來(lái)不好入手解題,它不是基本初等函數(shù)的類型,而是與x相關(guān)的兩個(gè)絕對(duì)值。

        教師:常見(jiàn)的函數(shù)沒(méi)有絕對(duì)值,因此有必要對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn),化簡(jiǎn)的目的是去掉絕對(duì)值,怎么去掉絕對(duì)值呢?

        學(xué)生:絕對(duì)值里面的正負(fù)是關(guān)鍵,如果知道x-1,x+2分別與零的大小,就可以去掉絕對(duì)值符號(hào)。

        教師:大小關(guān)系有多少種情況呢?

        學(xué)生:有(1) ,或者(2)

        教師:除了這兩種情況,還能有其他的情形嗎?

        學(xué)生:還可以是一正一負(fù)(3) ,或者(4) 。

        教師:分成以上四種情況,但是(4)無(wú)解集所以得排除。

        學(xué)生:(1)當(dāng)x≥1時(shí),f(x)=x-1+x+2=2x+1;(2)當(dāng)-2

        綜上有 ,作出圖像得到值域?yàn)?/p>

        [3,+∞)。

        總結(jié):當(dāng)學(xué)生的思維受到局限時(shí),教師可以使用問(wèn)答的方式一步一步地引導(dǎo)學(xué)生解決疑難,可以適當(dāng)增加條件限制變量的范圍來(lái)確定解析式,從而達(dá)到化簡(jiǎn)的目的,把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成熟悉的問(wèn)題,提高學(xué)生的邏輯思維能力。所以要學(xué)生會(huì)用分類討論的思想方法來(lái)解題,首先要知道的問(wèn)題是在什么情況下要考慮到分類討論?其次是明白為什么要分類討論?分類之后會(huì)有哪樣的優(yōu)勢(shì)?也就是明確分類的動(dòng)機(jī)。我們面對(duì)的很多數(shù)學(xué)題以及生活中碰到的很多問(wèn)題,因?yàn)橛幸欢ǖ淖償?shù)而使結(jié)果模糊,當(dāng)我們把變數(shù)明晰化,實(shí)際上就是增加一個(gè)或多個(gè)定解條件時(shí),就可以得到確定的答案。

        四 函數(shù)分類的情形

        函數(shù)分類討論大致分為兩類,一類是分段函數(shù),分類討論后才能進(jìn)行解答;一類是函數(shù)的性質(zhì)是分類的,典型的例子是含有參數(shù)的問(wèn)題。如函數(shù)性質(zhì)中根據(jù)奇偶性的分類,對(duì)某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性討論;一次函數(shù)、反比例函數(shù)中參數(shù)k的情況與單調(diào)性討論;二次函數(shù)的參數(shù)討論以及動(dòng)的對(duì)稱軸;指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)中對(duì)底數(shù)的分類討論;冪函數(shù)的冪指數(shù)對(duì)函數(shù)性質(zhì)的影響;三角函數(shù)中依據(jù)角所在的象限對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的分類;以及三角函數(shù)的定義域;等比數(shù)列前n項(xiàng)和q=1,q≠1的討論;直線的截距,兩直線的位置關(guān)系與k之間的不確定性;導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與參數(shù)的不確定性討論等。

        例2,(2013年山東)已知函數(shù) (e=2.71828…

        是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),c∈R)。(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間、最大值;(2)討論關(guān)于x的方程│lnx│=f(x)根的個(gè)數(shù)。

        分析:(1)利用的是導(dǎo)函數(shù)來(lái)討論單調(diào)性;(2)題是在(1)的基礎(chǔ)上,有絕對(duì)值的形式,根據(jù)絕對(duì)值里面lnx的正負(fù)進(jìn)行討論,因此分段是關(guān)鍵,題目根的個(gè)數(shù)就轉(zhuǎn)化成一個(gè)分段函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,而零點(diǎn)的確定需要知道圖像的大概走勢(shì),也就是利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,利用最小值來(lái)和0做比較。

