【摘 要】分類討論思想是高考數(shù)學(xué)考試說(shuō)明中明確要考查的四大基本數(shù)學(xué)思想之一，常應(yīng)用在函數(shù)問(wèn)題中，學(xué)生在熟知函數(shù)的相關(guān)概念和性質(zhì)后，教師有必要在教學(xué)時(shí)滲透分類討論的思想方法，引導(dǎo)學(xué)生找到分類的動(dòng)機(jī)，即明確分類的目的。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)教學(xué) 分類討論 分類的動(dòng)機(jī)

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2014）02-0057-02

一 引言

分類討論思想是高中數(shù)學(xué)重要的數(shù)學(xué)思想之一，分類討論在函數(shù)中體現(xiàn)為兩方面，一是函數(shù)解析式的分段討論，二是含有參數(shù)的函數(shù)問(wèn)題。學(xué)生遇到此類題時(shí)，要么束手無(wú)策，要么認(rèn)為題目有問(wèn)題，無(wú)法解或無(wú)解，沒(méi)法明白分類的動(dòng)機(jī)，分類時(shí)出現(xiàn)困難?？梢?jiàn)學(xué)生對(duì)分類思想方法掌握不好，因此，分類思想既是老師教學(xué)的重難點(diǎn)，也是學(xué)生能力的體現(xiàn)。

二 分類討論思想的涵義

當(dāng)我們遇到的問(wèn)題中的條件不足以得到一個(gè)確定答案或好像無(wú)法求解時(shí)，就是用分類討論的思想方法求解的時(shí)候了，把原問(wèn)題分解成相對(duì)獨(dú)立的“小問(wèn)題”來(lái)處理，綜合對(duì)這些小問(wèn)題的解答，便可推證出原問(wèn)題的結(jié)論。這個(gè)過(guò)程就叫做分類討論，這種思想叫做分類討論思想。分類討論解題的實(shí)質(zhì)，是將整體問(wèn)題化為部分問(wèn)題來(lái)解決，化成部分問(wèn)題后，就增加了問(wèn)題的定解條件。即分類討論是“化整為積，各個(gè)擊破，再化積為整”的教學(xué)策略。

三 分類討論的動(dòng)機(jī)探究

請(qǐng)看下面的例子：

例1，求函數(shù)f（x）=│x-1│+│x+2│的值域。

探究如下：

學(xué)生：看起來(lái)不好入手解題，它不是基本初等函數(shù)的類型，而是與x相關(guān)的兩個(gè)絕對(duì)值。

教師：常見(jiàn)的函數(shù)沒(méi)有絕對(duì)值，因此有必要對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)的目的是去掉絕對(duì)值，怎么去掉絕對(duì)值呢？

學(xué)生：絕對(duì)值里面的正負(fù)是關(guān)鍵，如果知道x-1，x+2分別與零的大小，就可以去掉絕對(duì)值符號(hào)。

教師：大小關(guān)系有多少種情況呢？

學(xué)生：有（1） ，或者（2）

教師：除了這兩種情況，還能有其他的情形嗎？

學(xué)生：還可以是一正一負(fù)（3） ，或者（4） 。

教師：分成以上四種情況，但是（4）無(wú)解集所以得排除。

學(xué)生：（1）當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=x-1+x+2=2x+1；（2）當(dāng)-2

綜上有 ，作出圖像得到值域?yàn)?/p>

[3，+∞）。

總結(jié)：當(dāng)學(xué)生的思維受到局限時(shí)，教師可以使用問(wèn)答的方式一步一步地引導(dǎo)學(xué)生解決疑難，可以適當(dāng)增加條件限制變量的范圍來(lái)確定解析式，從而達(dá)到化簡(jiǎn)的目的，把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成熟悉的問(wèn)題，提高學(xué)生的邏輯思維能力。所以要學(xué)生會(huì)用分類討論的思想方法來(lái)解題，首先要知道的問(wèn)題是在什么情況下要考慮到分類討論？其次是明白為什么要分類討論？分類之后會(huì)有哪樣的優(yōu)勢(shì)？也就是明確分類的動(dòng)機(jī)。我們面對(duì)的很多數(shù)學(xué)題以及生活中碰到的很多問(wèn)題，因?yàn)橛幸欢ǖ淖償?shù)而使結(jié)果模糊，當(dāng)我們把變數(shù)明晰化，實(shí)際上就是增加一個(gè)或多個(gè)定解條件時(shí)，就可以得到確定的答案。

