【摘 要】采用最小二乘法配置回歸直線，把非線性擬合參數(shù)問題加以線性化，進(jìn)行參數(shù)估算，得到回歸直線實(shí)際應(yīng)用的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行了誤差分析，并給出了應(yīng)用的實(shí)例。

【關(guān)鍵詞】直線回歸；回歸方程；方差分析

0.引言

“回歸”是個(gè)借用已久因而相沿成習(xí)的名稱。若某一變量Y隨另一變量X的變動(dòng)而變動(dòng)，則稱X為自變量，Y為因變量。這種關(guān)系在數(shù)學(xué)上被稱為Y是X的函數(shù)，但在其他領(lǐng)域里，自變量與因變量的關(guān)系和數(shù)學(xué)上的函數(shù)關(guān)系有所不同。例如成年人年齡和血壓的關(guān)系，通過大量調(diào)查，看出平均收縮壓隨年齡的增長而增高，并且呈直線趨勢，但各點(diǎn)并非恰好都在直線上。為強(qiáng)調(diào)這一區(qū)別，統(tǒng)計(jì)上稱這是血壓在年齡上的回歸。

直線回歸（linear regression）是用直線回歸方程表示兩個(gè)數(shù)量變量間依存關(guān)系的統(tǒng)計(jì)分析方法，屬雙變量分析的范疇。如果某一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量的變化而變化，并且它們的變化在直角坐標(biāo)系中呈直線趨勢，就可以用一個(gè)直線方程來定量地描述它們之間的數(shù)量依存關(guān)系，這就是直線回歸分析?；貧w分析的方法在園藝植物、醫(yī)學(xué)領(lǐng)域等的生產(chǎn)和科學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用，如利用溫度或雨量的變化，預(yù)測某種園藝植物的主要物侯期 （ 萌芽、開花 ） 、產(chǎn)量、品質(zhì)以及病蟲害發(fā)生；應(yīng)用實(shí)生苗的某些性狀，預(yù)測成年樹的某些性狀等。

直線回歸分析中兩個(gè)變量的地位不同，其中一個(gè)變量是依賴另一個(gè)變量而變化的，因此分別稱為因變量（dependent variable）和自變量（independent variable），習(xí)慣上分別用y和x來表示。其中x可以是規(guī)律變化的或人為選定的一些數(shù)值（非隨機(jī)變量），也可以是隨機(jī)變量，前者稱為I型回歸，后者稱為II型回歸。

1.直線回歸方程式

將x與y兩個(gè)變數(shù)的n對觀察值（x，y），（x，y）...（x，y）分別以坐標(biāo)點(diǎn)的形式標(biāo)記于同一直角坐標(biāo)平面上，作成散點(diǎn)圖，如果這兩個(gè)變數(shù)的 n 對觀察值在散點(diǎn)圖上呈線性，則說明兩變數(shù)間的數(shù)量關(guān)系可用直線回歸方程來表示。在解析幾何上，表示一個(gè)平面上的任何直線方程的一般形式為：

=a+bx （1）

上式稱為“y依x的直線回歸方程”，x是自變量；a是x=0時(shí)y的值，也是回歸直線在y軸上的截距，叫做回歸截距（intercept）；b 是回歸系數(shù)（coefficient of regression），表示x每增加一個(gè)單位，y平均將要增加 （b>0）或減少（b<0）的單位數(shù)。

要使（1）式成為實(shí)際資料的最佳線性配合，并滿足預(yù)測要求，必須使觀測值yi與回歸值偏離達(dá)到最小。當(dāng)變量x取x（i=1，2，···，n）時(shí)，可以得到=bx+a（i=1，2，···，n）。它與實(shí)際收集到的yi之間的偏差是y-=y-（bx+a）（i=1，2，···，n）。

這樣，用這n個(gè)偏差的和來刻畫“各點(diǎn)與此直線的整體偏差”是比較合適的。由于（y-）可正可負(fù)，為了避免相互抵消，可以考慮用

y

-代替，但由于它含有絕對值，運(yùn)算不太方便，所以改用Q=（y-a-bx）···（2）來刻畫n個(gè)點(diǎn)與回歸直線在整體上的偏差。

這樣問題就歸結(jié)為：當(dāng)a，b取什么值時(shí)Q最小，即總體偏差最小。為此分別求Q關(guān)于a，b的偏導(dǎo)數(shù)，并令他們等于零：

Q（a，b）=

（y-a-bxi）（-2）=0

Q（a，b）=

（y

-a-bxi）（-2x）=0

解得

=

=

-b，其中=x，=y.