        解析過(guò)程:

        (1)f'(x)=e –2x(1-2x)易知f(x)在(-∞, )

        遞增,(-∞, )遞減且f'( )=0,f(x)有最大值

        。

        (2)設(shè)g(x)=│lnx│-f(x),則方程的根就轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)的零點(diǎn),求方程根的個(gè)數(shù)就是求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),

        則 ,由導(dǎo)函數(shù)知,當(dāng)x≥1時(shí),

        函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)0

        綜上當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),都有g(shù)(x)≥g(l)=-e-2-c。

        思路點(diǎn)撥:既然g(x)有最小值g(l),那么g(l)與0的大小情況如何?(1)當(dāng)g(l)=-e-2-c>0時(shí),函數(shù)圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn),即c<-e-2時(shí)g(x)沒(méi)有零點(diǎn),∴方程根個(gè)數(shù)為0個(gè)。(2)當(dāng)g(l)=-e-2-c=0時(shí),函數(shù)圖像與x軸有1個(gè)交點(diǎn),即c=-e-2時(shí)g(x)有1個(gè)零點(diǎn),∴方程根個(gè)數(shù)為1個(gè)。(3)當(dāng)g(l)=-e-2-c<0時(shí),即c>-e-2根據(jù)零點(diǎn)存在定理,要使g(x)有零點(diǎn),則必然有當(dāng)x≥1時(shí),由(1)

        知g(x)=lnx-xe-2x-c≥lnx-( e-1+c)>lnx-1+c,要

        使g(x)>0,lnx-1-c>0,即x∈(e1+c,+∞)。

        當(dāng)0

        >-lnx-1-c,要使g(x)>0,只需要-lnx-1-c>0,∴x∈(0,e-1-c)。

        綜上當(dāng)c>-e-2時(shí),g(x)有兩個(gè)零點(diǎn),即方程有兩個(gè)根。

        總結(jié):例題中討論根的情況轉(zhuǎn)化成函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題是一大難點(diǎn),一部分學(xué)生在分段得到最小值后就不知如何繼續(xù),沒(méi)有找到分類的動(dòng)機(jī),感覺(jué)手忙腳亂,因此懷疑自己的解題思路,最終不能將解題進(jìn)行下去。還有學(xué)生在(3)中不知如何設(shè)定情況繼續(xù)討論,在大的前提下又進(jìn)行分類討論,是學(xué)生的薄弱點(diǎn),拿捏不好分類的尺度,因此在討論時(shí)把握分類的動(dòng)機(jī),明確分類標(biāo)準(zhǔn)非常重要。

        五 分類討論的標(biāo)準(zhǔn)

        要有明確的分類標(biāo)準(zhǔn):對(duì)討論對(duì)象分類時(shí)要不重復(fù)、不遺漏,即分成若干類,其并集為全集,兩兩的交集為空集;當(dāng)討論的對(duì)象不止一種時(shí),應(yīng)分層次進(jìn)行,以避免混亂,分大類時(shí)有一個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn),每一大類中再分幾小類可另有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。

        例3,(2010年全國(guó)I)已知f(x)=3ax4-2(3a+1)

        x2+4x。(1)當(dāng)a= 時(shí),求f(x)的極值;(2)若f(x)在

        (-1,1)是增函數(shù),求a的取值范圍。

        解:(1)略。

        (2)易知f'(x)=4(x-1)(3ax2+3ax-1),在(-1,1)上f(x)是增函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)f'(x)≥0,∵x<1,∴x-1<0,那么就有3ax2+3ax-1≤0恒成立。

        思路:這是一個(gè)一元二次不等式嗎?不一定。

        (1)當(dāng)a=0時(shí),有-1≤0成立;