四 函數(shù)分類的情形

函數(shù)分類討論大致分為兩類，一類是分段函數(shù)，分類討論后才能進(jìn)行解答；一類是函數(shù)的性質(zhì)是分類的，典型的例子是含有參數(shù)的問(wèn)題。如函數(shù)性質(zhì)中根據(jù)奇偶性的分類，對(duì)某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性討論；一次函數(shù)、反比例函數(shù)中參數(shù)k的情況與單調(diào)性討論；二次函數(shù)的參數(shù)討論以及動(dòng)的對(duì)稱軸；指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)中對(duì)底數(shù)的分類討論；冪函數(shù)的冪指數(shù)對(duì)函數(shù)性質(zhì)的影響；三角函數(shù)中依據(jù)角所在的象限對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的分類；以及三角函數(shù)的定義域；等比數(shù)列前n項(xiàng)和q=1，q≠1的討論；直線的截距，兩直線的位置關(guān)系與k之間的不確定性；導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與參數(shù)的不確定性討論等。

例2，（2013年山東）已知函數(shù) （e=2.71828…

是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，c∈R）。（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間、最大值；（2）討論關(guān)于x的方程│lnx│=f（x）根的個(gè)數(shù)。

分析：（1）利用的是導(dǎo)函數(shù)來(lái)討論單調(diào)性；（2）題是在（1）的基礎(chǔ)上，有絕對(duì)值的形式，根據(jù)絕對(duì)值里面lnx的正負(fù)進(jìn)行討論，因此分段是關(guān)鍵，題目根的個(gè)數(shù)就轉(zhuǎn)化成一個(gè)分段函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，而零點(diǎn)的確定需要知道圖像的大概走勢(shì)，也就是利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，利用最小值來(lái)和0做比較。

解析過(guò)程：

（1）f'（x）=e –2x（1-2x）易知f（x）在（-∞， ）

遞增，（-∞， ）遞減且f'（ ）=0，f（x）有最大值

。

（2）設(shè)g（x）=│lnx│-f（x），則方程的根就轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）的零點(diǎn)，求方程根的個(gè)數(shù)就是求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，

則 ，由導(dǎo)函數(shù)知，當(dāng)x≥1時(shí)，

函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)0

綜上當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，都有g(shù)（x）≥g（l）=-e-2-c。

思路點(diǎn)撥：既然g（x）有最小值g（l），那么g（l）與0的大小情況如何？（1）當(dāng)g（l）=-e-2-c>0時(shí)，函數(shù)圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，即c<-e-2時(shí)g（x）沒(méi)有零點(diǎn)，∴方程根個(gè)數(shù)為0個(gè)。（2）當(dāng)g（l）=-e-2-c=0時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有1個(gè)交點(diǎn)，即c=-e-2時(shí)g（x）有1個(gè)零點(diǎn)，∴方程根個(gè)數(shù)為1個(gè)。（3）當(dāng)g（l）=-e-2-c<0時(shí)，即c>-e-2根據(jù)零點(diǎn)存在定理，要使g（x）有零點(diǎn)，則必然有當(dāng)x≥1時(shí)，由（1）

知g（x）=lnx-xe-2x-c≥lnx-（ e-1+c）>lnx-1+c，要

使g（x）>0，lnx-1-c>0，即x∈（e1+c，+∞）。

當(dāng)0

>-lnx-1-c，要使g（x）>0，只需要-lnx-1-c>0，∴x∈（0，e-1-c）。

綜上當(dāng)c>-e-2時(shí)，g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)根。

總結(jié)：例題中討論根的情況轉(zhuǎn)化成函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題是一大難點(diǎn)，一部分學(xué)生在分段得到最小值后就不知如何繼續(xù)，沒(méi)有找到分類的動(dòng)機(jī)，感覺(jué)手忙腳亂，因此懷疑自己的解題思路，最終不能將解題進(jìn)行下去。還有學(xué)生在（3）中不知如何設(shè)定情況繼續(xù)討論，在大的前提下又進(jìn)行分類討論，是學(xué)生的薄弱點(diǎn)，拿捏不好分類的尺度，因此在討論時(shí)把握分類的動(dòng)機(jī)，明確分類標(biāo)準(zhǔn)非常重要。

五 分類討論的標(biāo)準(zhǔn)

要有明確的分類標(biāo)準(zhǔn)：對(duì)討論對(duì)象分類時(shí)要不重復(fù)、不遺漏，即分成若干類，其并集為全集，兩兩的交集為空集；當(dāng)討論的對(duì)象不止一種時(shí)，應(yīng)分層次進(jìn)行，以避免混亂，分大類時(shí)有一個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，每一大類中再分幾小類可另有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。