此時(shí)回歸直線為=+x。

通過求（2）式的最小值而得回歸直線的方法，即求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法。該方程是實(shí)際資料的線性最佳配合。

2.直線回歸方程式的計(jì)算

例1、測得某地10對父子身高（單位：英寸）如下：

表1

如果x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程；如果父親的身高為78英寸，試估計(jì)兒子的身高。

分析：對于兩個(gè)變量，在確定具有線性相關(guān)關(guān)系后，可以利用“最小二乘法”來求回歸方程。用“最小二乘法”求回歸直線方程的關(guān)鍵在于正確地利用回歸方程中系數(shù)公式求出系數(shù)，這樣回歸方程也就建立起來了。

首先根據(jù)實(shí)際觀測值計(jì)算出下列數(shù)據(jù)：

=∑x/n=668/10=66.8，=∑y/n=670.1/10=67.01

L=∑x-（∑x）/n=44794-（668）/10=171.6

L=∑xy-=44842.4-=79.72

L=∑y-（∑y）/n=44941.93-（670.1）/10=38.529

b===0.465

a=-b=67.01-0.465×66.8=35.948

=35.948+0.465x

所以當(dāng)父親的身高為78英寸時(shí)，估計(jì)兒子的身高約為72.2138英寸。

評注：“最小二乘法”是求回歸直線方程常用的方法，在回歸直線方程中，a，b是回歸直線方程中的系數(shù)，其中b是回歸直線的斜率，表示自變量變化1個(gè)單位時(shí)因變量的平均變化值。

例2、某醫(yī)生研究兒童體重與心臟橫徑的關(guān)系，測得13名8歲正常男童的體重與心臟橫徑，數(shù)據(jù)見表。試作回歸分析。

（1）以體重作為自變量，心臟橫徑作為因變量，作散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)呈直線趨勢，可擬合直線回歸方程。在作回歸直線圖時(shí)，以x變數(shù)為橫坐標(biāo)，y變數(shù)為縱坐標(biāo)，并標(biāo)明名稱和單位。若不是以零起始的，要在近原點(diǎn)處劃一折斷號。劃出直線圖后，應(yīng)將實(shí)際觀察各點(diǎn)標(biāo)明在圖上，且將回歸方程以及相關(guān)系數(shù)（或決定系數(shù)）分別標(biāo)于直線的上方或下方。同時(shí)應(yīng)注意，繪制的回歸直線兩端不要超出x變數(shù)的取值范圍。

表2 13名8歲健康男童體重與心臟橫徑的關(guān)系

（2）求回歸方程：本例n=13， （下轉(zhuǎn)第92頁）

（上接第58頁）∑x=301.5，∑x=7072.75，∑y=116.3，

∑y=1044.63，=23.19，=8.95，∑xy=2713.65，

L=∑x-（∑x）/n=7072.75-301.5/13=80.2692，

L=∑y-（∑y）/n=1044.63-116.3/13=4.1923，

L=∑xy-（∑x）（∑y）/n=2713.65-301.5*116.3/13=16.3846，

∴b===0.2041，a=-b=8.95-0.2041*23.19=4.2121，

∵回歸方程式為=4.2121+0.2041x。

根據(jù)直線回歸方程可作出回歸直線，并不是所有的散點(diǎn)都恰好落在回歸直線上，這說明用去估計(jì)y是有偏差的。

3.應(yīng)用直線回歸的注意事項(xiàng)

（1）作回歸分析要有實(shí)際意義，不能把毫無關(guān)聯(lián)的兩種現(xiàn)象，隨意進(jìn)行回歸分析，忽視事物現(xiàn)象間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律；如對兒童身高與小樹的生長數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析既無道理也無用途。

（2）直線回歸分析的資料，一般要求應(yīng)變量Y是來自正態(tài)總體的隨機(jī)變量，自變量X可以是正態(tài)隨機(jī)變量，也可以是精確測量和嚴(yán)密控制的值。若稍偏離要求時(shí)，一般對回歸方程中參數(shù)的估計(jì)影響不大，但可能影響到標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)，也會(huì)影響假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)P值的真實(shí)性。

（3）進(jìn)行回歸分析時(shí)，應(yīng)先繪制散點(diǎn)圖（scatter plot）。若提示有直線趨勢存在時(shí)，可作直線回歸分析；若提示無明顯線性趨勢，則應(yīng)根據(jù)散點(diǎn)分布類型，選擇合適的曲線模型（curvilinear modal），經(jīng)數(shù)據(jù)變換后，化為線性回歸來解決。

（4）繪制散點(diǎn)圖后，若出現(xiàn)一些特大特小的離群值（異常點(diǎn)），則應(yīng)及時(shí)復(fù)核檢查，對由于測定、記錄或計(jì)算機(jī)錄入的錯(cuò)誤數(shù)據(jù)，應(yīng)予以修正和剔除。

特別要指出的是：利用直線回歸方程進(jìn)行預(yù)測或控制時(shí)，一般只適用于原來研究的范圍，不能隨意把范圍擴(kuò)大。若需要擴(kuò)大預(yù)測和控制范圍，則要有充分的理論依據(jù)或進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)依據(jù)。

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