        (2)當(dāng)a>0時(shí),要滿足條件則需3a·12+3a·1-1≤0,

        解得a≤ 。所以,00的前提下,是且的

        關(guān)系,最后取兩者的交集)。

        (3)當(dāng)a<0時(shí),則導(dǎo)函數(shù)圖像與x軸最多有一個(gè)交點(diǎn)

        △=(3a)2-4·3a·(-1)≤0,解得 ≤a≤0,所以有

        ≤a<0。

        綜上,a的取值范圍為 。

        (三種情況都滿足條件,是或的關(guān)系,所以為三個(gè)結(jié)果的并集)

        總結(jié):本題容易忽視分類討論或討論不到位是出錯(cuò)的關(guān)鍵,對(duì)于分類結(jié)果的表示不周全,以下是分類討論結(jié)果的表述:求某個(gè)未知量,如果對(duì)這個(gè)未知量進(jìn)行分類討論,那么各類的解集取并集;求某個(gè)參變量,如果對(duì)這個(gè)參變量進(jìn)行分類討論,那么各類的解集取并集;求未知量,若對(duì)參變量進(jìn)行分類討論,由于每類情況的前提條件不同,那么各類的結(jié)果應(yīng)分類表述,所求未知量要同時(shí)滿足各種前提,則應(yīng)對(duì)各種分類討論的結(jié)果求交集。

        六 教學(xué)啟示

        分類思想是自然科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)研究的基本邏輯方法,它貫穿于各類知識(shí)之中,在教學(xué)的各個(gè)階段都起著重要的作用。分類的過(guò)程,可培養(yǎng)學(xué)生思考的周密性與條理性,而分類討論,又有助于提高學(xué)生研究問(wèn)題,探索規(guī)律的能力。分類思想不同于一般數(shù)學(xué)知識(shí),通過(guò)幾節(jié)課就可掌握,有很多是依賴經(jīng)驗(yàn)和解題的習(xí)慣。因此教師在備課時(shí)應(yīng)有意識(shí)地結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容,滲透分類思想,養(yǎng)成分類的意識(shí),把分類思想方法融入到具體教學(xué)過(guò)程中;在解題教學(xué)中讓學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)分類方法,增強(qiáng)思維的縝密性,提高合理解題的能力。教學(xué)中應(yīng)掌握化隱為顯、循序漸進(jìn)、學(xué)生參與的原則,并且反復(fù)滲透、適時(shí)突破。如前面例子中對(duì)a進(jìn)行分類,可采用提示語(yǔ)引導(dǎo)學(xué)生:為什么這樣分類?分類后有什么優(yōu)勢(shì)?分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么?

        學(xué)生的主體地位即是讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體,教師在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中只是發(fā)揮引導(dǎo)和點(diǎn)播作用。在教學(xué)過(guò)程中,教師可以通過(guò)分類討論來(lái)充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的主體地位;老師對(duì)分類思想進(jìn)行講解以后,可以引導(dǎo)學(xué)生自己來(lái)對(duì)已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行分類探討,特別是針對(duì)學(xué)生容易出錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn),讓學(xué)生通過(guò)討論來(lái)對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)有更加清晰的認(rèn)識(shí),對(duì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行總結(jié),將知識(shí)點(diǎn)的欠缺歸納到每一個(gè)知識(shí)類別上,這樣有助于學(xué)生自身知識(shí)體系的完善,在平時(shí)的教學(xué)中要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生感悟和體驗(yàn)分類在解決類似問(wèn)題中的積極作用。但要注意的是,在運(yùn)用時(shí),不要盲目或機(jī)械地進(jìn)行分類討論,有的題目雖然含有分類因素,但不要急于分類討論,要首先對(duì)問(wèn)題做深入研究,充分挖掘題目的已知量與未知量之間的關(guān)系,再尋求討論,使問(wèn)題更簡(jiǎn)單。

        參考文獻(xiàn)

        [1]曹賢鳴、阮孟國(guó).分類討論及其應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2002(8)

        [2]錢珮玲編.中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2008

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