例3，（2010年全國(guó)I）已知f（x）=3ax4-2（3a+1）

x2+4x。（1）當(dāng)a= 時(shí)，求f（x）的極值；（2）若f（x）在

（-1，1）是增函數(shù)，求a的取值范圍。

解：（1）略。

（2）易知f'（x）=4（x-1）（3ax2+3ax-1），在（-1，1）上f（x）是增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)f'（x）≥0，∵x<1，∴x-1<0，那么就有3ax2+3ax-1≤0恒成立。

思路：這是一個(gè)一元二次不等式嗎？不一定。

（1）當(dāng)a=0時(shí)，有-1≤0成立；

（2）當(dāng)a>0時(shí)，要滿足條件則需3a·12+3a·1-1≤0，

解得a≤ 。所以，00的前提下，是且的

關(guān)系，最后取兩者的交集）。

（3）當(dāng)a<0時(shí)，則導(dǎo)函數(shù)圖像與x軸最多有一個(gè)交點(diǎn)

△=（3a）2-4·3a·（-1）≤0，解得 ≤a≤0，所以有

≤a<0。

綜上，a的取值范圍為 。

（三種情況都滿足條件，是或的關(guān)系，所以為三個(gè)結(jié)果的并集）

總結(jié)：本題容易忽視分類討論或討論不到位是出錯(cuò)的關(guān)鍵，對(duì)于分類結(jié)果的表示不周全，以下是分類討論結(jié)果的表述：求某個(gè)未知量，如果對(duì)這個(gè)未知量進(jìn)行分類討論，那么各類的解集取并集；求某個(gè)參變量，如果對(duì)這個(gè)參變量進(jìn)行分類討論，那么各類的解集取并集；求未知量，若對(duì)參變量進(jìn)行分類討論，由于每類情況的前提條件不同，那么各類的結(jié)果應(yīng)分類表述，所求未知量要同時(shí)滿足各種前提，則應(yīng)對(duì)各種分類討論的結(jié)果求交集。

六 教學(xué)啟示

分類思想是自然科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)研究的基本邏輯方法，它貫穿于各類知識(shí)之中，在教學(xué)的各個(gè)階段都起著重要的作用。分類的過(guò)程，可培養(yǎng)學(xué)生思考的周密性與條理性，而分類討論，又有助于提高學(xué)生研究問(wèn)題，探索規(guī)律的能力。分類思想不同于一般數(shù)學(xué)知識(shí)，通過(guò)幾節(jié)課就可掌握，有很多是依賴經(jīng)驗(yàn)和解題的習(xí)慣。因此教師在備課時(shí)應(yīng)有意識(shí)地結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容，滲透分類思想，養(yǎng)成分類的意識(shí)，把分類思想方法融入到具體教學(xué)過(guò)程中；在解題教學(xué)中讓學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)分類方法，增強(qiáng)思維的縝密性，提高合理解題的能力。教學(xué)中應(yīng)掌握化隱為顯、循序漸進(jìn)、學(xué)生參與的原則，并且反復(fù)滲透、適時(shí)突破。如前面例子中對(duì)a進(jìn)行分類，可采用提示語(yǔ)引導(dǎo)學(xué)生：為什么這樣分類？分類后有什么優(yōu)勢(shì)？分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

學(xué)生的主體地位即是讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體，教師在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中只是發(fā)揮引導(dǎo)和點(diǎn)播作用。在教學(xué)過(guò)程中，教師可以通過(guò)分類討論來(lái)充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的主體地位；老師對(duì)分類思想進(jìn)行講解以后，可以引導(dǎo)學(xué)生自己來(lái)對(duì)已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行分類探討，特別是針對(duì)學(xué)生容易出錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生通過(guò)討論來(lái)對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)有更加清晰的認(rèn)識(shí)，對(duì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行總結(jié)，將知識(shí)點(diǎn)的欠缺歸納到每一個(gè)知識(shí)類別上，這樣有助于學(xué)生自身知識(shí)體系的完善，在平時(shí)的教學(xué)中要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生感悟和體驗(yàn)分類在解決類似問(wèn)題中的積極作用。但要注意的是，在運(yùn)用時(shí)，不要盲目或機(jī)械地進(jìn)行分類討論，有的題目雖然含有分類因素，但不要急于分類討論，要首先對(duì)問(wèn)題做深入研究，充分挖掘題目的已知量與未知量之間的關(guān)系，再尋求討論，使問(wèn)題更簡(jiǎn)單。

參考文獻(xiàn)

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